Fondamenti di Automatica. Unità 3 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

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1 Fondamenti di Automatica Unità 3 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

2 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici Equilibrio di sistemi dinamici Linearizzazione di sistemi dinamici Stabilità interna di sistemi dinamici Stabilità interna di sistemi dinamici LTI Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI Stabilità dell equilibrio per sistemi dinamici non lineari mediante linearizzazione 2

3 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici Equilibrio di sistemi dinamici

4 Equilibrio di sistemi dinamici Definizione di equilibrio Equilibrio di sistemi a tempo continuo Equilibrio di sistemi a tempo discreto Esempi di calcolo dell equilibrio 4

5 Equilibrio di sistemi dinamici Definizione di equilibrio

6 Definizione di equilibrio Per equilibrio di un sistema dinamico stazionario si intende un particolare movimento costante in cui ut = u p t L ingresso del sistema è costante: (), 0 Lo stato del sistema permane costante nel tempo e quindi pari allo stato iniziale: xt () = xt ( = 0) = x n, t 0 L uscita del sistema è costante: yt () = y q, t 0 Terminologia: L ingresso costante u è detto ingresso di equilibrio Lo stato costante x è detto stato di equilibrio L uscita costante y è detta uscita di equilibrio La coppia x, u è detta punto di equilibrio ( ) 6

7 Equilibrio di sistemi dinamici Equilibrio di sistemi a tempo continuo

8 Condizione di equilibrio per sistemi TC Dato un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario xt () = f( xt (), ut ()) y () t = g( x(), t u() t ) gli stati di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio (costante) ut () = u, t 0, sono gli stati costanti xt () = x, t 0, che soddisfano la condizione xt () = x= 0, ut () = u, t 0 e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni f x, u = 0 ( ) cui corrispondono le uscite di equilibrio date da y = g x, u ( ) 8

9 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TC (/3) Nel caso di un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo continuo, lineare e tempo-invariante xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t gli stati di equilibrio x corrispondenti all ingresso di equilibrio u soddisfano la condizione xt () = x= 0 = Ax+ Bu, t 0 e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni Ax = Bu cui corrispondono le uscite di equilibrio date da y = Cx + Du 9

10 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TC (2/3) Se la matrice A è invertibile (cioè det( A) 0), allora esiste uno ed un solo stato di equilibrio (isolato) x = A Bu cui corrisponde una ed una sola uscita di equilibrio y = ( CA B + D) u Se la matrice A è singolare (cioè det( A ) = 0), allora possono esistere infiniti stati di equilibrio oppure nessuno stato di equilibrio, a seconda delle matrici A e B nonché del particolare ingresso di equilibrio u 0

11 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TC (3/3) Esempio: dato il sistema dinamico LTI a tempo continuo 0 avente matrici A = e B =, calcolare tutti gli 0 0 stati di equilibrio x al variare dell ingresso di equilibriou All equilibrio, dalle equazioni di stato risulta: 0 = x + u x = u x = 0 = Ax + Bu 0 = x x = 0 - se u = 0 esistono infiniti stati di equilibrio dati da 0 x =,c c si parla in tal caso di stato di equilibrio non isolato - se u 0 non esiste alcuno stato di equilibrio

12 Equilibrio di sistemi dinamici Equilibrio di sistemi a tempo discreto

13 Condizione di equilibrio per sistemi TD Dato un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo discreto, non lineare, stazionario xk ( + ) = f ( xk ( ), uk ( )) y ( k) = g( x( k), u( k) ) gli stati di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio (costante) uk ( ) = u, k 0, sono gli stati costanti xk ( ) = x, k 0, che soddisfano la condizione xk ( + ) = xk ( ) = xuk, ( ) = u, k 0 e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni f x, u = x ( ) cui corrispondono le uscite di equilibrio date da y = g x, u ( ) 3

14 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TD (/3) Nel caso di un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo discreto, lineare e tempo-invariante xk ( + ) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) gli stati di equilibrio x corrispondenti all ingresso di equilibrio u soddisfano la condizione xk ( + ) = xk ( ) = x= Ax+ Bu, k 0 e quindi sono le soluzioni del sistema di equazioni ( I A) x = Bu cui corrispondono le uscite di equilibrio date da y = Cx + Du 4

15 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TD (2/3) Se la matrice I A è invertibile (cioè det( I A) 0), allora esiste uno ed un solo stato di equilibrio (isolato) x = ( I A) Bu cui corrisponde una ed una sola uscita di equilibrio y = ( C( I A) B + D) u Se la matrice I A è singolare (cioè det( I A) = 0), allora possono esistere infiniti stati di equilibrio oppure nessuno stato di equilibrio, a seconda delle matrici A e B nonché del particolare ingresso di equilibrio u 5

