Appunti del corso di Controllo Digitale

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1 Università degli Studi di Siena Sede di Arezzo Corso di Laurea triennale in Ingegneria dell Automazione Appunti del corso di Controllo Digitale A cura di Gianni Bianchini

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3 Indice Glossario, abbreviazioni e notazione 4 Capitolo 1: Introduzione Analogico vs. digitale Conversione analogico-digitale (A/D) Quantizzazione Filtri digitali Conversione digitale-analogico (D/A) Un primo approccio al progetto Capitolo 2: Sistemi lineari a tempo discreto Trasformata zeta Trasformata zeta di segnali campionati Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione di stato Stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Criteri di stabilità per sistemi a tempo discreto Risposta in frequenza Sistemi a tempo discreto in retroazione Stabilità interna di sistemi di controllo Capitolo 3: Sistemi a dati campionati Modellistica del campionamento Analisi dei sistemi a dati campionati Schemi a blocchi a dati campionati Oscillazioni interperiodo Equivalente campionato in rappresentazione di stato Capitolo 4: Campionamento e ricostruzione Spettro di Fourier di un segnale Spettro del segnale campionato Modello del ricostruttore ideale e teorema di Shannon Interpretazione in frequenza dello ZOH Capitolo 5: Realizzazione digitale di controllori analogici Scelta del passo di campionamento Progetto per discretizzazione Metodi di discretizzazione Mappatura dei poli Specifiche statiche Predistorsione in frequenza (prewarping) Matching poli zeri (MPZ) Scelta del passo di campionamento

4 5.8 Progetto del filtro antialiasing. Effetto sul passo di campionamento Capitolo 6: Sintesi nel dominio a tempo discreto Sintesi diretta nel discreto Scelta di della funzione di trasferimento ad anello chiuso Scelta del passo di campionamento nella sintesi diretta Capitolo 7: Progetto nello spazio degli stati Metodi nello spazio degli stati Raggiungibilità Allocazione degli autovalori Inseguimento del riferimento Capitolo 8: Stima dello stato e sintesi del regolatore Stima dello stato Osservabilità Osservatore asintotico Sintesi del regolatore (compensatore dinamico) Capitolo 9: Cenni di controllo ottimo Introduzione Controllo ottimo lineare quadratico (LQ) su orizzonte temporale finito Controllo LQ su orizzonte infinito Bibliografia 12 2

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6 Glossario, abbreviazioni e notazione L : lineare NL : non lineare TC : a tempo continuo TD : a tempo discreto TI : tempo invariante (stazionario) S(S/M)I(S/M)O : (Single/Multiple) Input (Single/Multiple) Output R n : spazio dei vettori reali di dimensione n v R n : vettore di R n v : trasposto di v v : norma di v v p : norma p di v span{v 1,...,v m } : sottospazio di R n generato da v 1,...,v m deta : determinante della matrice A adj A : aggiunta della matrice A A 1 : inversa della matrice A rank A : rango della matrice A ker A : nucleo della matrice A o della trasformazione lineare associata ImA : spazio immagine della matrice A o della trasformazione lineare associata C : il piano complesso s C : numero complesso Re[s], Im[s] : parte reale ed immaginaria di s s : modulo di s arg[s] : argomento (fase) di s s : coniugato di s G(s) : C C : funzione di variabile complessa a valori complessi Res[G(s), s ] : residuo della funzione G(s) in s C R + : i numeri reali positivi, l asse dei tempi nel continuo f(t) : R + R : funzione reale del tempo (segnale a tempo continuo) F(s) = L[f(t)] : trasformata di Laplace della funzione f(t) N + : i numeri interi positivi, l asse dei tempi nel discreto {f k } : N + R : successione a valori reali (segnale a tempo discreto) F(z) = Z[f k ] : trasformata zeta della successione f k f k = f(kt) : sequenza dei campioni del segnale f(t) agli istanti kt Z[F(s)] = = Z[L 1 [F(s)] t=kt ] : trasformata zeta della sequenza dei campioni f k = f(kt) del segnale f(t) la cui trasformata di Laplace è F(s) S : il semipiano sinistro aperto di C, i.e. {s C : Re[s] < } a.k.a. la regione di stabilità di asintotica di Hurwitz (TC) S : la frontiera di S, i.e., l asse immaginario D : il disco di raggio unitario aperto di C, i.e. {z C : z < 1} a.k.a. la regione di stabilità asintotica di Schur (TD) D : la frontiera di D i.e., la circonferenza di centro l origine e raggio unitario 4 rect(x) : 1 per 1 x 1 e altrove

7 Capitolo 1 Introduzione Sommario. In questo capitolo vengono introdotti in modo elementare i componenti fondamentali di un sistema di controllo digitale, in modo da inquadrare nel suo complesso il problema del progetto e risolvere in modo intuitivo un semplice esercizio di sintesi. I concetti presentati verranno ripresi in dettaglio nei capitoli seguenti. 1.1 Analogico vs. digitale La teoria classica dei controlli automatici opera in un contesto completamente analogico. Tale teoria presuppone infatti che ciascun elemento del sistema di controllo (processo, controllore, sensori ed attuatori) sia costituito da un apparecchiatura che misura, elabora e genera in uscita grandezze variabili in un continuo di valori e con continuità nel tempo. I sistemi dinamici coinvolti sono dunque a tempo continuo (TC), qualunque sia la loro natura fisica, che può essere ad esempio meccanica, elettrica, fluidodinamica oppure ibrida. Le tecniche relative si riferiscono inoltre a sistemi di controllo lineari stazionari a parametri concentrati, descritti pertanto da equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti. Per tali sistemi è noto che la dinamica del processo, quella del compensatore e quella del sistema complessivo sono rappresentabili mediante funzioni di trasferimento nel dominio della trasformata di Laplace. (Fig. 1.1). Attuatori Sensori G(s) Processo C(s)? Unità di controllo Figura 1.1: Sistema di controllo analogico Le possibilità offerte dall impiego dei calcolatori elettronici programmabili fanno sì che i moderni sistemi di controllo siano realizzati in larga parte con tecnologia digitale. In questi sistemi il regolatore è costituito da un computer ed è pertanto in grado di elaborare soltanto grandezze di tipo elettrico, rappresentate con un numero finito di bit (quantizzate) e definite ad istanti di tempo scanditi da un segnale di sincronismo (clock); il calcolatore può essere quindi visto come un sistema dinamico a tempo discreto (TD) che opera con grandezze quantizzate.

8 2 All interfaccia tra il regolatore ed il processo è necessaria la presenza di dispositivi in grado di operare la conversione da grandezze a tempo continuo e variabili con continuità a grandezze a tempo discreto e quantizzate (conversione A/D, analogico-digitale) e viceversa (conversione D/A, digitale-analogico) (Fig 1.2). 11 D A Conversione D/A Attuatori Sensori 11 D A Conversione A/D Processo Unità di controllo Figura 1.2: Sistema di controllo digitale L impiego del calcolatore come elemento centrale del sistema di controllo ha come principale motivazione la notevole flessibilità di questi sistemi nella realizzazione di algoritmi di controllo sofisticati: si pensi alla relativa facilità con cui è possibile elaborare una funzione matematica complessa con un calcolatore elettronico digitale piuttosto che con un circuito ad amplificatori operazionali o, peggio ancora, mediante un sistema costruito con elementi idraulici o meccanici. Elenchiamo alcuni ulteriori vantaggi dell approccio digitale: possibilità di effettuare facilmente delle simulazioni, flessibilità ed adattabilità, indipendenza dalla natura dell impianto, affidabilità, unità di controllo poco soggetta a degrado/usura, minore sensibilità al rumore durante l elaborazione e la trasmissione delle grandezze. Alcuni problemi di natura sistemistica legati a questo approccio, quali la necessità di disporre di modelli discreti di sistemi intrinsecamente continui, la perdita di informazione dovuta al campionamento, la perdita di proprietà importanti quali la stazionarietà del sistema, l introduzione di ritardi nell anello di controllo dovuti all elaborazione, saranno discussi in dettaglio nel seguito del corso. Dal punto di vista tecnologico si evidenziano una maggior complessità generale dell architettura rispetto ad un sistema analogico e l uso irrinunciabile di apparati elettrici/elettronici.

9 3 1.2 Conversione analogico-digitale (A/D) Poiché il regolatore digitale può operare solo con segnali definiti ad istanti di tempo discreti, ovvero con sequenze di numeri, è necessaria la presenza di un dispositivo in grado di trasformare un segnale a tempo continuo in un corrispondente segnale a tempo discreto. Tale dispositivo rappresenta l interfaccia tra i segnali continui generati dall impianto ed i segnali elaborabili dal calcolatore ed è detto convertitore analogico-digitale, campionatore o più brevemente blocco A/D. Da un punto di vista matematico, il campionamento è l operazione che, data una funzione del tempo f(t) : R + R, fornisce la successione {f k } : N R ottenuta valutando f(t) agli istanti t k = kt per k =, 1,..., dove T > è un valore fissato detto periodo (o tempo, o passo) di campionamento, i.e., f(t) f k = f(kt), k =, 1, 2,... (1.1) I valori f k sono detti campioni di f(t) agli istanti t k = kt. L operazione di campionamento può essere rappresentata schematicamente dalla chiusura periodica di un interruttore come in Fig Come sarà illustrato in dettaglio nel seguito, la f(t) T f k = f(kt) Figura 1.3: Campionamento scelta del periodo di campionamento T riveste un ruolo fondamentale nel progetto di un sistema di controllo digitale. Si definiscono la pulsazione di campionamento ω s e la frequenza di campionamento f s rispettivamente come ω s = 2π T, f s = 1 T. (1.2) 1.3 Quantizzazione L elaborazione digitale dei segnali prevede la memorizzazione di questi all interno di strutture a precisione finita, siano esse in rappresentazione intera, in virgola fissa o in virgola mobile. Ciò implica un processo di quantizzazione, ovvero di approssimazione del valore di ciascun campione f k con un valore ˆf k rappresentabile nella struttura considerata. Come conseguenza di questo procedimento, vi sono intervalli di valori che vengono mappati in un unico valore (Fig. 1.4). Il formato di rappresentazione dei dati ed il numero di bit costituiscono due parametri fondamentali che influenzano le prestazioni del sistema digitale; l intervallo di valori rappresentabili in macchina risulta necessariamente limitato. Si osservi che la relazione tra f k e ˆf k non è una legge lineare. Pertanto, in linea di principio, ogni sistema di controllo digitale è un sistema dinamico non lineare. Salvo discuterne gli effetti a posteriori, l effetto non lineare introdotto dalla quantizzazione sarà trascurato nell esposizione che segue.

10 4 ˆf k f k Figura 1.4: Quantizzazione 1.4 Filtri digitali Si consideri il semplice schema di controllo digitale in Fig Come si può notare, esso costituisce un estensione del classico sistema di controllo in retroazione unitaria, dove P è l impianto (analogico) e C è il compensatore digitale, ovvero l algoritmo di controllo. Sono inoltre presenti i blocchi di conversione D/A e A/D. In questo schema, le funzionalità dei blocchi esterni al y(t) yk e k u k C D/A P A/D _ y k P d Figura 1.5: Sistema di controllo digitale riquadro tratteggiato vengono realizzate attraverso un calcolatore digitale. L algoritmo di controllo consiste nell elaborazione dei campioni della sequenza e k del segnale errore per ottenere la sequenza u k del segnale di comando da inviare all impianto. Il controllore C, che realizza questo algoritmo, è un sistema a tempo discreto, ovvero un operatore che agisce sulla successione di ingresso {e k } fornendo la successione di uscita {u k }. In generale tale sistema è dinamico, ovvero l uscita al generico istante k è funzione di più campioni della successione {e k } e non del solo campione relativo all istante k. Per evidenti ragioni fisiche, inoltre, l uscita ad ogni istante non può dipendere dall ingresso ad istanti futuri, il sistema è quindi supposto soddisfare la proprietà di causalità. Infine, la relazione ingresso-uscita può essere espressa sotto forma di regressione, ovvero per ogni k si assume che C operi secondo una legge del tipo u k = Φ C k (u k 1, u k 2,...,e k, e k 1, e k 2,...) (1.3)

11 5 e k C u k Figura 1.6: Filtro digitale dove Φ C k ( ), k =, 1, 2,... sono funzioni note. Nell analisi che segue, l attenzione sarà ristretta alla classe dei sistemi dinamici (filtri) lineari a tempo discreto, tempo invarianti (LTDTI) e scalari (SISO). Tali sistemi, come già noto, sono descritti da equazioni alle differenze ingressouscita a coefficienti costanti di ordine n della forma u k+n + a n 1 u k+n a u k = b m e k+m + b m 1 e k+m b e k (1.4) nonché da relazioni algebriche nel dominio della trasformata zeta, i.e., dove e C(z), detta funzione di trasferimento, è data da U(z) = C(z)E(z) (1.5) E(z) = Z[e k ], U(z) = Z[u k ] (1.6) C(z) = b mz m + b m 1 z m b z n + a n 1 z n a. (1.7) Osservazione 1.1 Nello schema in Fig. 1.5, anche il blocco tratteggiato P d, che rappresenta l insieme dell impianto, supposto lineare, e dei convertitori così come viene visto dal calcolatore, è di fatto un sistema dinamico a tempo discreto poiché genera la sequenza dei campioni dell uscita {y k } a partire da quella dei campioni del comando {u k }. Tale sistema è però di natura ibrida, in quanto contiene al suo interno elementi analogici, e quindi sarà necessario studiare se e sotto quali ipotesi possa essere descritto da un opportuno sistema LTDTI. Osservazione 1.2 È fondamentale notare che, seppure ogni sistema di controllo digitale lavori con grandezze campionate, la variabile che deve essere regolata è di fatto l uscita analogica (continua) y(t) del processo piuttosto che la sua versione campionata y k, poiché è attraverso y(t) che il sistema interagisce fisicamente con il mondo esterno. La sequenza y k è funzionale al solo calcolo dell azione di controllo e rappresenta l informazione di cui il compensatore digitale dispone per realizzare la regolazione di y(t). È facile intuire che, in generale, la sequenza y k contiene una quantità d informazione inferiore a quella contenuta nell intera evoluzione del segnale analogico y(t), inoltre i segnali di riferimento possono essere elaborati solo in versione campionata (la sequenza yk nel sistema considerato); questo problema è di importanza cruciale nei sistemi di controllo che integrano elementi analogici e digitali e sarà analizzato con attenzione in seguito. 1.5 Conversione digitale-analogico (D/A) In ogni sistema di controllo digitale, è necessario convertire il segnale campionato ottenuto come uscita del regolatore in un segnale continuo, in modo che sia possibile applicarlo al sistema fisico

