SECONDO METODO DI LYAPUNOV

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1 SECONDO METODO DI LYAPUNOV Il Secondo Metodo di Lyapunov permette di studiare la stabilità degli equilibri di un sistema dinamico non lineare, senza ricorrere alla linearizzazione delle equazioni del sistema. Esso rende quindi possibile lo studio della stabilità degli equilibri in tutte quelle situazioni in cui il Primo Metodo (basato sulla linearizzazione) non dà indicazioni, cioè quando gli autovalori della matrice Jacobiana hanno parte reale negativa o nulla e ne esiste almeno uno a parte reale nulla. Un altro motivo di interesse per questo metodo, oltre al fatto di scegliere una strada del tutto alternativa alla linearizzazione, è che può essere esteso a dare delle indicazioni globali di stabilità, cioè permette di trovare regioni di attrazione per gli equilibri, cosa che metodi locali come quelli che si basano sulla linearizzazione non sono in grado di fare. Definizione 1: Una funzione V(x) è definita positiva in x se V x =0, e V x 0 per ogni x x. Definizione 2: Una funzione V(x) è semidefinita positiva in x se V x =0, e V x 0 per ogni x x. (N.B. ogni funzione definita positiva risulta anche essere semidefinita positiva)

2 Definizione 3: Una funzione V(x) è definita negativa se -V(x) è definita positiva. Definizione 4: Una funzione V(x) è semidefinita negativa se -V(x) è semidefinita positiva. Teorema 1: Teorema 2: Teorema 3: Dato un sistema dinamico ẋ= f x, u, con f x,u continua con le sue derivate prime, e un punto di equilibrio, caratterizzato da f x, u =0, se esiste una funzione scalare V(x) definita positiva in x, continua con le sue derivate prime, tale che la derivata totale V x è definita negativa allora l'equilibrio è asintoticamente stabile. V(x) viene detta funzione di Lyapunov. Date le stesse condizioni del Teorema 1, salvo che la derivata totale V x è solo semidefinita negativa, allora si può solo dire che l'equilibrio è stabile. Se valgono le condizioni del Teorema 1, ed in più la derivata totale V x è definita negativa in tutta una regione R contenente al suo interno il punto di equilibrio x, allora R è la regione di attrazione dell'equilibrio x. Osservazione 1: Una spiegazione intuitiva dei teoremi si può basare sull'interpretazione grafica. V(x) è definita positiva nell'equilibrio (cfr. figura Definizione 1); se la sua derivata totale è sempre strettamente negativa, salvo che nell'equilibrio, la traiettoria del sistema nel piano di fase corrisponderà a punti sulla superficie z=v x di quota via via decrescente, cioè sempre più vicini all'equilibrio, che risulterà quindi asintoticamente stabile. Nel

3 caso in cui la derivata totale possa essere sia negativa che nulla, può capitare che la traiettoria tenda ad un punto sul "fondo" della superficie diverso dall'equilibrio. Questo corrisponde ad una proprietà di semplice stabilità dell'equilibrio stesso: il movimento perturbato non si allontana troppo dall'equilibrio, ma nemmeno tende a ritornarvi. Osservazione 2: Il metodo è molto potente, ma purtroppo non è di tipo costruttivo; in altre parole, il metodo garantisce la stabilità dell'equilibrio se si riesce a trovare una funzione di Lyapunov V x con determinate caratteristiche, ma non dà alcuna indicazione su come trovarla. Osservazione 3: Le condizioni del Teorema 3 sono piuttosto restrittive, perchè richiedono che la derivata della funzione di Lyapunov sia definita negativa in tutto R, mentre spesso (vedi esempio del pendolo) essa risulta solo semidefinita negativa. Esistono delle estensioni di questo teorema (criteri di Krasovskii e La Salle) che permettono di dimostrare l'asintotica stabilità dell'equilibrio anche in questi casi. Esempio 1. Dato il sistema dinamico ẋ= x 3 u, studiare la stabilità dell'equilibrio caratterizzato da x=0, u=0. In figura è rappresentato il diagramma della funzione f x, u. Risulta chiaro che x=0 è un punto di equilibrio, e che l'equilibrio risulta essere asintoticamente stabile. Infatti, la derivata di x è positiva a sinistra dell'equilibrio, e negativa a destra; pertanto, la traiettoria perturbata tende asintoticamente a ritornare all'equilibrio. E' inoltre chiaro che l'intero asse reale è la regione di attrazione dell'equilibrio, perchè la traiettoria tenderà a tornare all'equilibrio da qualunque stato iniziale perturbato si faccia partire l'evoluzione del sistema. Analizzando la stabilità dell'equilibrio con il Primo Metodo di Lyapunov, si trova un unico autovalore nullo: [ f = 2 x 2 =0, x ] x, u che non permette di trarre conclusioni sulla stabilità. Presa ora la funzione V x =x 2, definita positiva in x=0, si trova che

