PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 8 Luglio 2008 Cognome Nome Matricola

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1 PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 8 Luglio 8 Cognome Nome Matricola Verificare che il fascicolo sia costituito da 9 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione =============================================================================================================== 1. Si consideri un sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo continuo con la seguente funzione di trasferimento dall ingresso u(t) all uscita y(t): 1 6β s + G( s) = 3 s + β s + β s + α + β 1 1.a Mediante il criterio di Routh-Hurwitz, si determini per quali valori di ( α, β ) il sistema sia asintoticamente stabile. Si indichi anche graficamente, nel piano ( α, β ), la regione di asintotica stabilità così trovata. 1

2 1.b Si consideri il caso in cui α = 1 e β =3. Si determini l espressione analitica della risposta y(t) del ( s + 1) sistema quando l ingresso u(t) ha trasformata di Laplace U ( s) =. Si giustifichi accuratamente 17 s 4s + 4 la risposta.. Si consideri il seguente sistema retroazionato: d(t) y (t) _ R(s) G(s) + + y(t) 4 s( s 8) con G( s) =, R( s) = 1. ( s 4)( s 8).a Facendo uso della carta semilogaritmica sotto riportata, si traccino i diagrammi di Bode asintotici, del modulo e della fase, associati alla funzione d anello L( s ). Si giustifichi la risposta.

3 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec).b Si determini quale sia, tra i seguenti A, B, C, D, il diagramma di Nyquist di L( s ). Si giustifichi la risposta. Si evidenzi anche, sul grafico designato, il diagramma polare di L( s ). 3

4 A - B C - D c Usando il criterio di Nyquist, si dica se il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile oppure no. 4 s( s 8) 1.d Si consideri ora il caso in cui G( s) =, R( s) =. Usando il criterio di Nyquist, si dica ( s 4)( s 8) 1 se il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile oppure no. 4

5 .e Si dica se sia possibile rispondere alla domanda di cui al punto.c mediante il criterio di Bode, e perché. 3. Si consideri questo sistema dinamico: Si assuma che Amplitude Amplitude y (t) + R(s) Time (sec) Time (sec) A C G(s) Amplitude Amplitude _ + 4 s( s 8) 1 G( s) =, R( s) =. Si considerino anche le figure A, B, C, D seguenti. ( s 4)( s 8) 1 3.a Quale figura, tra A, B, C, D, è la risposta y(t) del sistema quando giustifichi accuratamente la risposta. d(t) y(t) Time (sec) Time (sec) B D y ( t) = sca( t) e d(t)=? Si

6 3.b Quale figura, tra A, B, C, D, è la risposta y(t) del sistema a giustifichi accuratamente la risposta. d( t) = sca( t ) (con y ( t ) = )? Si 3.c Facendo uso del principio di sovrapposizione degli effetti, si determini l andamento, a transitorio esaurito, della risposta y(t) del sistema quando y ( t) = sin(.1 t) e d( t) = sca( t ). Si giustifichi opportunamente la risposta. 6

7 3.d A partire dal diagramma di Bode asintotico del modulo associato alla funzione di trasferimento d anello L(s) del sistema, si tracci in modo approssimato il diagramma di Bode asintotico del modulo associato alla funzione di trasferimento F(s) da y (t) a y(t), giustificando la risposta. Si faccia uso, per il tracciamento, della carta semilogaritmica qui sotto riportata. Nota: si ricorda che la funzione di trasferimento G(s) è la stessa dell esercizio. Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 4. Si consideri il seguente sistema dinamico a tempo discreto: x1 ( t + 1) = α x1 ( t) + β x( t) 1 x ( t + 1) = x( t) u( t) x3( t + 1) = β x3( t) + x1 ( t) y( t) = x3( t) con i parametri α, β. 4.a Si determini la funzione di trasferimento Zeta dall ingresso u(t) all uscita y(t). 7

8 4.b Si dica per quali valori di α e β il sistema sia asintoticamente stabile, giustificando la risposta. 4.c Si consideri il caso particolare α = e β =1. Si determinino, in tal caso, i primi sei campioni (cioè da t = a t = ) di y(t) quando u(t)= sca(t). 4.d Si consideri l ingresso u(t)= sca(t). In ciascuna delle due situazioni seguenti A e B, si dica se sia possibile determinare y( t ) a regime, cioè per t +, a priori, senza aver determinato l espressione analitica di y( t ), giustificando la risposta; nel caso fosse possibile, determinare y( t ) a regime. A. α =, β = 1 1 B. α =, β = 8

9 ..a Si consideri un sistema dinamico lineare a tempo continuo. Si dica che cosa si intende per movimento libero e quindi che cosa si intende per movimento forzato..b Enunciare poi CON PRECISIONE il cosiddetto principio di sovrapposizione degli effetti..c Il principio di sovrapposizione degli effetti continua ad essere valido anche per i sistemi non-lineari? 9