12 6 u h (t) u 2 u 1 u T 2T t Figura 1.7: Mantenitore di ordine zero (ZOH) da controllare. Si deve cioè generare un segnale continuo u h (t) da applicare all impianto a partire dal segnale discreto u k fornito dal controllore. Naturalmente, la costruzione del segnale u h (t) a partire dalla sequenza u k deve avvenire in modo causale, ovvero ad ogni istante tale segnale non può essere funzione dei campioni che saranno generati dal controllore ad istanti futuri. La soluzione più usata è quella di mantenere costante in tutto l intervallo di campionamento il valore dell ultimo campione generato Il dispositivo che realizza questa tecnica prende il nome di mantenitore di ordine zero o Zero-Order Hold (ZOH) (Fig. 1.7). Tale dispositivo genera appunto un segnale analogico che nell intervallo kt t < (k + 1)T è costante e pari al valore ricevuto in ingresso all istante t = kt. Il segnale ricostruito può in linea di principio dipendere anche da più di un campione del segnale discreto (invece che solo dall ultimo campione acquisito come nel caso dello ZOH). Ad esempio, il ricostruttore di ordine uno o First-Order Hold (FOH) fornisce in uscita un segnale u h (t) che per kt t < (k + 1)T è pari ai valori assunti dal prolungamento della retta congiungente i punti (kt, u(kt)) e ((k 1)T, u((k 1)T)) (Fig. 1.8). Si noti che tanto lo ZOH quanto il FOH operano in modo causale. 1.6 Un primo approccio al progetto Come sarà illustrato dettagliatamente in seguito, per la progettazione del regolatore digitale si possono impiegare due classi di metodi: metodi diretti e metodi per approssimazione. I metodi diretti consistono nell effettuare il progetto del regolatore esclusivamente nel dominio a tempo discreto a partire dalle specifiche assegnate; questo presuppone che si possa preventivamente determinare una rappresentazione puramente a tempo discreto delle componenti del sistema di controllo che a tempo discreto non sono, ovvero l impianto ed i convertitori. I metodi per approssimazione, al contrario, si basano sul progetto di un regolatore analogico eseguito in modo standard (ad es. con la sintesi per tentativi) e sulla successiva determinazione, con opportune tecniche, di un regolatore digitale le cui caratteristiche dinamiche riproducano fedelmente quelle del regolatore analogico, in modo da assicurare al sistema di controllo analoghe prestazioni. Riservandoci di trattare più in generale il problema in seguito, esaminiamo adesso un metodo

13 7 u h (t) T t Figura 1.8: Mantenitore di ordine uno (FOH) intuitivo per la determinazione di un regolatore digitale lineare C(z) a partire dalla funzione di trasferimento di un regolatore analogico C(s) preventivamente progettato. È noto che la funzione di trasferimento C(s) del regolatore analogico sottende un legame di tipo differenziale lineare stazionario tra l ingresso (il segnale errore e(t) del sistema di controllo) e l uscita (il segnale di comando u(t) all impianto). L idea fondamentale del metodo che vediamo, e più in generale dei metodi alle differenze finite che esamineremo in seguito, è quella di approssimare la soluzione dell equazione differenziale ingresso-uscita che descrive il controllore analogico, con la soluzione di un opportuna equazione alle differenze che lega i soli campioni dei segnali in gioco, e k = e(kt) e u k = u(kt). Per fissare le idee, si supponga di voler approssimare il valore dei campioni della derivata di una funzione f(t) disponendo soltanto dei campioni della funzione stessa. Il metodo più immediato per fare questo è di sostituire l operazione di derivata con quella di rapporto incrementale. Siano pertanto f k = f(t) t=kt, f k = f(t) t=kt Risulta allora f f((k + 1)T) f(kt) k = f k+1 f k T T Esempio 1.1 Si consideri il sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento C(s) = U(s) E(s) = b s + a corrispondente all equazione differenziale ingresso-uscita (1.8) u(t) + au(t) = be(t) Approssimando l operazione di derivata come sopra otteniamo la seguente relazione approssimata tra i campioni dell ingresso e dell uscita u k+1 u k T + au k = be k

14 8 a cui corrisponde una funzione di trasferimento a tempo discreto data da C(z) = U(z) E(z) = bt z 1 + at Riscrivendo la relazione (1.8) in termini delle trasformate zeta F(z) = Z{f k } e F(z) = Z{ f k } risulta F(z) z 1 F(z) (1.9) T Pertanto, in generale, due segnali f(t) e f(t) che sono l uno la derivata dell altro, e che quindi nel dominio della trasformata di Laplace sono legati da una relazione del tipo F(s) = sf(s) hanno i rispettivi campioni legati approssimativamente, nel dominio della trasformata zeta, dalla relazione (1.9). Si può pertanto scrivere Z [ L 1 [sf(s)] ] z 1 t=kt T F(z) In base a questa osservazione, la sostituzione formale dell operatore s con l operatore z 1 T in una data funzione di trasferimento C(s), dà luogo ad una funzione di trasferimento C(z) che corrisponde ad un equazione alle differenze tra campioni di ingresso e uscita la cui soluzione approssima quella dell equazione differenziale rappresentata da C(s). In altre parole, il sistema lineare stazionario a tempo continuo descritto da ovvero dall equazione differenziale C(s) = U(s) E(s) = b ms m + b m 1 s m b s n + a n 1 s n a u (n) (t) + a n 1 u (n 1) (t) + + a = b m e (m) (t) + b m 1 e (m 1) (t) + + b è approssimato dal sistema a tempo discreto C(z) = C(s) s= z 1 T dove C(z) lega i corrispondenti campionati dei segnali di ingresso e di uscita. Esempio 1.2 L esempio seguente è riportato nel file Scilab naif.sce. Sia dato l impianto con funzione di trasferimento ed il controllore analogico P(s) = 1 s 2 C(s) = K(s + b), K = 4, a = 1, b = 2 s + a

15 9 1.4 Step Response Amplitude Time (sec) Figura 1.9: Esempio 1.2. Risposta al gradino uscita controllore digitale T =.5 s uscita controllore digitale T =.18 s Figura 1.1: Esempio 1.2. Risposte al gradino con controllore digitale approssimato

16 T = 1 s Figura 1.11: Esempio 1.3. Risposta al gradino. a cui corrisponde un sistema ad anello chiuso con risposta al gradino come in Fig Approssimando il controllore C(s) alle differenze finite come sopra esposto con passo di campionamento T si ottiene C(z) = K(z 1 + bt), K = 4, a = 1, b = 2 z 1 + at Inserendo il regolatore C(z) nel sistema di controllo digitale in Fig. 1.5, si ottengono in simulazione le risposte al gradino nella variabile di uscita y(t) riportate in Fig Si noti come la risposta del sistema con regolatore digitale sia molto fedele a quella del corrispondente sistema con controllore analogico per valori sufficientemente piccoli del passo di campionamento T e come questa fedeltà tenda a perdersi al crescere di T. È facile osservare che per valori di T >.2 s il sistema diviene addirittura instabile. La scelta del periodo di campionamento si configura quindi come un problema di fondamentale importanza. È facile intuire che la scelta di T è fortemente legata ai requisiti di banda del sistema; infatti, più elevata è la banda, più i transitori della risposta sono rapidi, più velocemente è necessario campionare i segnali in gioco per poterli riprodurre fedelmente. Torneremo su questo importante aspetto nel seguito. Il seguente esempio illustra come i sistemi di controllo digitale possano presentare caratteristiche peculiari non riscontrabili nei sistemi di controllo analogici. Esempio 1.3 Riportato nel file Scilab magia.cos. Si consideri un sistema di controllo digitale con passo di campionamento T, impianto e regolatore P(s) = 1 s 2 C(z) = 2 T 2 5z 3 4z + 3 La corrispondente risposta al gradino nell uscita y(t) è riportata in Fig Il sistema risulta stabile internamente e la sua risposta va a regime in un tempo che è finito e pari a 3 passi di

17 campionamento, qualunque sia il valore di T prescelto. Quindi, al variare del tempo di campionamento, è possibile non solo portare a regime la risposta in un tempo finito, ma addirittura in un tempo arbitrariamente piccolo. È noto che non esistono sistemi lineari stazionari a tempo continuo la cui risposta al gradino abbia un transitorio di durata finita, si comprende quindi che mediante i sistemi di controllo digitale si possono ottenere in linea di principio prestazioni non ottenibili in un contesto analogico. 11

18 Capitolo 2 Sistemi lineari a tempo discreto Sommario. In questo capitolo vengono richiamati alcuni concetti fondamentali relativi a segnali e sistemi a tempo discreto, quali la trasformata zeta e le rappresentazioni di stato e ingresso-uscita dei sistemi lineari stazionari. Vengono inoltre illustrate le estensioni a tempo discreto di risultati standard quali la risposta in frequenza, il criterio di Nyquist ed il luogo delle radici. Particolare attenzione viene rivolta alle relazioni che sussistono tra la trasformata di Laplace di un segnale continuo e la trasformata zeta del suo campionamento con periodo assegnato. Queste relazioni sono fondamentali per l analisi che sarà presentata nei capitoli successivi. 2.1 Trasformata zeta La trasformata zeta è per i segnali a tempo discreto l operatore analogo della trasformata di Laplace per i segnali a tempo continuo; tale concetto permette di risolvere equazioni alle differenze con metodi algebrici e di definire le funzioni di trasferimento per i sistemi LTITD. Questo si realizza attraverso le proprietà della trasformata zeta, che sono del tutto analoghe alle corrispondenti proprietà della trasformata di Laplace. Definizione 2.1 Data una successione {f k } con f k = k <, la trasformata zeta di {f k } è la funzione F(z) : C C definita da F(z) = Z[f k ] = f k z k = f + f 1 z 1 + f 2 z (2.1) k= Osservazione 2.1 La trasformata zeta, a rigore, è definita solo per gli z C dove la serie (2.1) converge. Ciò non è essenziale per le applicazioni. Si ricordano di seguito le trasformate zeta di segnali a tempo discreto notevoli, che possono essere calcolate in modo semplice a partire dalla definizione. Impulso discreto δ k = { 1 se k = se k Z[δ k ] = 1 (2.2) Gradino unitario 1 k = { 1 se k se k < Z[1 k ] = z z 1 (2.3) Esponenziale f k = { λ k se k se k < Z[f k ] = z z λ (2.4) Analogamente al caso della trasformata di Laplace, le trasformate zeta dei segnali a tempo discreto che sono di interesse per la teoria dei sistemi dinamici lineari, sono funzioni razionali fratte proprie nella variabile z.

19 Proprietà della trasformata zeta Ricordiamo brevemente le proprietà fondamentali di cui gode la trasformata zeta: 1. Linearità Z[αf k + βg k ] = αf(z) + βg(z) 2. Trasformata della successione anticipata di un passo (e troncata a k = ) g k = f k+1 1 k G(z) = z(f(z) f ) 3. Trasformata della successione ritardata di un passo g k = f k 1 G(z) = z 1 F(z) 4. Trasformata della successione moltiplicata per k Z[kf k ] = z d dz F(z) 5. Teorema del valore finale. Se i limiti seguenti esistono e sono finiti, allora risulta lim f k = lim(z 1)F(z) k z 1 6. Teorema del valore iniziale f = lim z F(z) 7. Teorema di convoluzione. Dato il prodotto di convoluzione di due successioni {f k } e {g k } f k g k = k f k i g i i= la sua trasformata zeta risulta Z[f k g k ] = F(z)G(z) Antitrasformata zeta Data una funzione razionale fratta propria F(z), è sempre possibile determinare la successione f k tale che Z[f k ] = F(z). Risulta infatti sempre possibile effettuare la divisione lunga del numeratore di F(z) per il denominatore, ottenendo una serie di potenze in z 1. Per confronto con la definizione di trasformata zeta in (2.1), i coefficienti della serie ottenuta sono i campioni della successione f k.

20 14 Esempio 2.1 Sia F(z) = z2 + 2 z 2 + 3z + 2 Dividendo il numeratore per il denominatore e calcolando i corrispondenti resti, risulta dunque z 2 + z + 2 z 2 + 3z z 1 + 9z 2 21z F(z) = 1 3z 1 + 9z 2 21z Per confronto con la definizione (2.1) si ottengono i campioni della successione f k la cui trasformata è F(z) f = 1, f 1 = 3, f 2 = 9, f 3 = 21,... La successione f k tale che F(z) = Z[f k ] è detta antitrasformata zeta di F(z) e si indica con f k = Z 1 [F(z)]. Il metodo per ottenere un espressione in forma chiusa di Z 1 [F(z)] consiste nel calcolare lo sviluppo in fratti semplici di F(z) e nell associare a ciascun termine dello sviluppo una successione elementare (impulso, gradino, esponenziale) di cui tale termine è la trasformata, in modo analogo al caso della trasformata di Laplace. Viste le espressioni delle trasformate delle successioni elementari (si noti che presentano una z a numeratore), risulta conveniente effettuare lo sviluppo in fratti semplici di F(z)/z per poi ricavare da questo un espressione di F(z) in cui le trasformate elementari risultano immediatamente riconoscibili. Esempio 2.2 F(z) z = z z(z 2 + 3z + 2) = 1 z + 3 z z + 2 da cui F(z) = 1 3 z z z z + 2 e antritrasformando ogni singolo termine f k = δ k [3( 1) k 3( 2) k ] 1 k. 2.2 Trasformata zeta di segnali campionati Si consideri adesso il problema di calcolare la trasformata zeta F(z) della successione f k ottenuta campionando con periodo T un segnale continuo f(t), ovvero della successione f k = f(kt). Si desidera inoltre mettere in relazione F(z) con la trasformata di Laplace F(s) = L[f(t)] del segnale continuo. In altre parole si desidera determinare (2.5) F(z) = Z[f k ] = Z [f(t) t=kt 1 k ] = Z [ L 1 [F(s)] t=kt 1 k ]. (2.6) Per brevità, la trasformata zeta del campionamento di un segnale avente trasformata di Laplace F(s) verrà indicata con la notazione Z[F(s)] con cui denoteremo l espressione (2.6). In base alla proprietà di linearità delle trasformate, è possibile eseguire lo sviluppo in fratti semplici di F(s), calcolare le antitrasformate di ciascun fratto e, quindi, calcolare la trasformata zeta del campionamento di ciascuna di esse. Distinguiamo i seguenti due casi:

