FONDAMENTI DI AUTOMATICA (Ingegneria Gestionale) Prof. Matteo Corno

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1 POLITECNICO DI MILANO FONDAMENTI DI AUTOMATICA (Ingegneria Gestionale) Anno Accademico 2014/15 Prima prova in itinere 28/11/2014 COGNOME... NOME... MATRICOLA... FIRMA.... Verificare che il fascicolo sia composto di 18 pagine. Consegnare esclusivamente il presente fascicolo. Utilizzare, per la minuta, i fogli bianchi forniti in aggiunta a questo fascicolo. Non si possono consultare libri, appunti, dispense, ecc. La chiarezza, precisione e concisione nelle risposte sara oggetto di valutazione. Durata: 2 ore 1

2 Esercizio (1). Enunciare il principio degli autovalori per la stabilita di un sistema lineare tempo invariante (solo enunciato, senza giustificazione o dimostrazione), definendo il significato di ogni proprieta introdotta. 2

3 Esercizio (2). Considerare il seguente sistema:!x 1 = x 1 2! x 2!x 2 = x 1 (1! x 2 ) y = x Classificare il sistema 1.2 Calcolare gli equilibri del sistema 3

4 1.3 Linearizzare il sistema in tutti i punti di equilibrio individuati precedentemente. 4

5 1.4 Analizzare la stabilità alla Lyapunov (interna) di TUTTI i movimenti di equilibrio del sistema 5

6 Esercizio (3). Considerare il sistema con ingresso u ed uscita y descritto dal seguente schema a blocchi: 3.1 Calcolare la funzione di trasferimento F(s) da u(t) a y(t) in funzione di G 1, G 2 e G 3. 6

7 3.2 Assumendo che G 1 (s) = 1 (s!1) G 2 (s) = 1 (s! 2) G 3 (s) = 1 s siano funzioni di trasferimento di sistemi del primo ordine, dire se il sistema e input/output stabile. 7

8 3.4 Considerando i risultati del punto precedente dire (spiegando perche ) se e possibile trarre conclusion sulla stabilita interna del sistema. Esercizio (4). Si consideri la seguente FdT: G(s) = (s!1) (s 2 + s +1)(s 2 + 9s + 25) 4.1 Scrivere l espresssione dell appossimazione a poli dominanti. 8

9 4.2 Disegnare il grafico qualitativo della risposta allo scalino di G(s) prestando attenzione a mostrare in modo chiaro: - tempo di assestamento - frequena (o period) delle oscillazioni dominanti (se presenti) - comportamento per t 0 - smorzamento delle oscillazioni (se presenti) 9

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11 Esercizio (5) Calcolare l espressione analitica della risposta del sistema rappresentato dalla seguente FdT G(s) = s + 2 (s + 4) 2 all ingresso rappresentato in Figura: 11

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13 Esercizio (6) Si consideri il sistema LTI descritto dalle seguenti matrici di rappresentazione di stato: " $ A = $ $ #! ! !3 C = " # % " ' ' ;B = $ $ ' $ & # % & ;D = [0] % ' ' ' & 6.1 Scrivere la FdT del sistema 13

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15 6.2 Scrivere lo pseudocodice matlab necessario per calcolare e disegnare a schermi la risposta del sistema a un ingress sinusoidale di ampliezza 2 e pulsazione 4 rad/s 15

16 Esercizio (7) Sia dato il seguente sistema dinamico!x = f (x)+ u dove f(x) e rappresentato in figura: 7.1) Descrivere il numero di equilibri al variare di u costante 16

17 7.2) per u = 50 individuare (approssimativamente) tutti gli equilibri e determinarne le proprieta di stabilita. Per gli equilibri asintoticamente stabili rappresentare (graficamente, in modo qualitativo) il bacino di attrazione. 17

18 FINE FASCICOLO 18