Schema a campionamento dell uscita

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1 Schema a campionamento dell uscita

2 Introduzione Il progetto di un controllore digitale può svilupparsi secondo due linee alternative: La prima si basa su tecniche di progetto a tempo continuo basate su un modello a tempo continuo del sistema e su metodi di realizzazione digitale del controllore analogico progettato. Il controllore a tempo continuo ottenuto viene implementato mediante un modello ibrido esternamente a tempo continuo. Si parla di punto di vista del processo o di progetto basato su modelli riferiti al processo (processoriented model) La seconda si basa su tecniche di progetto direttamente a tempo discreto basate su un modello ibrido esternamente a tempo discreto del sistema. Il controllore viene quindi progettato direttamente a tempo discreto. Si parla in questo caso di punto di vista del controllore e il modello ibrido esternamente a tempo discreto del sistema è anche detto modello riferito al controllore (controlleroriented model).

3 Introduzione Il progetto di un controllore digitale può svilupparsi secondo due linee alternative: La prima si basa su tecniche di progetto a tempo continuo basate su un modello a tempo continuo del sistema e su metodi di realizzazione digitale del controllore analogico progettato. Il controllore a tempo continuo ottenuto viene implementato mediante un modello ibrido esternamente a tempo continuo. Si parla di punto di vista del processo o di progetto basato su modelli riferiti al processo (processoriented model) La seconda si basa su tecniche di progetto direttamente a tempo discreto basate su un modello ibrido esternamente a tempo discreto del sistema. Il controllore viene quindi progettato direttamente a tempo discreto. Si parla in questo caso di punto di vista del controllore e il modello ibrido esternamente a tempo discreto del sistema è anche detto modello riferito al controllore (controlleroriented model).

4 Controller oriented model Lo schema a campionamento dell uscita si presta ad una progettazione da un punto di vista completamente digitale. w(t) A/D w*(k) + _ e*(k) R*(z) u*(k) D/A u(t) G(s) y(t) y*(k) A/D Punto di vista del controllore u*(k) D/A u(t) G(s) y(t) A/D y*(k) w*(k) + _ e*(k) R*(z) u*(k) G*(z) y*(k)

5 Controller oriented model È quindi necessario ottenere un modello a segnali campionati del sistema sotto controllo, sulla base del quale progettare il controllore direttamente a tempo discreto u*(k) D/A u(t) G(s) y(t) A/D y*(k) u*(k) G*(z) y*(k) È quindi possibile progettare, per il sistema sotto controllo descritto da G*(z), un controllore a tempo discreto con funzione di trasferimento R*(z). w*(k) + _ e*(k) R*(z) u*(k) G*(z) y*(k)

6 Schema a campionamento dell uscita La progettazione a campionamento dell uscita segue quindi il seguente schema: 1. si sceglie il periodo di campionamento 2. si costruisce un modello a tempo discreto del sistema sotto controllo (per es. usando i metodi tipici dell identificazione) 3. si progetta un controllore utilizzando tecniche a tempo discreto;

7 Analisi sistemi retroazionati a tempo discreto L analisi di sistemi retroazionati a tempo discreto può essere condotta, con le dovute modifiche e qualche accorgimento, utilizzando i medesimi strumenti di analisi già visti per i sistemi retroazionati a tempo continuo, facendo riferimento al seguente sistema retroazionato w(k) e(k) u(k) y(k) + R(z) G(z) I principali strumenti di analisi sono: il criterio di Nyquist (per la stabilità) il luogo delle radici lo studio delle funzioni di sensitività (per le prestazioni)

8 Criterio di Nyquist Sia L z = R z G(z) la funzione di trasferimento d anello di un sistema retroazionato. Si definisce diagramma di Nyquist l immagine attraverso L(z) della circonferenza di raggio unitario e centro l origine, cioè: L e jθ con θ π, π Anche a tempo discreto il diagramma di Nyquist può essere ottenuto dal diagramma polare, completando quest ultimo con la sua immagine speculare rispetto all asse reale.