21 15 Caso di F(s) con tutti poli semplici. Sussistono il seguente sviluppo e la corrispondente antitrasformata n r i n F(s) = f(t) = r i e pit 1(t) s p i e dunque i=1 F(z) = Z[F(s)] = i=1 n ( ) Z [r i e Tp i k ] = i=1 n i=1 r i z z e p it Osserviamo che F(z) ha tutti poli semplici e che, inoltre, per ogni polo p i di F(s) la F(z) ha un corrispondente polo in e p it. Caso di F(s) con poli multipli. Si supponga che F(s) abbia un polo p di molteplicità µ p. Allora, come è noto, tale polo nello sviluppo in fratti semplici di F(s) dà luogo a µ p termini che hanno la forma j (s) = A(p) j (s p) j, j = 1,...,µ p F (p) le cui antitrasformate valgono f (p) j (t) = A(p) j t j 1 (j 1)! ept, j = 1,...,µ p Per ciascuno di tali termini si ha quindi, in base alla proprietà numero 4 della trasformata zeta (moltiplicazione per k), Z[F (p) j (s)] = A(p) j T j 1 (p) j T j 1 ( (j 1)! Z[kj 1 e Tp) k A ] = (j 1)! ( z d ) j 1 z dz z e pt dove con ( z dz) d j 1 ( si intende l applicazione ripetuta j 1 volte dell operatore z d dz). È facile convincersi che, a causa dell applicazione ripetuta dell operazione di derivata, Z[F (p) j (s)] risulta avere un polo in e pt di molteplicità j. Pertanto, l insieme dei fratti semplici F (p) j (s), j = 1,...,µ p, relativi al polo p, danno luogo ad un termine in F(z) che ha un polo in e pt di molteplicità µ p. Sussiste pertanto la seguente Proprietà 2.1 Per ogni polo p di F(s), la trasformata zeta F(z) = Z[F(s)] ha un polo in e pt di pari molteplicità. In altre parole, i poli di F(s) si trasformano nei poli di F(z) secondo la relazione z = e st Osservazione 2.2 Si noti che per T tendente a zero, tutti i poli di F(z) tendono a 1. Esempio 2.3 Calcolo della trasformata zeta della rampa campionata. [ ] 1 Z s 2 = Z[kT] = T( z) d dz Z[1 k] = Tz d z dz z 1 = Tz (z 1) 2

22 16 Esempio 2.4 Calcolo della trasformata zeta della sinusoide campionata. f(t) = sin(ωt), i.e., F(s) = Si noti che F(s) ha poli in s = ±jω. Risulta ω s 2 + ω 2 f k = f(kt) = sin(ωkt) = (ejωt ) k (e jωt ) k 2j da cui Z[f k ] = 1 2j [ ] z z e jωt z z e jωt = z(z e jωt z + e jωt ) 2j(z e jωt )(z e jωt ) = z sin(ωt) z 2 2z cos(ωt) Mappa z = e st Esaminiamo adesso alcune proprietà della relazione tra numeri complessi z = e st, che caratterizza la mappa tra i poli della trasformata di Laplace di un segnale ed i poli della trasformata zeta del suo campionamento con periodo T. In particolare analizziamo come si trasformano i luoghi del piano complesso corrispondenti alla posizione dei poli caratteristici dei segnali d interesse (ad esempio i segnali esponenziali o le sinusoidi smorzate aventi fattori ζ o ω n assegnati). Sia s = σ + jω, con σ = Re[s], ω = Im[s]. Risulta allora z = e σt e jωt. Pertanto z = e Re[s]T, arg z = Im[s]T (2.7) Dalla relazione (2.7) si vede facilmente che sussistono le seguenti proprietà (fig. 2.1). Valori complessi coniugati in s vengono mappati in valori complessi coniugati in z; la mappa z = e st è biunivoca per π T < Im[s] < π T periodica di Im[s]; ed in generale z è una funzione l asse immaginario in s è mappato nel cerchio di centro l origine e raggio 1 in z (cerchio unitario); il luogo dei poli caratteristici dei segnali a tempo continuo convergenti a zero, ovvero il semipiano sinistro aperto del piano s, è mappato sull interno del cerchio unitario in z, infatti Re[s] < z < 1; rette verticali in s (luoghi a Re[s] costante) sono mappate in circonferenze interne (se Re[s] < ) o esterne (se Re[s] > ) al cerchio unitario in z; semirette passanti per l origine in s con Re[s] < (luoghi dei poli complessi a smorzamento ζ costante) sono mappate in spirali logaritmiche interne al cerchio unitario in z; rette orizzontali in s (luoghi a Im[s] costante) sono mappate in rette radiali in z; i punti s = 2nπj/T sono mappati sul punto z = 1;

23 17 Figura 2.1: Mappa z = e st. i punti s = (2n + 1)πj/T sono mappati su z = 1; nessun punto del piano s è mappato su z =. In figura 2.2 è mostrata la mappatura dei luoghi a ζ e ω n costante dal piano s al piano z secondo la trasformazione z = e st. In figura 2.3 è riportato l andamento qualitativo dei segnali a tempo discreto in relazione alla posizione dei poli della loro trasformata zeta. Si osservi, in particolare, che alle trasformate zeta aventi tutti poli in z = corrispondono segnali che hanno solo un numero finito di campioni diversi da zero, ovvero segnali che si esauriscono in tempo finito. Questi non possono essere il campionamento di segnali continui con trasformata di Laplace razionale fratta, infatti, come già osservato, z = non è l immagine di alcun s secondo z = e st Trasformata zeta di segnali campionati con ritardo Dato un segnale a tempo continuo f(t), nullo per t <, si consideri il segnale ritardato (traslato nel tempo) f τ (t) = f(t τ), τ > e si voglia calcolare la trasformata zeta F τ (z) del campionamento con passo T di f τ (t): F τ (z) = Z [f(t τ) t=kt ] Si scomponga il ritardo τ in un numero intero m di passi di campionamento più il resto δ, i.e., τ = mt + δ ; m intero, δ < T È facile convincersi che l introduzione di una traslazione temporale mt in un segnale continuo genera semplicemente un ritardo di m passi nel corrispondente campionamento. Ricordando allora la proprietà del ritardo della trasformata zeta si ottiene F τ (z) = z m Z [f(t δ) t=kt ] ; δ < T (2.8)

24 18 Figura 2.2: Mappatura dei luoghi a ζ e ω n costante secondo z = e st. Figura 2.3: Andamento qualitativo dei segnali a tempo discreto in relazione alla posizione dei poli della loro trasformata zeta.

25 19 f(t) f(t δ) t δ T 2T 3T t Figura 2.4: Campionamento di un segnale ritardato nel tempo u k, U(z) Sistema T.D. lineare stazionario y k, Y (z) Figura 2.5: Sistema lineare stazionario a tempo discreto ingresso/uscita Scrivendo esplicitamente l espressione della trasformata zeta in (2.8) (si veda la fig. 2.4) risulta F τ (z) = z m [ + f(t δ)z 1 + f(2t δ)z ] = z m 1 f(kt + T δ)z k k= = z m 1 Z [f(kt + (T δ)) 1 k ] 2.3 Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita Un sistema linare stazionario a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita (fig. 2.5) è descritto da un equazione alle differenze nelle successioni di ingresso u k e di uscita y k y k+n + a n 1 y k+n a y k = b m u k+m + b m 1 u k+m b u k (2.9) Tale relazione è esprimibile in modo alternativo utilizzando il formalismo della trasformata zeta. Si assumano nulle le condizioni iniziali del sistema; applicando la trasformata zeta ad entrambi

26 2 i membri della (2.9) si ottiene la seguente relazione tra la trasformata zeta dell ingresso U(z) e la trasformata zeta della corrispondente risposta forzata Y (z) dove G(z) = Y (z) = G(z)U(z) (2.1) b m z m +... b 1 z + b z n + a n 1 z n 1...a 1 z + a (2.11) G(z) è detta funzione di trasferimento del sistema, n è detto grado di G(z) e la differenza n m grado relativo di G(z). In base alla relazione (2.1) ed alla proprietà di convoluzione della trasformata zeta, la risposta forzata al segnale u k vale k y k = g k i u i = g k u k dove i= g k = Z 1 [G(z)] Si noti che la successione {g k } costituisce la risposta del sistema all impulso unitario δ k. Definizione 2.2 Il sistema è detto causale se per ogni istante k l uscita y k del sistema non dipende da u k per alcun k > k, ovvero dai valori assunti dall ingresso u ad istanti successivi a k. Proprietà 2.2 Il sistema descritto da G(z) è causale se e solo se il grado relativo n m della funzione di trasferimento G(z) in (2.11) è maggiore o uguale a zero. Dimostrazione. Effettuando la divisione lunga tra numeratore e denominatore di G(z) si ha G(z) = c m z (n m) + c m 1 z (n m) 1 + c m 2 z (n m) dove c m, c m 1, c m 2,... sono opportuni coefficienti. Pertanto, tenendo conto della (2.1) e delle proprietà 2 e 3 della trasformata zeta (trasformata della successione anticipata e ritardata), risulta y k = c m u k (n m) + c m 1 u k (n m) 1 + c m 2 u k (n m) da cui è evidente che y k non dipende dal valore di u ad istanti successivi a k se e solo se n m. Osservazione 2.3 Il grado relativo n m di G(z) rappresenta il ritardo ingresso-uscita del sistema. Per condizioni iniziali nulle, infatti, un ingresso applicato all istante k = produce uscite non nulle a partire dall istante k = n m. 2.4 Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione di stato Un sistema lineare stazionario a tempo discreto in equazioni di stato è definito dalle equazioni seguenti { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n y k = Cx k + Du k dove A, B, C, D sono matrici costanti di opportune dimensioni, a seconda delle dimensioni della variabile d ingresso u k e da quelle della variabile di uscita y k. Il vettore x k è detto vettore di stato del sistema. La dimensione n del vettore di stato è detta ordine del sistema. Una proprietà

27 21 fondamentale dei sistemi lineari in rappresentazione di stato è che la risposta del sistema, nello stato x k e quindi nell uscita y k, è completamente determinata una volta note la condizione iniziale x e la sequenza d ingresso u k, k =, 1,... La risposta nello stato del sistema sopra descritto, nel dominio del tempo vale x k = x l k + xf k dove x l k e xf k, dette rispettivamente risposta libera e risposta forzata nello stato, sono date da La risposta nell uscita, analogamente, vale k 1 x l k = Ak x, x f k = A k i 1 Bu i i= y k = CA k x + k 1 CA k i 1 Bu i + Du k = yk l + yf k i= Applicando la trasformata zeta alle precedenti equazioni si ottengono facilmente le trasformate della risposta, libera e forzata, rispettivamente nell ingresso e nell uscita. Risposta libera X l (z) = [zi A] 1 zx Y l (z) = C[zI A] 1 zx Risposta forzata X f (z) = [zi A] 1 BU(z) Y f (z) = [C(zI A) 1 B + D]U(z) Dall ultima delle precedenti espressioni, che lega le trasformate dell ingresso e della corrispondente risposta forzata, risulta che la funzione di trasferimento del sistema in funzione delle matrici di stato vale G(z) = C[zI A] 1 adj(zi A) B + D = C det(zi A) B + D (2.12) Dalla relazione (2.12) è evidente che i poli di G(z), ovvero gli zeri del denominatore, sono necessariamente autovalori della matrice A. In generale, i poli di G(z) possono non contenere tutti gli autovalori di A, in quanto possono verificarsi cancellazioni tra numeratore e denominatore in G(z), come risulta dal seguente esempio. Esempio 2.5 A = [ La funzione di trasferimento vale ] B = [ 1 ] C = [1 ] D = G(z) = C[ zi A ] 1 B + D = 1 z 1 in cui non compare come polo l autovalore 2 di A.

28 Stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Richiamiamo qui brevemente le principali nozioni relative alla stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Stabilità della risposta libera di sistemi in rappresentazione di stato Definizione 2.3 Si consideri il sistema a tempo discreto lineare stazionario definito dalle equazioni di stato { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n y k = Cx k + Du k Tale sistema è detto stabile se la risposta libera ad una qualunque condizione iniziale x è limitata, è detto asintoticamente stabile se la risposta libera ad una qualunque condizione iniziale x è convergente a zero, è detto instabile altrimenti. Il seguente risultato caratterizza la stabilità del sistema in base agli autovalori della matrice A. Teorema 2.1 Un sistema lineare stazionario a tempo discreto è stabile se e solo se non esistono autovalori della matrice A con modulo maggiore di uno e quelli con modulo unitario hanno la molteplicità algebrica uguale a quella geometrica. Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo strettamente minore di uno. Osservazione 2.4 Si ricorda che un sistema lineare stazionario che sia (asintoticamente) stabile secondo la precedente definizione, soddisfa anche la condizione di (asintotica) stabilità nel senso di Lyapunov per ognuno dei suoi punti di equilibrio. Per una revisione di tale definizione di stabilità si rimanda ad un testo di teoria dei sistemi [6] Stabilità della risposta forzata (ingresso limitato-uscita limitata) Definizione 2.4 Un sistema è detto stabile nel senso ingresso limitato-uscita limitata (ILUL) se la risposta forzata y k corrispondente a qualunque ingresso u k limitato è limitata. La definizione di stabilità ILUL è appicabile sia alle rappresentazioni di stato, sia alle rappresentazioni ingresso-uscita. Il seguente risultato caratterizza la condizione di stabilità ILUL. Teorema 2.2 Un sistema lineare stazionario a tempo discreto è ILUL stabile se e solo se i poli della sua funzione di trasferimento G(z) hanno tutti i poli con modulo strettamente minore di 1. Osservazione 2.5 Poiché i poli della funzione di trasferimento sono anche autovalori della matrice A di una qualunque rappresentazione di stato, in base ai risultati precedenti si deduce che se un sistema lineare stazionario è asintoticamente stabile, allora è anche ILUL stabile. In generale non è vero il viceversa in quanto alcuni autovalori della matrice A possono non comparire come poli della funzione di trasferimento.

