Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada 3 Luglio 2014

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada 3 Luglio 2014 Nome e Cognome: Matricola Firma Durata della prova: 2.30 h. Numero di esercizi: 5 Punteggio: il numero di punti è indicato a fianco di ciascun esercizio Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici vanno messi, spenti, sul banco - non è ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non è consentito scrivere a matita

2 ESERCIZIO 1 punti: 7 Si consideri il sistema dinamico lineare e invariante con ingresso u(t) e uscita y(t) descritto dalle seguenti equazioni ẋ 1 (t) = 4x 1 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) 4x 2 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) x 2 (t) 1. Si studi la stabilità del sistema. 2. Si calcoli il movimento dell uscita del sistema con condizione iniziale x(0) = [0 2] T e ingresso costante u(t) = u = 2. 2

3 3. Si dica, giustificando brevemente la risposta, quale delle risposte forzate allo scalino unitario in figura rappresenta quella relativa all uscita del sistema di cui al primo punto. A B Amplitude Amplitude Time (seconds) Time (seconds) C D Amplitude Amplitude Time (seconds) Time (seconds) 3

4 ESERCIZIO 2 punti: 6 Si consideri il sistema descritto dallo schema a blocchi di figura, avente ingresso u(t) e uscita y(t). G 1 (s) + con G 1 (s) = (s 2) (s + 3) G 2 (s) = 1 (s 1) G 3 (s) = Si determini la funzione di trasferimento T (s) del sistema da u(t) a y(t). 2. Si dica se il sistema complessivo con funzione di trasferimento T (s) è asintoticamente stabile. 4

5 3. Si calcoli l uscita di regime del sistema con funzione di trasferimento T (s) quando l ingresso è u(t) = 10imp(t) + 2sin(0.1t). ESERCIZIO 3 punti: 10 Si faccia riferimento al sistema di controllo retroazionato della figura d w + e R(s) G(s) y dove G(s) = 10(s + 1) (1 + 10s)( s). 1. Si tracci il diagramma di Nyquist di G(s) e si dica, in base a tale diagramma, se il sistema in anello chiuso con R(s) = 1 è asintoticamente stabile. 5

6 2. Si ponga d ora in poi R(s) = 0.01(10s + 1). s Si verifichi, mediante il criterio di Bode, che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. Si specifichi il valore della pulsazione critica e del margine di fase. 2 E J A? E E =, E F = H J E A E - A J J H E? = A 1 B H = E A 2 E J A? E E =, E F = H J E A E - A J J H E? = A 1 B H = E A Figure 1: Carta semi-logaritmica per diagrammi di Bode dell Esercizio 3. 6

7 3. Si dica quanto vale l errore a transitorio esaurito quando w(t) = ±18sca(t) e d(t) = ± 4sca(t). 4. Si dica, dando una breve giustificazione alle risposte, quanto vale l ampiezza dell uscita y(t) a transitorio esaurito a fronte di w(t) = 0 e di: a) d(t) = 2sca(t) b) d(t) = sin(0.001t) c) d(t) = 5sin(1000t) 7

8 ESERCIZIO 4 punti: 7 Si consideri il sistema a tempo discreto lineare e invariante descritto dalle seguenti equazioni x 1 (k + 1) = 0.5x 1 (k) + x 2 (k) x 2 (k + 1) = γx 2 (k) + u(k) y(k) = x 1 (k) + u(k) 1. Si studi la stabilità del sistema in funzione del parametro γ. 2. Ponendo γ = 1, si calcolino i campioni per k = 0, 1, 2, 3 del movimento dello stato e dell uscita del 5 sistema con ingresso u(k) = sca(k), k 0 e condizione iniziale x(0) = [0 0] T. 8

9 3. Sempre per γ = 1, si ricavi la funzione di trasferimento del sistema Ancora per γ = 1, si scriva l espressione dei modi del sistema Si scrivano i comandi Matlab necessari a definire la matrice dinamica A del sistema discreto (con γ = 1 ) e a calcolarne gli autovalori. 5 ESERCIZIO 5 punti max: 2.5 Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (barrare la relativa casella) -0.25=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta i) L equazione δẋ = 30δx + 6δu si ottiene dalla linearizzazione dell equazione di stato del sistema non lineare ẋ = x 3 3x + u 2 attorno all equilibrio {x = 3, u = 6}. V ERO F ALSO ii) In un sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo, ad un valore costante dell ingresso può essere associato più di uno stato di equilibrio. V ERO F ALSO 9

10 iii) Il criterio di Nyquist non è applicabile a funzioni d anello con guadagno negativo. V ERO F ALSO iv) Con riferimento ad uno schema di controllo classico a retroazione negativa, il fatto che il margine di guadagno sia strettamente maggiore di 1 è condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica in anello chiuso. V ERO F ALSO v) Se un sistema dinamico lineare invariante a tempo discreto ha funzione di trasferimento P (z) = 2 z 2 ciò significa che l uscita forzata del sistema ad un generico istante k dipende solo dall ingresso all istante (k 2). V ERO F ALSO 10