MOVIMENTO DEI SISTEMI LINEARI

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1 MOVIMENTO DEI SISTEMI LINEARI I sistemi continui x& = Ax + Bu Formula di Lagrange 3 3 e At = I + At + A t + A t! 3! Nei sistemi lineari, quindi x( t) = x ( t) + x ( t) l Inoltre x l (t) e x f (t) sono lineari rispettivamente in x() e u(). Poiché nei sistemi lineari y(t) = C x(t), abbiamo anche: f y( t) = y ( t) + y ( t) l Quindi, se si moltiplica per α lo stato iniziale e l ingresso, si moltiplica per α anche l uscita. Vale cioè il principio di sovrapposizione degli effetti f 77

2 I sistemi discreti Nel caso di sistemi lineari discreti: si ha: x = t Ax + + t But () () () Per il calcolo di x t la () è più comoda da usare della (). La matrice A t può anche azzerarsi per qualche valore q di t. Se questo capita la matrice si dice nilpotente e il sistema si dice a memoria finita perché dimentica lo stato iniziale in al più q transizioni. Se una matrice è nilpotente si ha: t A = * t q e * q n (ordine della matrice) 78

3 Stabilità dei sistemi lineari continui In questo caso la condizione necessaria e sufficiente per l asintotica stabilità è: Re( λ ) < i i Dove λ i, i=,,n sono gli autovalori della matrice A, cioè le soluzioni dell equazione caratteristica: A (λ) = det(λi-a) = det(λi-a) det( λ ) λ λ λ... n n n i A = + a + a + + a n a i (i =,, n) = coefficienti del polinomio caratteristico Gli autovalori si chiamano anche poli Poli nel semispazio sinistro Asintotica stabilità del sistema 79

4 Autovalori e movimento In pratica si dimostra che il movimento di un sistema lineare continuo (che sappiamo essere la composizione di esponenziali vedi eq. di Lagrange), si può scrivere come λt λt x ( t) = c ae + cae nella quale gli a i sono gli autovettori del sistema e i coefficienti c i dipendono dallo stato iniziale. Si comprende quindi che tra i coefficienti 8 c n a n e λ t n i e λ t più quello che corrisponde all autovalore λ i più elevato. Infatti, conterà sempre di se il sistema è asintoticamente stabile, quello più elevato corrisponderà alla componente del movimento che si esaurisce più lentamente, se è instabile, corrisponderà alla componente che va all infinito più rapidamente. Alla lunga quindi, il movimento tenderà ad allinearsi all autovettore corrispondente all autovalore più elevato, che è perciò detto autovalore dominante (così come il relativo autovettore). Il sistema sarà quindi approssimabile con un sistema del I ordine in cui il solo autovalore è quello dominante. L inverso dell opposto (della parte reale) dell autovalore dominante è detto costante di tempo dominante. Poiché tutti i movimenti sono esponenziali, è possibile anche valutare a priori la loro evoluzione. Gli autovalori complessi rappresentano movimenti oscillatori (sen(t) e cos(t) ).

5 Si può quindi dire che, in qualunque sistema lineare, dopo circa 5 volte la costante di tempo dominante il transitorio si esaurisce, cioè, in sistemi stabili, si raggiunge l equilibrio (±% circa dello scarto iniziale). Esempio λt x& = λx x( t) = e x() x& () = λ T costante di tempo = -/λ Intersezione della tangente nell origine con l asse dei tempi = T 6 x t λ =, T = T esaurimento = 5 λ, =, ± i T = 5 T esaurimento = Il periodo delle oscillazioni è legato al valore della parte immaginaria λ, =, ± i T = 5 T esaurimento = 5-6 8

6 Esempio x& = x + x A = λ =, λ =,5 x& =, 5,5x Autovalore dominante -,5, costante di tempo dominante = λ =,5 λ = Movimento della variabile x Sull autovettore dominante sull altro autovettore Esempio 3 Fuoco x& x& = x =,4 x,4x Autovalori (e autovettori) complessi. 8

7 Stabilità dei sistemi lineari discreti x = t Ax + t + t But xt A x = + mov. forz. asintotica stabilità A t (matrice nulla) Se A è uno scalare (sistema del primo ordine) abbiamo i seguenti casi: A< - -<A< < A< A> instabilità stabilità stabilità instabilità Quindi la condizione di asintotica stabilità è A < In generale si ha: asintotica stabilità λ < i i Poli nel cerchio unitario Asintotica stabilità del sistema 83

8 Autovalore e costante di tempo dominante Anche nei sistemi discreti l autovalore dominante λ d è quello più grande. Quindi, per i sistemi stabili, è il più vicino al limite di stabilità, cioè con modulo più vicino a. La costante di tempo dominante è invece Esempio: (Fibonacci) Analizziamo il problema di Fibonacci x (t) = n coppie conigli giovani x (t) = n coppie conigli vecchi x ( t + ) x ( t) = x ( t + ) x ( t) λ λ det( λi A) = det = λ λ T d λ λ λ = log λ det( i A) = = d ± + 4 ± 5 λ = = Un autovalore è in modulo maggiore di uno instabilità. 84