29 Criteri di stabilità per sistemi a tempo discreto Lo studio della stabilità (semplice, asintotica, ILUL) di un sistema lineare stazionario si riconduce allo studio della posizione delle radici di un polinomio (il polinomio caratteristico della matrice A per la stabilità delle rappresentazioni di stato, il polinomio a denominatore della funzione di trasferimento per la stabilità ILUL) rispetto ad una regione del piano complesso. Nel caso a tempo discreto, tale regione è rappresentata dal cerchio unitario aperto, allo stesso modo in cui nel caso a tempo continuo tale regione è il semipiano sinistro aperto Criterio di Jury Il criterio di Jury rappresenta l analogo del criterio di Routh per lo studio della posizione delle radici di un polinomio rispetto al cerchio unitario. Si consideri un polinomio della forma p(z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a (2.13) Anche questo criterio si basa sulla costruzione di una tabella da cui è possibile successivamente rilevare la condizione di stabilità. La tabella viene costruita come segue 1 1 a n a 1 a 2 a a a n b n 1 b n 2... b 1 b 4 b b 1... b n 2 b n (2.14) dove Si ha il seguente risultato. b n 1 = 1 a a 1, b n 2 = 1 a 1 a a n 1,... Teorema 2.3 Il polinomio p(z) in (2.13) ha tutte radici con modulo strettamente minore di uno se e solo se i primi elementi delle righe di indice dispari della tabella (2.14) sono tutti diversi da zero ed hanno segno positivo Trasformazione bilineare In alternativa al criterio di Jury, è possibile operare una trasformazione sul polinomio p(z) in modo tale da ottenere un espressione polinomiale π(s) che abbia tutte radici a parte reale negativa se e solo se il polinomio iniziale p(z) ha tutte radici interne al cerchio unitario. In questo modo è possibile studiare la stabilità di tale polinomio applicando a π(s) il criterio di Routh. Si consideri la funzione razionale fratta π(s) q(s) = p(z) z= 1+s 1 s dove π(s) e q(s) sono polinomi. Si può facilmente dimostrare che la trasformazione z = 1 + s 1 s (2.15)

30 24 u k = A sin(ωtk) G(z) y f k Figura 2.6: Risposta in frequenza a tempo discreto mappa in modo biunivoco il cerchio unitario del piano complesso in z nel semipiano sinistro del piano complesso in s. Pertanto la funzione razionale fratta (2.15) (ovvero il polinomio a numeratore π(s)) ha tutti zeri a parte reale strettamente negativa se e solo se il polinomio p(z) ha tutte radici a modulo strettamente minore di 1. In definitiva, la stabilità a tempo discreto di p(z) si studia applicando il criterio di Routh a π(s) definito come in (2.15). 2.7 Risposta in frequenza Il concetto di risposta in frequenza, noto per i sistemi lineari stazionari a tempo continuo, può essere facilmente esteso al caso a tempo discreto. Sussiste infatti un risultato del tutto analogo: un sistema lineare stazionario a tempo discreto ILUL stabile eccitato da una sinusoide campionata, a regime, risponde con una sinusoide campionata di pari frequenza, opportunamente amplificata e sfasata. Si consideri un sistema ILUL stabile descritto dalla funzione di trasferimento G(z) ed un ingresso dato dal campionamento con periodo T di una sinusoide di ampiezza A e pulsazione ω (fig. 2.6). Sussiste il seguente risultato. u k = A sin(ωt) t=kt = A sin(ωtk) (2.16) Teorema 2.4 Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto ILUL stabile con funzione di trasferimento G(z), la risposta forzata alla sinusoide campionata u k in (2.16) è data da y f k = yg k + yu k dove y G k (risposta transitoria) tende a per k e yu k (risposta permanente) vale y U k = A G(ejωT ) sin[ωtk + arg G(e jωt )] Dimostrazione. Risulta (si veda l esempio 2.4) e pertanto la risposta forzata vale U(z) = Az sin(ωt) (z e jωt )(z e jωt ) Y f Az sin(ωt) (z) = G(z) (z e jωt )(z e jωt ) Poiché G(z) ha tutti poli interni al cerchio unitario, effettuando la scomposizione in fratti semplici di Y f (z), si ha che Y f (z) può essere scritta come Y f (z) = Y G (z) + Y U (z) (2.17)

31 25 Y o (z) + L(z) Y (z) Figura 2.7: Sistema a tempo discreto in retroazione dove i poli di Y G (z) coincidono con i poli di G(z) ed i poli di Y U (z) coincidono con i poli di U(z). Calcolando esplicitamente Y U (z), ovvero la parte dello sviluppo in fratti semplici di Y f (z) dipendente dai poli di U(z), risulta Ponendo i.e. risulta Y U (z) = Az sin(ωt){ 1 = Az sin(ωt)[ G(z) 1 G(z) [ ] z e jωt z e jωt z=e jωt + [ z e jωt G(e jωt ) 1 + G(e jωt ) 1 ] e jωt e jωt z e jωt e jωt e jωt z e jωt M = G(e jωt ) ; ϕ = arg G(e jωt ) z e jωt ] z=e jωt } G(e jωt ) = Me jϕ, G(e jωt ) = G (e jωt ) = Me jϕ Y U (z) = Calcolando l antitrasformata zeta si ha AM sin(ωt) e jωt e jωt [ ] ze jϕ z e jωt ze jϕ z e jωt (2.18) (2.19) y U k = Z 1 [Y U (z)] = 1 2j AM[ejϕ e jωkt e jϕ e jωft ] = AM sin(ωkt + ϕ) Pertanto, in base alla (2.17), y f k = yg k + A G(ejωT ) sin[ωkt + arg G(e jωt )] dove yk G = Z 1 [Y G (z)] tende a zero per k in quanto Y G (z) ha i poli di G(z), che sono tutti interni al cerchio unitario. Osservazione 2.6 La risposta in frequenza G(e jωt ) di un sistema a tempo discreto è una funzione periodica (in ω) di periodo ω s = 2π/T. 2.8 Sistemi a tempo discreto in retroazione Per lo studio della stabilità di sistemi a tempo discreto in configurazione ad anello chiuso (fig. 2.7) valgono criteri del tutto analoghi a quelli già noti per il caso a tempo continuo.

32 26 Nyquist Diagram Imaginary Axis.5 Punto critico Real Axis Figura 2.8: Esempio 2.6: luogo delle radici e diagramma di Nyquist. Luogo delle radici. Data la funzione di trasferimento L(z) del guadagno d anello nella forma L(z) = K N(z) D(z) la costruzione del luogo delle radici (luogo dei poli del sistema ad anello chiuso al variare di K) è del tutto analoga al caso a tempo continuo, trattandosi di una costruzione puramente algebrica. Ciò che cambia, ovviamente, è l interpretazione del luogo per lo studio della stabilità, in quanto nel caso a tempo discreto è necessario studiare la mutua posizione del luogo rispetto alla regione di stabilità costituita dal cerchio unitario piuttosto che dal semipiano sinistro del piano complesso. Criterio di Nyquist. Sussiste un risultato del tutto analogo al criterio di Nyquist a tempo continuo, purché il diagramma di Nyquist sia costruito come l immagine attraverso L(z) del percorso di Nyquist D costituito dalla circonferenza unitaria (indentata) piuttosto che dall asse immaginario (indentato). Esempio 2.6 Si consideri il sistema in retroazione unitaria con guadagno d anello L(z) = K z.5 In figura 2.8 sono riportati il luogo delle radici (con sovrapposta la regione di stabilità a tempo discreto) ed il diagramma di Nyquist (calcolato per K = 1). 2.9 Stabilità interna di sistemi di controllo Con riferimento al sistema di controllo in retroazione in figura 2.9, vale una nozione di stabilità interna del tutto analoga al caso dei sistemi interconnessi a tempo continuo.

33 27 D p (z) R(z) + X 1 (z) U(z) X 2 (z) C(z) P(z) Y (z) V (z) H(z) X 3 (z) + + D h (z) Figura 2.9: Sistema di controllo in retroazione a tempo discreto. Definizione 2.5 Il sistema di controllo è internamente stabile se la funzione di trasferimento tra qualunque segnale di ingresso e qualunque segnale di uscita presenti nell anello è ILUL stabile. In evidente analogia con il caso a tempo continuo, sussiste la seguente caratterizzazione della condizione di stabilità interna. Teorema 2.5 Il sistema di controllo in retroazione è internamente stabile se e solo se: 1. la funzione di trasferimento 1+C(z)P(z)H(z) non ha zeri con modulo maggiore o uguale a uno e 2. non ci sono cancellazioni tra poli e zeri con modulo maggiore o uguale a uno nel prodotto C(z)P(z)H(z).

34 Capitolo 3 Sistemi a dati campionati Sommario. I sistemi di controllo digitale, nel loro insieme, sono di tipo ibrido, ovvero comprendono sia componenti a tempo continuo, sia componenti a tempo discreto, sia elementi di interfaccia tra i due domini. In questo capitolo verrà introdotto un formalismo unitario per descrivere la dinamica di questi modelli a dati campionati. Tale formalismo permette di analizzare le proprietà salienti dei sistemi in oggetto e di definire, ove possibile, le opportune funzioni di trasferimento a tempo discreto tra i campioni delle variabili di ingresso ed i campioni delle variabili di uscita. 3.1 Modellistica del campionamento Come primo obiettivo, vogliamo determinare un formalismo unico per descrivere, nel dominio della trasformata di Laplace, le proprietà dei segnali campionati e dei sistemi dinamici che integrano componenti a tempo continuo (es. impianto analogico), componenti a tempo discreto (es. controllore digitale) e dispositivi di interfacciamento (campionatore, ZOH) Modello della conversione A/D Si consideri un segnale a tempo continuo f(t) ed il segnale f (t) che si ottiene modulando (ovvero moltiplicando) f(t) per una portante impulsiva δ T (t) costituita da un treno di impulsi di Dirac attivi agli istanti t = kt δ T (t) = δ(t kt). (3.1) Il segnale modulato risulta uguale a k= Segnale da campionare f(t) Portante impulsiva f*(t) Segnale modulato f(t) f * (t) Figura 3.1: Campionamento come modulazione impulsiva f (t) = f(t)δ T (t) = f(t) δ(t kt) = f(kt)δ(t kt) (3.2) k= dove l ultimo passaggio è motivato dal fatto che δ T (t) è nulla per ogni t che non sia multiplo di T. Si osservi che f (t) risulta essere un segnale impulsivo dipendente dai campioni f(kt), in particolare è un treno di impulsi, attivi agli istanti t = kt, ciascuno dei quali ha ampiezza pari a f(kt). Pertanto, f (t) può essere considerato un modello concettuale, cioè una rappresentazione alternativa, della sequenza k=

35 29 f(kt). Al segnale f (t) non si attribuisce alcun significato fisico; esso costituisce, appunto, solo un modello. Calcolando la trasformata di Laplace di f (t) si ottiene F (s) = L[f (t)] = + f (t)e st dt = k= + f(kt)δ(t kt)e st dt = f(kt)e kts (3.3) dove nell ultimo passaggio si è utilizzata la proprietà di δ(t) rispetto all integrale. Dalla precedente espressione è evidente la seguente relazione tra F (s) e la trasformata zeta F(z) della sequenza f k = f(kt): F (s) = F(z) z=e st = Z[f k ] z=e st (3.4) La trasformata di Laplace F (s) di f (t) e la trasformata zeta F(z) del segnale campionato f k si ottengono l una dall altra ponendo z = e st. Nello schema a blocchi in figura 3.2 sono rappresentati l operazione di campionamento (l estrazione della sequenza f k = f(kt) da f(t) ed il suo modello a modulazione impulsiva sopra descritto. k= f(t) A/D f k Fisico f(t) Mod. Imp. f (t) Modello Figura 3.2: Modello del campionatore Modello della conversione D/A con ZOH f h (t) f 2 f 1 f T t Figura 3.3: Ricostruttore di ordine zero (ZOH) Rappresentando i segnali campionati con i loro equivalenti impulsivi, lo ZOH può essere modellato come un sistema lineare stazionario descritto da un opportuna funzione di trasferimento. Per vedere questo, si consideri il sistema lineare stazionario la cui risposta all impulso è data da g ZOH (t) = 1(t) 1(t T) (3.5)

36 3 f k ZOH f h (t) Fisico f (t) G ZOH (s) f h (t) Modello Figura 3.4: Modello dello ZOH u k G(z) y k Fisico u (t) G (s) y (t) Modello Figura 3.5: Modello della funzione di trasferimento a tempo discreto e si supponga di eccitare questo sistema con il segnale f (t) modulato impulsivamente che rappresenta una certa sequenza f k. La corrispodente risposta risulta f h (t) = g ZOH (t) f (t) = t g ZOH(t τ)f (τ)dτ = t g ZOH(t τ) + k= f kδ(τ kt)dτ = + k= f kg ZOH (t kt) = + k= f k[1(t kt) 1(t (k + 1)T)] (3.6) e questo segnale è pari alla versione ricostruita con ZOH della sequenza f k (vedi figura 3.3). Pertanto, nel modello a modulazione impulsiva, il segnale f h (t) che si ottiene ricostruendo f k con ZOH può essere rappresentato come il segnale impulsivo f (t) filtrato dal sistema lineare la cui risposta impulsiva è g ZOH (t). Quindi lo ZOH può essere modellato come un sistema lineare con funzione di trasferimento G ZOH (s) = L[g ZOH (t)] = L[1(t) 1(t T)] = 1 s 1 s e st = 1 e st s (3.7) (vedi figura 3.4). La trasformata di Laplace del segnale ricostruito è quindi data da F h (s) = G ZOH (s)f (s) (3.8) dove F (s) è la trasformata di Laplace dell equivalente impulsivo di f k, i.e., F (s) = F(z) z=e st Modello della funzione di trasferimento a tempo discreto Analizziamo ora il modello di un sistema dinamico a tempo discreto con ingresso u k, uscita y k e funzione di trasferimento G(z). Si vuole determinare una funzione di trasferimento G (s) in modo che la relazione nel dominio di Laplace Y (s) = G (s)u (s), tra gli equivalenti impulsivi u (t) dell ingresso e y (t) dell uscita, esprima la relazione Y (z) = G(z)U(z), che definisce la dinamica del sistema. Sia {g k } = Z 1 [G(z)] la

37 31 r(t) e(t) e k u k u h (t) y(t) C(z) ZOH P(s) _ Figura 3.6: Anello di controllo digitale r(t) e(t) u (t) u h (t) y(t) C (s) G ZOH (s) P(s) e (t) _ Figura 3.7: Anello di controllo digitale: modello a modulazione impulsiva risposta impulsiva di G(z). Allora, dalla definizione di trasformata zeta si ottiene Y (z) = G(z)U(z) + k= y k z k = Ponendo z = e Ts nella precedente relazione, si ottiene Y (s) = G (s)u (s) dove G (s) = + k= + k= + g k z k u k z k. (3.9) k= g k e kts. (3.1) Pertanto G (s) definita in (3.1) rappresenta G(z) nel modello a modulazione impulsiva (vedi figura 3.5) Modelli di sistemi interconnessi Si consideri un sistema a dati campionati eterogeneo, come ad esempio l anello di controllo mostrato in figura 3.6. Impiegando il modello del campionamento a modulazione impulsiva, le funzioni di trasferimento a tempo continuo, quelle a tempo discreto ed il ricostruttore possono essere caratterizzati mediante opportune funzioni di trasferimento nel dominio della trasformata di Laplace, mentre il campionatore è modellato da un blocco che, dato un segnale d ingresso f(t), fornisce in uscita l equivalente impulsivo f (t) del suo campionamento (figura 3.7). Per poter analizzare i modelli a dati campionati interconnessi, è necessario enunciare alcune importanti proprietà dell operazione di campionamento. Proprietà 3.1 Sia y(t) un segnale dato dalla convoluzione tra un segnale continuo g(t) ed un segnale impulsivo u (t) (y(t) = g(t) u (t), ovvero Y (s) = G(s)U (s)) e si consideri il suo campionamento y k = y(kt) (o l equivalente y (t)). Allora y k (y (t)) dipende soltanto dai campioni g k = g(kt) di g(t) (ovvero da g (t)), ed in particolare risulta Infatti, essendo u (t) = + i= u iδ(t it), risulta y(t) = g(t) u (t) = Y (s) = [G(s)U (s)] = G (s)u (s) (3.11) + g(t τ) u i δ(τ it)dτ = i= + i= g(t it)u i (3.12)