4 V x = dv dx dx dt =2 x x3 0 = 2 x 4, che è evidentemente definita negativa in x=0, e rimane tale su tutto l'asse reale. Pertanto, per il Teorema 1 si può concludere che l'equilibrio è asintoticamente stabile, e per il Teorema 3 che il suo bacino d'attrazione è l'intero asse reale. Come osservazione conclusiva, si osservi che trovare una funzione di Lyapunov per sistemi del primo ordine non è difficile: in molti casi la più semplice funzione definita positiva in x e continua con le sue derivate prime, cioè V x = x x 2 risulta essere una funzione di Lyapunov, cioè ha una derivata totale definita o semi-definita negativa. Nel caso di sistemi di ordine più elevato, trovare una funzione di Lyapunov valida è in generale molto meno agevole. Esempio 2. Si consideri il sistema dinamico che rappresenta la dinamica di un pendolo semplice di lunghezza l e massa m, sottoposto alla forza peso e ad un eventuale attrito viscoso, con coefficiente di attrito h. Le equazioni del sistema sono ẋ 1 =x 2 ẋ 2 = g l sin x 1 h ml 2 x 2 dove le variabili di stato sono rispettivamente l'angolo rispetto alla verticale e la velocità angolare. Prendiamo in considerazione in particolare l'equilibrio inferiore, cioè quello per cui x 1 =0, x 2 =0. Analizziamo ora la stabilità dell'equilibrio mediante il Primo Metodo. La matrice Jacobiana [ =[ 0 1 f 2] x g h ] x l ml ha come autovalori le radici dell'equazione caratteristica x 1 l m 2 h ml 2 g l. Nel caso di pendolo con attrito ( h 0 ), entrambe le radici hanno parte reale negativa, e quindi possiamo concludere che l'equilibrio è asintoticamente stabile. Nel caso senza attrito ( h=0 ), gli autovalori sono immaginari puri, e il Primo Metodo non ci consente di trarre indicazioni di sorta.

5 Studiamo ora la stabilità dell'equilibrio con il Secondo Metodo. E' facile rendersi come funzioni definite positive in x scelte in maniera non mirata, ad esempio V x =x 1 2 x 2 2, non sono funzioni di Lyapunov, cioè hanno derivata totale non definita negativa (si lasciano i tentativi al lettore più curioso). Nel caso in questione, cioè di un sistema meccanico, esiste fortunatamente un metodo per trovare funzioni di Lyapunov candidate con buona probabilità di avere derivata definita o semidefinita negativa. Se il sistema è sottoposto a forze conservative e a forze dissipative, si può prendere come funzione di Lyapunov candidata la somma dell'energia cinetica del sistema e dell'energia potenziale delle forze conservative, scegliendo il riferimento arbitrario di quest'ultima in modo che la funzione valga zero nel punto di equilibrio. Nel nostro caso, la forza peso agisce come forza conservativa, a cui corrisponde una certa energia potenziale; l'attrito gioca invece il ruolo di forza dissipativa. Si può prendere quindi come funzione di Lyapunov candidata: V x =E c E p = 1 2 m lx 2 2 mgl [1 cos x 1 ] E' facile verificare che V(x) è definita positiva in un intorno dell'equilibrio: i due termini si annullano solo all'equilibrio, e sono altrimenti positivi. Calcoliamo ora la derivata totale di V(x): V x = dv = h x 2 2 dx ẋ= [mgl sin x 1 ml 2 x 2 ][ x 2 g l sin x 1 h ml x 2]= 2 Poiché h 0 per avere significato fisico, la funzione è semidefinita negativa, e si può concludere in base al Teorema 2 che l'equilibrio è stabile. Il Primo Metodo ci permette inoltre di aggiungere che nel caso h 0 la stabilità è asintotica.