9 + Studio funzioni di sensitività n(k) d(k) w(k) e(k) u(k) y(k) + R(z) G(z) + + F S Q L = 1+ 1 = 1 + R = 1+ L L L sensitività complementare sensitività sensitività del controllo Y U E = F Q S S F Q Q S F W D ( ) N z

10 Studio funzioni di sensitività Sfruttando tali funzioni di trasferimento è possibile condurre l analisi delle proprietà statiche e dinamiche del sistema di controllo, in stretta analogia con quanto già noto per i sistemi a tempo continuo ed ottenendo risultati del tutto identici. In particolare, si possono valutare le prestazioni in termini di: precisione statica (errore a transitorio esaurito) precisione dinamica (velocità del sistema retroazionato e robustezza della stabilità) Nota: a differenza del tempo continuo, i metodi di analisi (e di progetto) in frequenza (per es. loop shaping) non sono altrettanto espressivi, a causa dell intrinseca difficoltà (a tempo discreto) nel tracciare diagrammi approssimati della risposta in frequenza.

11 Sintesi diretta a tempo discreto Il problema del progetto diretto a tempo discreto del controllore digitale può essere formulato facendo riferimento al seguente sistema retroazionato, dove G z è la funzione di trasferimento del sistema a segnali campionati. w * (k) e * (k) n * (k) u * (k) R * (z) G * (z) d * (k) y * (k) Specificamente, si tratta di progettare R z in modo tale che il sistema retroazionato rispetti determinate specifiche a fronte di andamenti predefiniti dei disturbi e del segnale di riferimento.

12 Requisiti e specifiche I requisiti e le specifiche del sistema retroazionato possono essere formulate in stretta analogia con quanto già noto per i sistemi a tempo continuo. Esse in particolare riguardano i seguenti aspetti del sistema retroazionato. Stabilità (e robustezza della stabilità) Precisione statica Precisione dinamica Attenuazione dell effetto dei disturbi sulla linea di andata Attenuazione dell effetto dei disturbi sulla linea di retroazione Moderazione della variabile di controllo Realizzabilità del controllore Assenza di oscillazioni nascoste

13 Requisiti e specifiche I requisiti e le specifiche del sistema retroazionato possono essere formulate in stretta analogia con quanto già noto per i sistemi a tempo continuo. Esse in particolare riguardano i seguenti aspetti del sistema retroazionato. Stabilità (e robustezza della stabilità) Precisione statica Precisione dinamica Attenuazione dell effetto dei disturbi sulla linea di andata Attenuazione dell effetto dei disturbi sulla linea di retroazione Moderazione della variabile di controllo Realizzabilità del controllore Assenza di oscillazioni nascoste

14 Oscillazioni nascoste Le oscillazioni nascoste (intersample ripple) sono determinate dalla dinamica in anello aperto del sistema sotto controllo e possono avere due cause: Oscillazioni nell uscita analogica in presenza di azione di controllo non oscillante (non visibili nell uscita campionata). Oscillazioni nell uscita analogica in presenza di azione di controllo oscillante (non visibili nell uscita campionata). Nel primo caso la causa è una perdita di osservabilità di poli poco smorzati del sistema sotto controllo dovuta alla scelta del tempo di campionamento. Cambiando il tempo di campionamento, il fenomeno si attenua. Nel secondo la causa è una cancellazione di zeri poco smorzati del sistema sotto controllo con poli del controllore. In questo caso, le oscillazioni sono visibili nell azione di controllo e non c è dipendenza dal tempo di campionamento.

15 Amplitude Oscillazioni nascoste esempio G s = 1 s + 1 π s π 2 3 Step Response Time (sec)

16 Amplitude Oscillazioni nascoste esempio G s = 1 s + 1 π s π 2 3 Step Response Il periodo delle oscillazioni smorzate della risposta allo scalino è 2.5 T ω = 2π π = 2 2 Scegliendo T = T ω = 2 si campionano male le oscillazioni Time (sec)

17 Amplitude Oscillazioni nascoste esempio G s = 1 s + 1 π s π 2 Il periodo delle oscillazioni smorzate della risposta allo scalino è T ω = 2π π = Step Response Scegliendo T = T ω = 2 si campionano male le oscillazioni Questo avviene per via una cancellazione nel sistema a segnali campionati: G * = ( z )( z 0.925) 2 ( z ) ( z ) Time (sec)

18 Amplitude Oscillazioni nascoste esempio Il campionamento può quindi creare un problema di osservabilità del sistema. 3 Step Response Scegliendo un tempo di campionamento diverso (T = 1.7) il fenomeno sparisce Time (sec)

19 Metodi di progetto

20 Metodi di progetto I principali metodi di progetto a tempo discreto del regolatore digitale sono i seguenti: Assegnamento degli autovalori in anello chiuso Controllo a minima varianza Luogo delle radici Assegnamento diretto del modello: metodo di Ragazzini

21 Metodo di Ragazzini Si consideri il seguente sistema retroazionato, in cui G z è la funzione di trasferimento di un sistema a segnali campionati w * (k) + e * (k) u * (k) y * (k) R * (z) G * (z) Si progetti R (z) in modo tale che la funzione di sensitività complementare del sistema sia uguale a F z assegnata a priori (il modello di riferimento).