38 32 U(s) U (s) G(s) Y (s) Y (s) Figura 3.8: Esempio 3.1 U(s) Y (s) Y (s) G(s) Figura 3.9: Esempio 3.2 e quindi y k = y(kt) = g k i u i (3.13) che dipende solo dai campioni di g(t). Inoltre, applicando a (3.13) la trasformata zeta, si ha Y (z) = G(z)U(z) dove G(z) = Z{g k }, ovvero Y (s) = G (s)u (s). Osservazione 3.1 Il risultato precedente si traduce in generale nella proprietà che in un espressione del tipo [A(s)B (s)], che nel dominio di Laplace rappresenta il campionamento della convoluzione di un segnale continuo a(t) con un segnale impulsivo b (t), la quantità B (s) può essere simbolicamente portata fuori dall operazione di campionamento [ ], i.e., [A(s)B (s)] = A (s)b (s). Si noti bene che se A(s) e B(s) rappresentano entrambe segnali continui e non impulsivi, allora in generale [A(s)B(s)] A (s)b (s); in altri termini il campionamento della convoluzione di due segnali a(t) e b(t) non dipende solo dai campioni dei singoli segnali, ma dal loro intero andamento. Ciò non succede invece, per quanto visto, quando uno dei due segnali è impulsivo. Esempio 3.1 Si consideri lo schema in figura 3.8. Poiché la risposta y(t) è la convoluzione di g(t) con u (t), in base al risultato precedente si ha i= Y (s) = [G(s)U (s)] = G (s)u (s) o equivalentemente Y (z) = G(z)U(z). In questo caso esiste quindi una funzione di trasferimento in z tra i campioni u k di u(t) e quelli y k di y(t). Esempio 3.2 Si consideri adesso lo schema in Figura 3.9; in questo caso risulta Y (s) = [G(s)U(s)] ovvero Y (z) = Z[G(s)U(s)] (3.14) in cui non è possibile scrivere l espressione di Y (z) in una forma che contenga separatamente G(z) e U(z). In altre parole i campioni dell uscita dipendono dall intero andamento continuo di g(t) e u(t) e non solo dai loro campioni come nel caso precedente. Detto ancora diversamente, il campionamento della convoluzione di due segnali continui non è uguale alla convoluzione discreta dei campioni dei singoli segnali. Le osservazioni precedenti implicano che in un sistema a dati campionati con ingressi continui è possibile definire una funzione di trasferimento a tempo discreto tra i campioni dell ingresso e i campioni dell uscita solo nel caso in cui siano effettivamente solo i campioni dell ingresso a determinare la risposta del sistema, ovvero solo quando l ingresso attraversa un campionatore prima di essere filtrato da un qualunque blocco.

39 33 u(t) u k = u(kt) ZOH u h (t) Figura 3.1: Esempio Analisi dei sistemi a dati campionati Dato un sistema di controllo digitale in retroazione, o comunque un sistema interconnesso in cui sono presenti elementi a tempo discreto, elementi a tempo continuo e campionatori/mantenitori, si desidera calcolare l espressione della risposta in tutti i segnali (continui e discreti) del sistema, noti gli ingressi, calcolare, quando ciò è possibile, le funzioni di trasferimento a tempo discreto tra i segnali d ingresso, campionati, ed i segnali di uscita, anch essi campionati. Osserviamo che in un sistema in cui siano presenti segnali a tempo continuo e segnali campionati, non è possibile in generale determinare la funzione di trasferimento a tempo continuo tra eventuali segnali di ingresso continui ed eventuali segnali di uscita continui. Le relazioni che legano questi segnali sono infatti in genere non stazionarie (tempo varianti) e quindi non esprimibili come funzioni di trasferimento, come nel caso seguente. Esempio 3.3 Si consideri il sistema in figura 3.1, con ingresso continuo u(t) e uscita continua u h (t). Si verifica facilmente che la risposta del sistema al segnale u(t δ) (con δ mt) non vale u h (t δ), pertanto il sistema non è tempo invariante nel senso a tempo continuo e quindi la funzione di trasferimento tra U(s) e U h (s) non esiste Equivalente campionato con ZOH Si consideri un sistema a tempo continuo G(s) interfacciato con un dispositivo digitale D attraverso un convertitore A/D ed un convertitore D/A (ZOH), come in figura Dal punto di vista ingresso-uscita, l interconnessione ZOH G(s) A/D è un sistema a tempo discreto. Si vuole determinare il modello equivalente a tempo discreto di questa interconnessione, ovvero il modello di come il dispositivo digitale D vede l insieme del sistema continuo e dei convertitori. L ingresso di G(s) è rappresentato dalla ricostruzione con ZOH u h (t) del segnale di ingresso u k, mentre la corrispondente uscita y(t) viene campionata nella successione y k. Si consideri la rappresentazione equivalente col modello a modulazione impulsiva in figura Risulta quindi Y (s) = G ZOH (s)g(s)u (s) (3.15) Y (s) = [ [G ZOH (s)g(s)u (s)] = [G ZOH (s)g(s)] U (s) = (1 e st ) G(s) ] U (s) s (3.16) Poiché L 1 [1 e st ] = δ(t) δ(t T) è una funzione impulsiva, il termine 1 e st si porta fuori dall operazione [ ], dunque [ ] G(s) Y (s) = (1 e st ) U (s) (3.17) s Passando infine alla trasformata zeta [ ] G(s) Y (z) = (1 z 1 )Z U(z). (3.18) s

40 34 u k, U(z) u h (t) y(t) ZOH G(s) A/D y k, Y (z) U h (s) Y (s) u k, U(z) G d (z) y k, Y (z) Figura 3.11: Equivalente campionato con ZOH U (s) G ZOH (s) G(s) A/D U h (s) Y (s) Y (s) Figura 3.12: Equivalente campionato con ZOH a modulazione impulsiva Dunque risulta definita la funzione di trasferimento tra U(z) e Y (z) [ ] Y (z) G(s) U(z) = G d(z) = (1 z 1 )Z s (3.19) Il sistema descritto da G d (z) è detto equivalente a dati campionati (con ZOH) del sistema G(s). Si noti che l equivalente campionato dipende dal tipo di mantenitore usato. Infatti, la funzione di trasferimento a modulazione impulsiva che descrive lo ZOH influenza l espressione di G d (z). Osservazione 3.2 Con riferimento allo schema di controllo digitale in figura 3.13, l equivalente campionato con ZOH P d (z) dell impianto rappresenta il modo in cui viene visto l insieme dell impianto e dei converitori da parte dei componenti puramente digitali del sistema. In questo modo, come vedremo, è possibile studiare alcuni problemi di controllo in un dominio puramente discreto. In base alla (3.19), il calcolo del modello equivalente con ZOH può essere riassunto nella seguente procedura. 1. Determinare l antitrasformata di Laplace g(t) = L 1 [G(s)/s] 2. Determinare la trasformata zeta G(z) = Z[ g k ] = Z[ g(kt)]

41 35 r k e k C(z) _ u k ZOH u h (t) P(s) y(t) A/D y k P d (z) Figura 3.13: Anello di controllo digitale 3. Calcolare G d (z) = (1 z 1 ) G(z) Esempio 3.4 G(s) = 1 s g(t) = t 1(t) g k = kt 1 k G(z) = G(s) = 1 s 2 g(t) = t2 2 1(t) g k = (kt)2 1 k 2 G(z) = T 2 z(z + 1) 2 (z 1) 3 G d(z) = T 2 (z + 1) 2 (z 1) 2 L equivalente campionato con ZOH di sistemi con ritardo del tipo Tz (z 1) 2 G d(z) = T z 1 G(s) = e τs G (s) (3.2) può essere calcolato mediante il procedimento ora descritto tenendo presente la formula della trasformata zeta di segnali campionati con ritardo. Si scompone il ritardo in τ = mt + δ ; m intero, δ < T e si calcola dove g (t) = L 1 [G (s)/s]. [ ] G(s) G d (z) = (1 z 1 )Z [ s G = (1 z 1 ] (s) )Z e τs s = (1 z 1 )Z [ g (t τ) t=kt ] = z m 1 (1 z 1 )Z [ g (kt + (T δ)) 1 k ] (3.21) Esempio 3.5 G(s) = e τs s 2 = e mts e δs [ G (s) s 2 = 1 ] s s 3 [ ] (kt + (T δ)) G d (z) = z m 1 (1 z 1 2 )Z 1 k 2 ] 1 k + (T δ)z[kt 1 k ] + { [ (kt) = z m 1 (1 z 1 2 ) Z 2 { T = z m 1 (1 z 1 2 z(z + 1) ) 2 (z 1) 3 + (T δ) Tz (T δ)2 + (z 1) 2 2 } (T δ)2 Z[1 k ] 2 } z z 1 (3.22) (3.23) (3.24) (3.25)

42 36 r(t) e(t) e k u k u h (t) y(t) C(z) ZOH P(s) _ Figura 3.14: Sistema di controllo digitale r(t) e(t) u (t) u h (t) y(t) C (s) G ZOH (s) P(s) e (t) _ Figura 3.15: Sistema di controllo digitale: modello equivalente 3.3 Schemi a blocchi a dati campionati Dato uno schema a blocchi a dati campionati, si vuole determinare, se questa esiste, la funzione di trasferimento a tempo discreto tra l ingresso ed uscita campionati, o in caso contrario almeno l espressione dell uscita una volta noto l ingresso. Si consideri ad esempio il sistema di controllo digitale in retroazione in figura 3.14 ed il suo equivalente a modulazione impulsiva in figura Determiniamo, se possibile, la funzione di trasferimento tra i campioni r k dell ingresso r(t) ed i campioni y k dell uscita y(t). Risulta dove Y (s) = [P(s)G ZOH (s)u (s)] = Passando alla trasformata zeta si ottiene [ (1 e st )U (s) P(s) ] (3.26) s [ ] P(s) Y (s) = (1 e st ) U (s) (3.27) s [ ] P(s) Y (s) = (1 e st ) C (s)[r (s) Y (s)] (3.28) s Y (s) = L (s) 1 + L (s) R (s) (3.29) [ ] P(s) L (s) = (1 e st )C (s) (3.3) s Y (z) = L(z) R(z) (3.31) 1 + L(z)

43 37 d u (t) d y (t) r k e k C(z) _ u k ZOH P(s) A/D y k D u D y R E C (s) _ U ZOH P(s) A/D Y Figura 3.16: Sistema di controllo digitale con disturbi dove [ ] P(s) L(z) = (1 z 1 )C(z)Z s (3.32) Si è quindi ottenuta la funzione di trasferimento W(z) = Y (z)/r(z). Si noti che il guadagno d anello L(z) può essere scritto anche come L(z) = C(z)P d (z) (3.33) dove P d (z) è l equivalente campionato con ZOH dell impianto. D altra parte il sistema che lega y k a r k può essere visto proprio come un sistema puramente a tempo discreto in retroazione unitaria con guadagno d anello (3.33). Si consideri adesso il sistema di controllo in figura Si vuole valutare l effetto sull uscita dei disturbi d u (t) e d y (t) e se possibile determinare la funzione di trasferimento tra i campioni di questi disturbi ed i campioni dell uscita. Dal diagramma a blocchi, osserviamo che la risposta nell uscita al disturbo d u (t) dipende dal segnale che si ottiene filtrando d u (t) attraverso P(s) e poi campionando, ovvero da [P(s)D u (s)], mentre la risposta a d y (t) dipende dal solo campionamento di d y (t), ovvero da Dy(s). In base alle osservazioni fatte in precedenza, ci aspettiamo quindi che esista la funzione di trasferimento Y (s)/dy(s) [Y (z)/d y (z)] ma non quella Y (s)/du(s). Mediante passaggi analoghi a quelli svolti per il calcolo della risposta al riferimento, si ottiene la risposta campionata al disturbo d u (t) ovvero Y d u (s) = Y du (z) = e la risposta campionata al disturbo d y (t) ovvero [P(s)D u (s)] 1 + C (s)[g ZOH (s)p(s)] (3.34) Z[P(s)D u (s)] 1 + C(z)(1 z 1 )Z[P(s)/s] (3.35) Yd 1 y (s) = 1 + C (s)[g ZOH (s)p(s)] D y(s) (3.36) 1 Y dy (z) 1 + C(z)(1 z 1 D y (z) (3.37) )Z[P(s)/s] } {{ } Y (z)/d y(z) È quindi evidente che esiste la funzione di trasferimento Y (z)/d y (z) ma non la funzione di trasferimento Y (z)/d u (z).

44 Oscillazioni interperiodo La funzione di trasferimento W(z) di un sistema di controllo digitale esprime la relazione tra i campioni del segnale di riferimento ed i campioni dell uscita. Tuttavia il segnale che si ha interesse a controllare è sempre l uscita analogica y(t), non quella campionata y k. I campioni dell uscita costituiscono l informazione utilizzata per il controllo ma non l obiettivo del controllo, che è invece rappresentato dall andamento di y(t). In generale, l uscita y(t) varia con continuità tra due istanti di campionamento successivi e questo non è evidentemente individuabile dall andamento di y k. Tali variazioni possono rimanere significative anche agli istanti di tempo in cui, in base alla funzione di trasferimento discreta W(z), la risposta campionata del sistema ha raggiunto una situazione di regime. Questo comportamento dell uscita analogica è in genere fortemente indesiderato. Esempio 3.6 Si consideri il sistema di controllo digitale con passo di campionamento T = 1 s, funzione di trasferimento dell impianto e s P(s) = 1 + 8s + 15s 2 (3.38) e controllore z z z C(z) =.28z z 2 (3.39).28z.234 Come vedremo in seguito, questo controllore è progettato in modo che la risposta al gradino campionata del sistema vada a regime dopo soli 2 istanti di campionamento. In figura 3.17 viene mostrata la simulazione dell andamento della risposta analogica in corrispondenza a questo progetto. È evidente che la risposta campionata raggiunge il valore di regime in due passi di campionamento, ma che l uscita analogica continua ad oscillare per lungo tempo tra un periodo di campionamento ed il successivo Figura 3.17: Oscillazioni interperiodo 3.5 Equivalente campionato in rappresentazione di stato Dato un sistema lineare stazionario Σ a tempo continuo in equazioni di stato { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) Σ : y(t) = Cx(t) + Du(t) (3.4) si vuole determinare la rappresentazione di stato del suo equivalente campionato con ZOH Σ d (figura 3.18). Assumendo x(kt) come condizione iniziale all istante t = kt, la risposta di Σ valutata all istante (k+1)t vale (k+1)t x((k + 1)T) = e AT x(kt) + e A((k+1)T τ) B dτ u k (3.41) kt y(kt) = Cx(kT) + Du k

45 39 u k ZOH Σ A/D y k u k Σ d y k Figura 3.18: Equivalente campionato in rappresentazione di stato Si noti infatti che lo ZOH mantiene l ingresso costante e pari a u(t) = u h (t) = u k in tutto l intervallo [kt,(k + 1)T). Effettuando un cambio di variabile nell integrale è possibile riscrivere (3.41) come T x k+1 = e AT x k + e Aθ B dθ u k (3.42) y k = Cx k + Du k dove x k = x(kt), y k = y(kt). Dunque, l evoluzione di x k, y k, u k è descritta dal modello in equazioni di stato { xk+1 = A d x k + B d u k y k = C d x k + D d u k (3.43) dove A d = e AT ; B d = T e Aσ dσb; C d = C; D d = D (3.44) Tale modello rappresenta l equivalente campionato con ZOH del sistema Σ.