16 Calcolo dell equilibrio di sistemi LTI TD (3/3) Esempio: dato il sistema dinamico LTI a tempo discreto 0 avente matrici A = e B =, calcolare tutti gli 0 0 stati di equilibrio x al variare dell ingresso di equilibrio u All equilibrio, dalle equazioni di stato risulta: x = x + u u 0 x Ax Bu = = + x = x x = x se u = 0 esistono infiniti stati di equilibrio dati da c x =, c c si parla in tal caso di stato di equilibrio non isolato - se u 0 non esiste alcuno stato di equilibrio 6

17 Equilibrio di sistemi dinamici Esempi di calcolo dell equilibrio

18 Esempio # di calcolo dell equilibrio (/2) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto dal seguente modello in variabili di stato i x = x pt () x () t 2 xt () = 0 pt () = x () t x ( ) = g ki M u x ut () = f it () M y = x yt () = pt () p Mg determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio u 0 All equilibrio, xt () = x= 0 = f( xu, ), t 0 k k 0 = x i i 2 x = Mg u Mg u x = 0 = g ( k ) 2 2 i M u x x =

19 Esempio # di calcolo dell equilibrio (2/2) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto dal seguente modello in variabili di stato i x = x pt () x () t 2 xt () = 0 pt () = x () t x ( ) = g ki M u x ut () = f it () M y = x yt () = pt () p Mg determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio u 0 All equilibrio, y () t = y = g( x, u), t 0 i y = x = u k Mg 9

20 Esempio #2 di calcolo dell equilibrio (/2) Dato il sistema (pendolo inverso, con K =0,F v =0) descritto dal seguente modello in variabili di stato x = x 2 θ () t x () t M xt () = u cos x x g β θ () t = x () t 2 2 θ x = + sinx 2 2 Ml l ut () = F () Ml o t l g y = x y () t = θ () t = x () t F o (t ) determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio u = 0 All equilibrio, xt () = x= 0 = f( xu, ), t 0 0 = x2 sinx = 0 u cos x x 0 g β sin 2 g = + x sinx Ml l 2 = x 0 l = 2 Ml β 20

21 Esempio #2 di calcolo dell equilibrio (2/2) Poiché all equilibrio valgono le seguenti relazioni: sinx = 0 x = kπ, k = 0, ±, x = 0 x 0 2 = 2 esistono infiniti stati di equilibrio (isolati) x kπ x = =, k 0,, x = ± 0 2 All equilibrio, y () t = y = g( x, u), t 0 y = x = kπ, k = 0, ±, 2

22 Esempio #3 di calcolo dell equilibrio (/3) Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dal seguente modello in variabili di stato x ( k + ) = x ( k) u( k) + x ( k) x ( k) 2 2 x ( k + ) = x ( k) u( k) + 3 x ( k) yk ( ) = x( kx ) ( k) 2 determinare tutti gli stati x e le uscite y di equilibrio corrispondenti all ingresso di equilibrio u = 0.5 All equilibrio, xk ( + ) = xk ( ) = x= f( xu, ), k 0 x = x u + x x 2 x ( u x ) = x (0.5 x ) = x = x u + 3x x ( + u 3 x ) = x (.5 3 x ) =

23 Esempio #3 di calcolo dell equilibrio (2/3) Poiché all equilibrio valgono le seguenti relazioni: x (0.5 x ) = 0 2 x (.5 3 x ) = la seconda equazione risulta soddisfatta per ( a) ( b) x = 0 oppure x = ( a) Se x = x = 0, la prima equazione è soddisfatta per 2 2 ( a) ( a) 0 x (stato di eq. isolato) = x = 0 x = x = 0 ( b) Se x = x = 0.5, la prima equazione è soddisfatta 2 2 ( b) per qualsiasi x = x = c x ( b) c = x = 0.5 (stato di eq. non isolato) 23

24 Esempio #3 di calcolo dell equilibrio (3/3) All equilibrio, y ( k) = y = g( xu, ) = xx, k 0 ( a) 0 2 Se x x l uscita di equilibrio è pari a 0 = = ( a) ( a) ( a) 0 2 y = y = x x = ( b) c Se x = x =, c l uscita di equilibrio è 0.5 ( b) ( b) ( b) y = y = x x = 0.5c 2 24