22 Metodo di Ragazzini Invertendo la seguente espressione F z = R z G z 1 + R z G (z) R z = G z F z 1 F z Affinchè questa soluzione sia accettabile R z deve essere causale (cioè propria o strettamente propria) e la funzione F z risultante deve essere asintoticamente stabile (senza cancellazioni di singolarità con modulo superiore od uguale a 1).

23 Metodo di Ragazzini Definendo: G z = N z D z, R z = Q z P z, F z = B z A z Con n N, n D, n Q, n P, n B, n A gradi dei polinomi sopra riportati Si ipotizza il modello di riferimento strettamente proprio n B < n A R * = Q P = G * * F * 1 F ( ) Q P( = N D B A 1 B A = = B D z) = N A B N B D A B

24 Metodo di Ragazzini Causalità controllore Q = B D z) = N A B Per garantire la causalità P( n P n 0 Q Essendo n B < n A risulta che il grado di A z B z è n A Quindi il grado di P z è n P = n N + n A Il grado di Q z è n Q = n B + n D Quindi la condizione che garantisce la casualità di R z è: n p n Q 0 n A n B n D n N Il grado relativo di F z non può essere inferiore a quello di G z

25 Metodo di Ragazzini Asintotica stabilità Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile se e solo se: Le radici di A(z) hanno modulo inferiore a 1 Non avvengono cancellazioni tra singolarità di R (z) e di G (z) con modulo superiore od uguale a 1. Dal momento che F (z) è scelta dal progettista, la prima condizione si può pensare verificata.

26 Metodo di Ragazzini Asintotica stabilità Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile se e solo se: Le radici di A(z) hanno modulo inferiore a 1 Non avvengono cancellazioni tra singolarità di R (z) e di G (z) con modulo superiore od uguale a 1. Per la seconda: R z = B z D z N z [A z B z ] G z = N z D z Eventuali radici fuori dal cerchio di N(z) di G (z) siano anche radici di B(z) in R z In tal modo c è una semplificazione tra numeratore e denominatore di R (z) Ogni zero z i di G (z) tale che z i 1 deve essere una radice di B z B z i = 0

27 Esempio

28 Esempio

29 Metodo di Ragazzini Asintotica stabilità R z = B z D z N z [A z B z ] G z = N z D z Similmente a prima, è necessario che eventuali radici fuori del cerchio del denominatore D z di G z, siano anche radici di A(z)-B(z) al denominatore R z. In tal modo, si ha una semplificazione tra numeratore e denominatore di R z Ogni polo a parte reale positive deve comparire tra le readici di A z B z, quindi: A p i = B(p i )

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31 Precisione statica: Prestazioni del sistema retroazionato Per avere errore nullo a transitorio esaurito bisogna scegliere F (z) in modo tale che sia: F 1 = 1 A 1 = B 1 NB: per quanto detto prima, il controllore avrà un polo in 1, ovvero un azione integrale, come è lecito aspettarsi Precisione dinamica: In base alle specifiche, si cerca di posizionare i poli dominanti di F z in modo tale da soddisfare le prestazioni richieste. (ad esempio risposta in tempo finito e minimo) Per ottenere ciò, è necessario che F (z) sia un sistema FIR con soli poli nell origine: F z = B z z n A

32 Un sistema FIR di ordine n A è definito dalla seguente funzione di trasferimento: Cioè: L uscita al tempo k dipende dai campioni dell ingresso fino al più al tempo k n A. La risposta allo scalino raggiunge il valore di regime in n A passi Affinchè il sistema abbia risposta in tempo minimo è necessario che il grado relativo di F (z) sia uguale al grado relativodi G z avendo F (z) il minor numero possibile di poli (nell origine) Prestazioni del sistema retroazionato ( ) ( ) ( ) A A A A A n n n n n z b b z z b z b z Y z Y z F * = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A n n n k y b n k y b k y b k y b k y A A =

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