46 Capitolo 4 Campionamento e ricostruzione Sommario. In questo capitolo vengono richiamati brevemente i risultati fondamentali (teorema di Shannon e sue conseguenze) sul campionamento e la ricostruzione di segnali. Tali operazioni vengono caratterizzate in termini di spettro di Fourier. 4.1 Spettro di Fourier di un segnale Definizione 4.1 Lo spettro (trasformata) di Fourier di un segnale f(t) (integrabile in valore assoluto sull insieme dei reali) è una funzione F(jω) : R C definita da F(jω) = + f(t) e jωt dt Si noti che per segnali tali che f(t) = t <, lo spettro F(jω) coincide con la trasformata di Laplace F(s) del segnale valutata sull asse immaginario, i.e. per s = jω, ω R. Sotto ipotesi opportune, la trasformata di Fourier determina univocamente il segnale, e risulta f(t) = 1 2π + F(jω) e jωt dω (4.1) In questo caso, f(t) è detto antitrasformata di Fourier di F(jω). Lo spettro F(jω) si presta ad un interpretazione intuitiva come generalizzazione della serie di Fourier, che viene invece usata per la scomposizione armonica di segnali periodici. Scomponendo F(jω) in modulo e fase, dalla (4.1) si ottiene f(t) = 1 2π + F(jω) e j(ωt+arg[f(jω)]) dω (4.2) dove e j(ωt+arg[f(jω)]) = cos(ωt + arg[f(jω)]) + j sin(ωt + arg[f(jω)]) (4.3) Se si suppone che f(t) sia un segnale reale, la sua parte immaginaria è ovviamente zero e allora f(t) = 1 2π + F(jω) cos(ωt + arg[f(jω)])dω (4.4) Il segnale f(t) risulta quindi dalla sommatoria integrale rispetto a ω di sinusoidi infinitesime di pulsazione ω ed ampiezza F(jω) dω. Il modulo dello spettro di Fourier, F(jω), può quindi essere interpretato come densità di ampiezza (rispetto a ω) del continuo di sinusoidi che compongono f(t) ed è detto contenuto frequenziale o spettro di ampiezza di f(t) (figura 4.1). 4.2 Spettro del segnale campionato Si consideri la sequenza f k = f(kt) che risulta dal campionamento con periodo T di un segnale continuo f(t) nullo per t <, ed il segnale a modulazione impulsiva f (t) equivalente a f k. Si ha il seguente risultato.

47 41 F(jω) ω Figura 4.1: Spettro di ampiezza di un segnale f(t) Teorema 4.1 Tra la trasformata di Laplace F(s) di un segnale f(t) nullo per t < e la trasformata di Laplace F (s) di f (t) sussiste la relazione F (s) = 1 T + k= F(s jkω s ) ; ω s = 2π T (4.5) Dimostrazione. Sviluppando il segnale periodico δ T (t) = k= δ(t kt) in serie complessa di Fourier si ottiene + 1 2π δ T (t) = ejk T (4.6) T pertanto k= f (t) = f(t)δ T (t) = + k= 1 2π f(t)ejk T (4.7) T e dunque, applicando la proprietà di moltiplicazione per esponenziale della trasformata di Laplace F (s) = 1 T + k= F(s jk 2π T ) = 1 T + k= F(s jkω s ) (4.8) In base al risultato precedente, poichè f (t) è nullo per t <, lo spettro di f (t) è dato da F (jω) = F (s) s=jω = 1 T + k= F[j(ω kω s )] (4.9) Si noti come l andamento dello spettro del segnale f (t) sia costituito da infinite repliche (alias) dello spettro del segnale originale f(t) spaziate tra loro della pulsazione di campionamento ω s e scalate di un fattore 1/T (figura 4.2). 4.3 Modello del ricostruttore ideale e teorema di Shannon Si consideri un segnale f(t) a banda limitata, il cui spettro di ampiezza sia cioè nullo per ω > ω f dove ω f è un dato valore (figura 4.3). Data la sequenza f k = f(kt) di campioni di f(t), si considera il problema di ricostruire, se possibile, il segnale originale f(t) a partire da f k. Elaboriamo innanzitutto un modello concettuale di questa operazione impiegando l equivalente a modulazione impulsiva del segnale campionato. Tenendo presente la forma dello spettro del segnale impulsivo f (t) che rappresenta f k, si osserva che lo spettro di f(t) può essere ricostituito a partire da quello

48 42 F(jω) ω f ω f T F (jω) ω 2ω s ω s ω f ω s 2ω s ω f ω Figura 4.2: Spettro di ampiezza di un segnale f(t) e spettro di ampiezza del segnale campionato equivalente f (t) F(jω) ω f ω f ω F(jω) = ω > ω f Figura 4.3: Segnale a banda limitata

49 43 G PB (jω) T ω N ω N ω G PB (jω) = Trect(ω/ω N ) ; ω N = ω s /2 Figura 4.4: Filtro passa-basso ideale di f (t) mediante un operazione ideale di filtraggio passa-basso che (a parte un fattore d ampiezza T) elimini il contenuto frequenziale di f (t) esterno alla pulsazione ω N = ω s 2 = π T pulsazione di Nyquist (4.1) Tale operazione equivale ad elaborare f (t) attraverso un filtro la cui risposta in frequenza sia quella indicata in figura 4.4. Si osserva facilmente che l operazione sopra descritta può dare due esiti diversi a seconda della relazione che esiste tra la pulsazione di taglio ω N del filtro e la banda ω f del segnale f(t). In particolare, se ω N > ω f, il filtro rivela lo spettro corretto del segnale originale segnale continuo f(t) f * (t) f (t) campionamento basso filtro passa ideale segnale originale se ω N < ω f, il filtro isola lo spettro del segnale originale sovrapposto a componenti spurie dovute alle repliche segnale continuo campionamento filtro passa-basso segnale con aliasing Sotto la condizione ω N > ω f il segnale f(t) può essere quindi ottenuto applicando al segnale f (t) un filtro la cui risposta in frequenza G PB (jω) vale T per ω N ω ω N e zero altrove. Questo risultato è alla base del noto Teorema 4.2 (di Shannon) Dato un segnale f(t) a banda limitata ω f, i.e. F(jω) = ω > ω f (4.11) esso è ricostruibile a partire dalla sequenza di campioni f k = f(kt) se e solo se risulta In tal caso, il segnale f(t) è dato da f(t) = + k= ω f < ω N. (4.12) f(kt) sin(ω N(t kt)) ω N (t kt) (4.13)

50 44 Dimostrazione. Poiché, sotto le ipotesi fatte, lo spettro F(jω) è pari allo spettro F (jω) filtrato per un passa basso ideale che taglia a ω N [G PB (jω) = Trect(ω/ω N )], il segnale ricostruito f(t) è quindi dato dalla convoluzione di f (t) con la risposta impulsiva del filtro passa basso, la quale vale Dunque f(t) = g PB (t) f (t) = ovvero g PB (t) = 1 2π + f(t) = + G PB (jω)e jωt dω = sin(ω Nt) ω N t g PB (t τ)f (τ)dτ = + k= + f(kt) + e tenendo presente le proprietà di δ(t) rispetto all integrale f(t) = + k= sin(ω N (t τ)) ω N (t τ) < t < + (4.14) + k= f(kt)δ(τ kt)dτ (4.15) sin(ω N (t τ)) δ(τ kt)dτ (4.16) ω N (t τ) f(kt) sin(ω N(t kt)). (4.17) ω N (t kt) Osservazione 4.1 L espressione (4.13) del segnale f(t) ricostruito in base ai suoi campioni f k = f(kt) mette in evidenza la non causalità dell operazione di ricostruzione secondo il teorema di Shannon. Infatti, si nota facilmente che per ogni t, il valore di f(t ) è funzione di tutti i campioni f(kt) per k che va da a +. Evidentemente, qualunque sia t esiste sempre k tale che kt > t, per cui il valore di f(t ) dipende da campioni del segnale relativi ad istanti futuri rispetto a t. Questo rende la formula di ricostruzione di Shannon non applicabile in contesti, quali i sistemi di controllo, che siano soggetti al principio di causalità, dove cioè ci sia la necessità di calcolare in linea, ossia conoscendo ad ogni istante solo i campioni già acquisiti, il segnale ricostruito. D altra parte, il teorema di Shannon fornisce comunque una condizione necessaria per la ricostruibilità del segnale a partire dal suo campionamento: se le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, il segnale non è ricostruibile nemmeno in condizioni ideali Aliasing e filtro anti-aliasing Campionare un segnale f(t) con un periodo T per cui non siano soddisfatte le ipotesi del teorema di Shannon costituisce un errore irreversibile, nel senso che dai campioni f k che si ottengono non c è alcun modo di ricostituire successivamente il segnale originale. Questa condizione è detta aliasing ed è, per quanto detto, una situazione da prevenire a livello di acquisizione dei campioni. Al fine di evitare fenomeni di aliasing, di solito dovuti al campionamento di rumore ad alta frequenza sovrapposto al segnale d interesse, si introduce un filtro passa-basso (analogico) a monte del campionatore (figura 4.5). Il filtro anti-aliasing deve tagliare significativamente tutto il contenuto frequenziale a segnale continuo f(t) filtro antialiasing f a (t) campionamento f k (ricostruttore) Figura 4.5: Filtro anti-aliasing pulsazioni superiori a ω N, ovvero tutte le componenti del segnale che verrebbero campionate in condizioni di aliasing. Naturalmente, se il segnale utile, senza cioè rumore sovrapposto, ha componenti a pulsazione maggiore di ω N, significa che è stato scelto in modo errato il periodo di campionamento (e non il filtro). Il filtro anti-aliasing non può essere un filtro ideale, dunque sono necessari particolari accorgimenti che verranno esposti in seguito.

51 45 (a) segnale + rumore 2 1 (a) prefiltrato (c) tempo (sec) 2 (b) (a) campionato a 28 Hz tempo (sec) 2 (d) Campionato a 28 Hz tempo (sec) tempo (sec) Figura 4.6: Esempio 4.1: illustrazione del fenomeno dell aliasing Esempio 4.1 Si supponga di campionare una sinusoide a 1 Hz affetta da rumore a 6 Hz (fig. 4.6 (a)) con frequenza fs = 28 Hz. La ricostruzione del segnale a partire da questo campionamento genera il segnale originale sovrapposto ad un armonica spuria a 4 Hz dovuta al fenomeno dell aliasing (fig. 4.6 (b)). Prefiltrando il segnale con un passa-basso che taglia alla frequenza di 3.2 Hz (fig. 4.6 (c)), si ottiene un segnale che non ha componenti che vengono campionate in condizioni di aliasing, per cui la ricostruzione del segnale dai campioni e corretta. (fig. 4.6 (d)). Dall esempio precedente risulta evidente che, qualora il campionamento di un segnale rumoroso avvenga in condizioni di aliasing, il segnale ricostruito presenta, nella banda del segnale utile (la cosiddetta banda base), componenti spurie che non sono caratteristiche ne del segnale ne del disturbo. 4.4 Interpretazione in frequenza dello ZOH Nella formula di ricostruzione ideale di Shannon, l espressione del segnale ricostruito puo essere vista come cio che si ottiene come risultato dell applicazione di un filtro passa-basso ideale al segnale impulsivo f (t) che rappresenta fk = f (kt ). La risposta in frequenza di tale filtro e data da GP B (jω) = T rect(ω/ωn ) (4.18) Si noti che il filtro passa basso ideale ha fase nulla a tutte le pulsazioni. Abbiamo gia osservato che la ricostruzione che si ottiene e non causale. In alcune applicazioni di telecomunicazioni risulta accettabile fornire il segnale ricostruito con un certo ritardo, in modo da poter basare la ricostruzione del segnale ad un dato istante anche su un certo numero di campioni acquisiti ad istanti successivi. Questo approccio e evidentemente impraticabile nei sistemi di controllo in retroazione, poiche l introduzione di ritardi nell anello e dannosa per la stabilita del sistema. Il mantenitore di ordine zero (ZOH) comunemente usato nei sistemi di controllo, pur essendo un filtro causale, non realizza evidentemente la formula di Shannon, per cui ricostruisce, anche in assenza di aliasing, solo un approssimazione del segnale che si otterrebbe secondo Shannon conoscendo ad ogni istante i campioni futuri. Poiche, come noto, la ricostruzione con ZOH equivale al filtraggio di f (t) attraverso GZOH (s), la differenza tra ricostruzione ideale e con ZOH si puo interpretare confrontando la risposta in frequenza di GZOH (s) con quella del passa-basso ideale. Risulta GZOH (jω) = 1 e jωt sin(ωt /2) jωt /2 =T e jω ωt /2 (4.19)

52 ω s ω s ω s 2ω s 2ω s ω s ω s 2ω s Modulo (T = 1) Fase (T = 1) Figura 4.7: Risposta in frequenza dello ZOH quindi sin( ωt 2 G ZOH (jω) = ), arg G ZOH(jω) = ωt 2 ωt 2 (4.2) Si osserva che lo ZOH, contrariamente al passa-basso ideale, introduce guadagno non costante nella banda tra ω = e ω = ω N e non nullo al di fuori, oltre ad uno sfasamento pari a quello di un elemento di ritardo τ = T/2 nella banda tra ω = e ω = ω s (figure 4.7,4.8). 1 ω ZOH ω ω ω ω Filtro ideale ω 2ω 3ω Figura 4.8: Risposta in frequenza dello ZOH e del ricostruttore ideale

53 Capitolo 5 Realizzazione digitale di controllori analogici Scelta del passo di campionamento È meglio mettere le mani avanti, come disse Eulero all Indietro. K., 27 Sommario. In questo capitolo vengono presentati i metodi di sintesi di controllori digitali mediante approssimazione discreta di regolatori analogici progettati con metodi noti. Viene inoltre discusso il problema della scelta del passo di campionamento sulla base dei requisiti imposti al sistema di controllo. 5.1 Progetto per discretizzazione Dato un impianto lineare stazionario P(s), si supponga di aver progettato con metodi noti (sintesi per tentativi, luogo delle radici, ecc.) un regolatore analogico C(s) a fronte di opportune specifiche. L idea fondamentale alla base dei metodi analizzati in questo capitolo è quella di approssimare le caratteristiche dinamiche di C(s) con un regolatore a tempo discreto C(z) in modo che, una volta inserito C(z) in un anello di controllo digitale, si ottengano prestazioni del sistema analoghe a quelle del corrispondente sistema di controllo analogico (figura 5.1). Si consideri un controllore lineare a tempo continuo r(t) riferimento + - e(t) segnale di errore C(s) controllore analogico u(t) ingresso G(s) impianto y(t) uscita r(t) riferimento + - e(t) segnale di errore A/D A/D e k C(z) u k D/A D/A u(t) ingresso G(s) y(t) uscita controllore digitale impianto Figura 5.1: Schema concettuale del progetto per approssimazione. C(s) = U(s) E(s) = b ms m + b m 1 s m b s n + a n 1 s n a (5.1) Come è noto, la precedente funzione di trasferimento rappresenta nel dominio della trasformata di Laplace l equazione differenziale ingresso-uscita u (n) (t) + a n 1 u (n 1) (t) + + a = b m e (m) (t) + b m 1 e (m 1) (t) + + b e(t) (5.2)

54 48 Il progetto per approssimazione si basa sui metodi alle differenze finite comunemente utilizzati per la soluzione delle equazioni differenziali con l uso calcolatori digitali. Poiché, come già ricordato, i calcolatori digitali non possono operare sul continuo, le operazioni integro-differenziali devono essere necessariamente approssimate con operazioni che coinvolgano soltanto un insieme discreto di campioni delle funzioni in gioco. In questo senso, ogni equazione differenziale di cui si voglia simulare la soluzione su un calcolatore deve essere approssimata con un equazione alle differenze. Si supponga che, noto e(t), la soluzione dell equazione differenziale (5.2) possa essere approssimata dalla soluzione dell equazione alle differenze u k+1 + α n 1 u k+n α u k = β n e k+n + β n 1 e k+n β e k (5.3) in cui u k = u(kt) e k = e(kt) costituiscono campionamenti a passo fisso T delle funzioni e(t) ed u(t). Se una tale approssimazione è precisa, nel senso che la sequenza u k soluzione di (5.3) riproduce fedelmente un campionamento della soluzione u(t) di (5.2), si può affermare che la funzione di trasferimento C(z) = β nz n + β n 1 z n 1 + β z n + α n 1 z n α (5.4) operando sui campioni di e(t) ed u(t), riproduce fedelmente le caratteristiche dinamiche del sistema continuo descritto dalla funzione di trasferimento (5.1). Nel seguito del capitolo, analizzeremo alcuni metodi di approssimazione alle differenze finite idonei ad essere applicati al progetto di regolatori a tempo discreto a partire da regolatori a tempo continuo. 5.2 Metodi di discretizzazione I metodi di approssimazione alle differenze finite che analizzeremo possono essere derivati da altrettanti metodi comunemente usati per il calcolo approssimato dell integrale di una funzione e(t) conoscendo la funzione integranda in un insieme discreto di punti t = kt. Metodo di Eulero in avanti Metodo di Eulero all indietro (k+1)t kt e(τ)dτ Te(kT) (k+1)t kt e(τ)dτ Te((k + 1)T)

55 49 Metodo dei trapezi (di Tustin) (k+1)t kt Sia consideri la funzione integrale di e(t) e(τ)dτ i(t) = T[e((k + 1)T) + e(kt)] 2 t e(τ)dτ (5.5) La relazione tra i(t) ed e(t) può essere espressa con la trasformata di Laplace nel seguente modo I(s) = 1 E(s) E(s) = si(s) (5.6) s Si considerino i campioni i k = i(kt), e k = e(kt). Approssimando l operazione di integrale con ciascuno dei tre metodi sopracitati, tali campioni risultano legati da opportune relazioni, rispettivamente. Metodo di Eulero in avanti i k+1 i k = (k+1)t che prendendo le rispettive trasformate zeta può essere scritta come kt e(τ)dτ Te k (5.7) (z 1)I(z) TE(z) (5.8) e dunque la relazione integrale/differenziale tra e(t) e i(t) induce una relazione approssimata tra i relativi campioni sulla base della formula di approssimazione dell integrale. Dunque Metodo di Eulero all indietro: e dunque Metodo di Tustin e dunque E(s) = si(s) = E(z) z 1 I(z) (5.9) T i k+1 i k Te k+1 = Zeta (z 1)I(z) T ze(z) (5.1) E(s) = si(s) = E(z) z 1 I(z) (5.11) Tz i k+1 i k T(e k+1 + e k ) 2 = Zeta (z 1)I(z) E(s) = si(s) = E(z) T(z + 1) E(z) (5.12) 2 2(z 1) I(z) (5.13) T(z + 1)

56 5 In termini simbolici, quantità continue che nel dominio della trasformata di Laplace sono legate dall operatore s, hanno i rispettivi campioni approssimativamente legati nel dominio della trasformata zeta da opportuni operatori in z dipendenti dal metodo di integrazione usato. Si hanno le seguenti associazioni. Eulero in avanti Eulero all indietro Tustin s z 1 T s z 1 Tz s 2(z 1) T(z + 1) (5.14) (5.15) (5.16) Si consideri il controllore lineare a tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento che equivale alla relazione ingresso-uscita C(s) = U(s) E(s) = b ms m + b m 1 s m b s n + a n 1 s n a (5.17) s n U(s) + a n 1 s n 1 U(s) + + a U(s) = b m s m E(s) + b m 1 s m 1 E(s) + + b E(s) (5.18) Sostituendo l operatore s con il suo approssimato discreto secondo uno dei tre metodi e le quantità continue con i corrispondenti campioni, si ottiene una relazione approssimata tra le quantità discrete stesse, dipendente dal metodo usato, che può essere espressa nella forma di una funzione di trasferimento C(z). Eulero in avanti Eulero all indietro Tustin Si noti che la trasformazione di Tustin C(z) = C(s) s= z 1 T C(z) = C(s) s= z 1 T z C(z) = C(s) s= 2(z 1) T(z+1) s = 2 T z 1 z + 1 (5.19) (5.2) (5.21) è bilineare nelle variabili s e z in quanto, fissando una delle due variabili, l equazione ottenuta è lineare nell altra zs + s = 2 (z 1) (5.22) T Esempio 5.1 Si consideri un regolatore costituito da un integratore e da una rete anticipatrice C(s) = K c s 1 + τs 1 + τ/ms (5.23) Applicando la trasformazione di Tustin si ottiene il controllore a tempo discreto C(z) = K c T(z + 1) 2(z 1) 1 + τ 2(z 1) T(z+1) 1 + τ/m 2(z 1) T(z+1) (5.24)

57 Mappatura dei poli Poiché l espressione del controllore digitale C(z) si ottiene mediante la sostituzione della variabile s in C(s) con un opportuna funzione di z a seconda del metodo di discretizzazione utilizzato, i poli (ed anche gli zeri) di C(s) sono legati a quelli di C(z) dalla stessa funzione. Si ottiene perciò che ogni polo in s = s i del controllore a tempo continuo C(s) genera un polo z i del controllore discreto approssimato C(z) secondo le relazioni: Eulero in avanti: Eulero all indietro: z i 1 T = s i z i = 1 + Ts i (5.25) z i 1 1 = s i z i = Tz i 1 s i T (5.26) Tustin: 2(z i 1) T(z i + 1) = s i z i = 1 + s it/2 1 s i T/2 (5.27) Se consideriamo il luogo dei punti del piano z in cui viene mappato da ciascuna delle precedenti trasformazioni il semipiano sinistro del piano s (che rappresenta il luogo dei poli stabili nel continuo), si ottengono le mappe in figura 5.2. Osservazione 5.1 Il metodo di Eulero in avanti mappa una parte del semipiano sinistro in s in punti esterni alla circonferenza unitaria in z. Questo significa che, a seconda del passo di campionamento usato, un C(s) con poli tutti stabili può venire approssimato con un C(z) che ha poli instabili. Questo fenomeno è indesiderabile, e pertanto questo metodo di approssimazione non viene generalmente usato. Il metodo di Eulero all indietro mappa la regione stabile nel continuo in un sottoinsieme della regione stabile nel discreto. Infine, nella trasformazione di Tustin le regioni di stabilità continua e discreta vengono mappate esattamente l una sull altra, come accade per la trasformazione z = e st, che caratterizza la mappatura dei poli s i della trasformata di Laplace di un segnale nei poli z i della trasformata zeta del segnale campionato. Le mappature tra poli relative ai tre metodi visti costituiscono in effetti delle approssimazioni, con funzioni razionali, della funzione z = e st. Tuttavia, il campionamento di un segnale e la discretizzazione per approssimazione di una funzione di trasferimento sono operazioni concettualmente molto diverse, da non confondere. 5.4 Specifiche statiche Ciascuno dei metodi di discretizzazione visti fornisce un controllore digitale C(z) le cui caratteristiche dinamiche riproducono con un certo grado di approssimazione quelle del controllore analogico di partenza C(s). Analizziamo adesso il comportamento statico del sistema di controllo digitale ottenuto con questi metodi in termini di errori a regime a segnali canonici. Se il regolatore analogico C(s) è progettato per soddisfare determinate specifiche statiche, è auspicabile che anche C(z), inserito nell anello di controllo digitale, conservi tali specifiche. In particolare, se il sistema di controllo analogico presenta errore a regime finito o nullo di inseguimento ad un segnale canonico r(t), è desiderabile che il sistema digitale presenti lo stesso errore a regime nell uscita y k in corrispondenza ad un segnale di riferimento r k = r(kt). Ricordiamo che un sistema di controllo analogico in retroazione è detto di tipo l se il guadagno d anello L(s) = C(s)P(s) ha l poli in s =, ovvero se L(s) = K LL (s) s l ; L () = 1 Analogamente, il sistema di controllo digitale è detto di tipo l se il guadagno d anello L d (z) = C(z)P d (z) ha l poli in z = 1, ovvero se L d (z) = K L d L d (z) (z 1) l ; L d(1) = 1

58 52 Piano s Piano z jωt z =1+ st Eulero in avanti Piano s Piano z Eulero all indietro Piano s Piano z Tustin Figura 5.2: Mappatura dei poli con i tre metodi di Eulero in avanti, Eulero all indietro e di Tustin. Per questo sistema, si consideri il problema di inseguimento a regime del segnale di riferimento canonico di ordine h campionato [ ] r (h) k = th h! = (kt)h 1 i.e. R (h) (z) = Z t=kt h! s h+1 Si può facilmente dimostrare che R (h) (z) può sempre essere scritto nella forma R (h) (z) = T h (z 1) h+1 R (h) (z) con R(h) (1) = 1 (5.28)

59 53 L espressione di R(h) (z) per h generico non è interessante, anche se è già stata calcolata esplicitamente per h =,1,2. Seguendo un procedimento del tutto analogo a quanto fatto per il caso a tempo continuo, tenendo cioè presente l espressione (5.28) ed utilizzando il teorema del valore finale, si verifica facilmente che per un sistema di tipo l 1 stabile ad anello chiuso, l errore a regime di inseguimento al segnale canonico campionato r (h) k è nullo se l > h, vale e (h) = T h K Ld se l = h, è infinito se l < h. Si supponga di aver progettato per l impianto il regolatore analogico P(s) = K p s p P (s) ; P () = 1 (5.29) C(s) = K c s c C (s) ; C () = 1 (5.3) in modo che il sistema di controllo risultante presenti errore a regime finito al segnale canonico di ordine h = l = p + c pari a 1/K L dove K L = K c K p. Ci chiediamo se progettando il controllore digitale approssimato C(z), tale errore a regime viene conservato. Consideriamo l equivalente campionato con ZOH P d (z) dell impianto. Si hanno le seguenti proprietà. Il tipo di P d (z) coincide con il tipo p di P(s) Il guadagno di Bode K Pd di P d (z) vale K Pd = T p K p. La prima parte di questo risultato è ovvia, la seconda è fornita senza dimostrazione. Consideriamo adesso il tipo ed il guadagno di Bode del controllore C(z) progettato per approssimazione. In base alle relazioni che esprimono la mappatura dei poli, risulta evidente per ciascuno dei tre metodi che per ogni polo in s = di C(s), il corrispondente C(z) ha un polo in z = 1, per cui il tipo c di C(s) è uguale al tipo di C(z). Inoltre risulta, per la trasformazione di Tustin (ma si ha un risultato analogo anche per gli altri metodi) C(z) = K c ( T 2 e quindi il guadagno di Bode di C(z) vale ) c (z + 1) c (z 1) c C ( ) 2(z 1) T(z + 1) (5.31) K C = lim z 1 (z 1) c C(z) = T c K c (5.32) Dunque, il tipo del guadagno d anello discreto L d (z) = C(z)P d (z) è uguale a quello di L(s) = C(s)P(s). Inoltre il guadagno di Bode di L(z) vale K Ld = K CK Pd = T p+c K L (5.33) Allora, l errore a regime al segnale canonico campionato di ordine h = l = p + c vale e (h) = T h K Ld = 1 K L (5.34) ed è pertanto uguale all errore a regime al segnale canonico continuo del corrispondente sistema di controllo analogico.

60 Predistorsione in frequenza (prewarping) I metodi di sintesi in frequenza a tempo continuo si basano sulle relazioni tra i parametri della risposta in frequenza del guadagno d anello (pulsazione di attraversamento e margine di fase) e le prestazioni nel dominio del tempo del sistema ad anello chiuso. In base a questa osservazione, un ragionevole criterio di fedeltà del controllore approssimato C(z) al controllore analogico C(s) in termini di prestazioni dinamiche del sistema ad anello chiuso è quello di valutare se C(z) fornisce, almeno in corrispondenza alla pulsazione di attraversamento, lo stesso contributo di modulo e fase di C(s), ovvero se ha lo stesso valore della risposta in frequenza. I metodi di approssimazione presentati precedentemente non godono della proprietà di conservare la risposta in frequenza. Si consideri il metodo di approssimazione di Tustin. Confrontando la risposta in frequenza del controllore analogico C(s) s=jω con quella del controllore digitale approssimato C(z) z=e jωt C(e jωt ) = C risulta ( 2 T ) e jωt 1 e jωt +1 = C ( j 2 T tan ( ωt 2 ( ) ( ) 2 e = C jω T 2 e jω T 2 2 2j sin( T = C ωt e jω T 2 +e jω T 2 ) T 2 2 cos( ωt 2 )) ) (5.35) C(jω) e quindi la risposta in frequenza a parità di pulsazione non viene conservata ma viene distorta. In particolare, alla pulsazione ω il controllore digitale esibisce la risposta in frequenza che il controllore analogico presenta alla pulsazione ( ) 2 ωt T tan (5.36) 2 In particolare, per ω ω N = π T si ha che 2 T tan ( ) ωt 2, cioè il comportamento ad alta frequenza del controllore nel continuo viene assunto dal controllore discreto alla pulsazione ω N = π T. Si ha quindi una sorta di compressione dell asse delle frequenze verso la pulsazione di Nyquist ω N, che rappresenta la massima pulsazione di un segnale correttamente riproducibile sotto campionamento. In particolare, alla pulsazione di attraversamento ω a imposta dal controllore analogico, il corrispondente controllore digitale ha una risposta in frequenza pari a [ C(e jωat ) = C j 2 T tan ω ] at (5.37) 2 mentre per preservare la pulsazione di attraversamento e il margine di fase del sistema di controllo dovrebbe risultare C(e jωat ) = C(jω a ) (5.38) Allo scopo di conservare la risposta in frequenza del controllore alla pulsazione di attraversamento, si introduce la seguente trasformazione di Tustin modificata (con prewarping, o predistorsione in frequenza): ( ) ωa 2 z 1 C pw (z) = C (5.39) ω pw T z + 1 dove ω pw = 2 ( ) T tan ωa T 2 Il controllore digitale approssimato definito come sopra soddisfa la proprietà C pw (e jωat ) = C ( ω a 2 T tan ( ω at 2 )j 2 T tan ( ωa T 2 (5.4) ) ) = C(jω a ) (5.41) e dunque C pw (z) conserva la risposta in frequenza del controllore analogico C(s) in un intorno della pulsazione ω a. Questo, come già detto, permette di conservare la pulsazione di attraversamento ed il margine di fase del guadagno di anello e dunque, auspicabilmente, anche le caratteristiche del transitorio del sistema ad anello chiuso. Il metodo ora descritto equivale ad effettuare, prima dell applicazione della trasformazione di Tustin, una scalatura (predistorsione o prewarping) dell asse delle frequenze di un fattore ω a /ω pw, in modo da compensare la successiva distorsione alla pulsazione ω a. Il procedimento può essere descritto graficamente come segue.

61 55 Risposta in frequenza del controllore analogico Frequenza da conservare ω α ω Applicazione della trasformazione di Tustin senza predistorsione Frequenza distorta = compressione w a w Applicazione della trasformazione di Tustin con predistorsione Frequenza conservata ω α ω pw ω ω α ω 5.6 Matching poli zeri (MPZ) Questa tecnica di discretizzazione approssimata è basata sull osservazione, assolutamente empirica, che le tecniche di approssimazione già analizzate (ad es. Tustin) trasformano sia i poli sia gli zeri del controllore da continuo a discreto secondo leggi che approssimano la nota relazione z = e st. La tecnica MPZ prevede il calcolo di un controllore C(z) che abbia come zeri e poli rispettivamente gli zeri e i poli di C(s) trasformati esattamente secondo z = e st. Per progettare C(z) secondo questa tecnica si procede come segue. Assegnato C(s) della forma C(s) = K s h m i=1 (s z i) n i=1 (s p i) (5.42) C(z) si calcola come C(z) = K d (z + 1) n+h m (z 1) h m i=1 (z ezit ) n i=1 (z epit ) (5.43)

62 56 dove K d è selezionato in modo che C(z) abbia guadagno di Bode pari a quello del controllore analogico C(s) moltiplicato per T h, in modo da preservare le specifiche statiche secondo quanto discusso nel paragrafo precedente. Risulta K d = T h K m i=1 ( r i) n i=1 ( p i) 1 2 n+h m n i=1 (1 epit ) m i=1 (1 erit ) (5.44) Osservazione 5.2 Dalla formula (5.43), si osserva che gli zeri all infinito di C(s), in numero pari al grado relativo n + h m, vengono mappati in altrettanti zeri di C(z) in z = 1. Il motivo di questa scelta risiede essenzialmente nella seguente osservazione. Se C(s) ha grado relativo n+h m >, allora la risposta in frequenza C(jω) tende a zero ad alta frequenza, cioè per ω. È quindi ragionevole imporre che la risposta in frequenza del controllore discreto, C(e jωt ), tenda a zero in corrispondenza della massima pulsazione che può essere correttamente elaborata dal sistema digitale (senza cioè che intervengano fenomeni di aliasing). Tale pulsazione è la pulsazione di Nyquist ω N = π/t. Si impone quindi che C(e jωnt ) valga, ovvero si impone C( 1) =, che equivale ad introdurre almeno uno zero in z = 1. Introducendo n + h m zeri in z = 1 si ottiene che la risposta in frequenza di C(z) ha uno zero alla pulsazione di Nyquist di molteplicità pari allo zero all infinito di C(s), in questo modo il controllore C(z) conserva per ω ω N la rapidità di convergenza a zero della risposta in frequenza che C(s) presenta per ω. Esempio 5.2 Sia data la funzione di trasferimento di un controllore a tempo continuo C(s) = Il controllore digitale realizzato con MPZ ha la forma a s + a (5.45) È necessario poi aggiustare il guadagno in continua imponendo Risulta quindi C(z) = K d z + 1 z e at (5.46) C(1) = C() = 1 C(z) = 1 e at 2 K d = 1 e at 2 (5.47) z + 1 z e at (5.48) Esiste anche una tecnica MPZ modificata (MMPZ) che non prevede l aggiunta degli zeri in z = 1. Applicandola all esempio precedente si ottiene 5.7 Scelta del passo di campionamento C(z) = (1 e at 1 ) z e at (5.49) Il passo di campionamento è un parametro fondamentale la cui scelta influenza in modo molto significativo le prestazioni di un sistema di controllo in cui il compensatore digitale sia progettato per approssimazione di un controllore analogico. Si vengono a creare alcuni evidenti compromessi. Un campionamento più rapido corrisponde a prestazioni migliori del sistema di controllo, in quanto implica Maggiore fedeltà delle tecniche per l approssimazione discreta del controllore continuo Banda dei segnali elaborabili dal sistema più estesa, in base al teorema di Shannon. Viceversa, un campionamento più lento permette di realizzare ulteriori obiettivi quali

63 57 Uso di algoritmi più raffinati a parità di hardware, disponendo ad ogni passo di una maggior quantità di tempo per il calcolo dell azione di controllo Richiesta di minore velocità di conversione A/D e D/A, quindi impiego di convertitori meno costosi Minore sensibilità agli errori numerici, come illustrato nel seguito. Una limitazione fondamentale alla scelta di T è data dal teorema di Shannon. Se il sistema di controllo, in base alle specifiche di transitorio, deve garantire una banda passante B 3 (legata alla specifica sul tempo di salita t s ), deve risultare almeno ω s > 2B 3 T < π B 3 (T t s ) (5.5) altrimenti i segnali che caratterizzano il transitorio del sistema vengono campionati in condizioni di aliasing. Nel progetto per discretizzazione, tuttavia, la precedente limitazione è spesso molto meno stringente rispetto a requisiti di altro tipo, come ad esempio i seguenti. Garantire una bassa distorsione della risposta del sistema rispetto alla risposta del corrispondente sistema analogico Limitare l escursione del segnale di comando tra un istante di campionamento e l altro; se T è alto infatti, la correzione del comando da applicare all impianto da un passo al successivo è elevata perchè l impianto resta a lungo di fatto in anello aperto, visto che il comando rimane costante per un intero periodo; al limite, il comando può subire forti oscillazioni tra istanti di campionamento successivi, a cui corrisponde un andamento oscillante anche dell uscita dell impianto. Assicurare la prontezza della reazione del sistema di controllo alla variazione del segnale di riferimento; tale variazione infatti non viene recepita dal sistema fino all istante di campionamento successivo alla variazione stessa. In molte applicazioni, si considera un buon compromesso scegliere un passo di campionamento compreso tra 1/2 e 1/1 del tempo di salita della risposta al gradino sistema t s 2 < T < t s (5.51) 1 ovvero π < T < π ; 2B 3 < ω s < 4B 3 (5.52) 2B 3 1B 3 salvo poi effettuare opportune simulazioni per verificare l effettiva rispondenza del sistema alle specifiche ed eventualmente correggere la scelta. Esempio 5.3 Effetto del passo di campionamento su un progetto per discretizzazione con il metodo di Tustin. P(s) = 1 s 2 ; C(s) = 4 s + 2 s + 1 ; B 3 = 7 rad/s Risposta al gradino per ω s = 4B 3 (uscita e comando) risposta al gradino comando

64 58 La scelta del passo di campionamento in questo caso rispetta evidentemente la limitazione data dal teorema di Shannon, ma le prestazioni del sistema non sono soddisfacenti. Si ha infatti un comportamento fortemente oscillatorio della risposta. Evidentemente, il campionamento è troppo grossolano perché la formula di approssimazione di Tustin permetta di riprodurre fedelmente la dinamica del controllore analogico. Risposta al gradino per ω s = 2B 3 (uscita e comando) risposta al gradino comando Progetto del filtro antialiasing. Effetto sul passo di campionamento r k _ C(z) ZOH P(s) y(t) A/D G p (s) d(t) Figura 5.3: Sistema di controllo digitale con filtro anti aliasing. Nei sistemi di controllo digitale, è estremamente dannoso campionare eventuali disturbi ad alta frequenza in condizioni di aliasing, in quanto le armoniche spurie dovute a questo fenomeno possono avere contenuto frequenziale appartenente alla banda del sistema, e come tali alterare le specifiche di transitorio o produrre oscillazioni indesiderate a bassa frequenza in condizioni di regime. Per evitare fenomeni di aliasing dovuti al campionamento di disturbi ad alta frequenza, è necessario prefiltrare con un passa basso opportunamente progettato i segnali a monte dell operazione di campionamento. Idealmente, sarebbe necessario introdurre un filtro che attenui totalmente le armoniche superiori alla pulsazione di Nyquist ω N corrispondente al passo di campionamento scelto ed introduca attenuazione nulla alle altre frequenze. Dal momento che un tale filtro ideale non risulta fisicamente realizzabile, è necessario sostituirlo con un filtro lineare reale, e questo rende necessarie alcune cautele. Si consideri un filtro passa basso del primo ordine con pulsazione di taglio ω p G p (s) = ω p s + ω p (5.53) L inserimento di un filtro così fatto introduce un ritardo di fase nel guadagno d anello del sistema, e questo può alterare anche in modo significativo le specifiche dinamiche. Affinché lo sfasamento introdotto dal filtro (ma anche l attenuazione di modulo) risulti trascurabile a pulsazioni paragonabili alla pulsazione

65 59 di attraversamento ω a, la pulsazione di taglio ω p deve essere scelta sufficientemente più grande di B 3, ad esempio una decade sopra, cioè ω p > 1B 3 (5.54) Tuttavia, ω p deve essere sufficientemente più piccola della pulsazione di Nyquist ω N affinché venga assicurata una buona attenuazione dei disturbi che verrebbero altrimenti campionati in condizioni di aliasing. Si ponga ad esempio ω N > 1ω p (5.55) Le due relazioni precedenti impongono un ulteriore vincolo sulla scelta del tempo di campionamento. Risulta infatti necessariamente ω s > 2ω p > 2B 3. (5.56) Questa condizione rappresenta in molti casi una sovrastima. Tipicamente è sufficiente imporre Ulteriori vincoli sulla scelta del passo di campionamento ω s > 5B 3. (5.57) Ritardo di fase dovuto allo ZOH. Abbiamo osservato che la presenza dello ZOH introduce nell anello un ritardo di fase pari a arg G ZOH (jω) = ωt 2 (5.58) Se si ammette che l introduzione dello ZOH provochi, rispetto al sistema di controllo analogico, un peggioramento del margine di fase al massimo pari m φ alla pulsazione di attraversamento ω a, allora si ha l ulteriore condizione su T data da ω a T 2 < m φ (5.59) Rappresentazione in precisione finita dei numeri in macchina. Si consideri la relazione z = e st tra poli nel continuo e poli nel discreto, che si realizza ad esempio nella discretizzazione del controllore mediante il metodo MPZ. Si osserva facilmente che se T, qualunque sia il valore di un polo nel continuo, esso tende ad essere mappato in z = 1. Detto diversamente, più T è basso, più i poli nel discreto sono tutti vicini tra loro ed al punto z = 1. Poiché la precisione di rappresentazione in macchina è finita, al diminuire di T poli anche ben distinti divengono effettivamente indistinguibili, e questo distorce le caratteristiche dinamiche del controllore discreto rispetto al controllore continuo. Ad esempio, si consideri la discretizzazione mediante MPZ di un sistema con due poli in s 1 = 1 e s 2 = Se T = 1 ms, i corrispondenti poli discreti valgono z 1 = e.1.999, z 2 = e Con troncamento alla seconda cifra decimale, si ha z 1 = z 2, esattamente lo stesso risultato che si otterrebbe se fosse s 1 = 1 T lnz 1 = 1 T lnz 2 = s Se T = 1 ms, lo stesso troncamento produce z 1 =.9, z 2 =.36, che è lo stesso risultato che si otterrebbe a partire da s 1 1.5, s

66 Capitolo 6 Sintesi nel dominio a tempo discreto Sommario. In questo capitolo vengono presentati i metodi di sintesi diretta di regolatori digitali ingresso-uscita. 6.1 Sintesi diretta nel discreto Si consideri il sistema di controllo digitale in figura 6.1. I metodi di sintesi diretta a tempo discreto hanno come obiettivo il progetto di un controllore C(z) tale che la funzione di trasferimento W(z) fra i campioni del segnale di riferimento r k e quelli del segnale di uscita y k sia pari ad una funzione di trasferimento assegnata W (z). Ciò consente di imporre un andamento desiderato alla risposta campionata y k del sistema ad anello chiuso in corrispondenza al riferimento dato, in accordo alle specifiche statiche e di transitorio assegnate. Sia P d (z) l equivalente campionato con ZOH dell impianto P(s), dato da [ ] P(s) P d (z) = (1 z 1 )Z (6.1) s Si vuole determinare l espressione del compensatore C(z) in modo tale che la funzione di trasferimento ad anello chiuso W(z) = Y (z) (6.2) R(z) sia pari ad una data W (z) che soddisfa opportune specifiche. Risulta W(z) = C(z)P d(z) 1 + C(z)P d (z) Da cui, imponendo W(z) = W (z) e risolvendo rispetto a C(z) si ottiene (6.3) C(z) = 1 W (z) P d (z) 1 W (z) (6.4) Osservazione 6.1 Mediante questo semplice procedimento, viene impostata la funzione di trasferimento tra il segnale di riferimento r k e l uscita campionata y k del sistema di controllo. Tuttavia, come più volte ricordato, ciò che si ha interesse a controllare è l uscita fisica y(t) dell impianto analogico P(s), per cui è necessario valutare quanto sia significativo nei confronti di questo problema l imporre un andamento desiderato soltanto ai campioni. In particolare, l uscita analogica non deve presentare comportamenti indesiderati, quali ad esempio le oscillazioni interperiodo, in corrispondenza del progetto effettuato. r k e k C(z) _ u k ZOH u h (t) P(s) y(t) A/D y k P d (z) Figura 6.1:

67 61 Esempio 6.1 Si consideri l impianto ed il suo equivalente campionato con ZOH P(s) = a s + a (6.5) P d (z) = z 1 Z z { P(s) Si scelga la funzione di trasferimento ad anello chiuso desiderata come s } = 1 e at z e at (6.6) W (z) = 1 α z α (6.7) con α < 1. Tale W (z) è stabile ed ha guadagno in continua W (1) = 1, pertanto assicura l inseguimento senza errore a regime di un riferimento r k a gradino. Calcolando il corrispondente C(z) si ottiene C(z) = z e at 1 e at 1 α z α 1 1 α z α = z e at 1 α 1 e at z 1 (6.8) Il guadagno d anello del sistema risulta L(z) = 1 α z 1 (6.9) Osservazione 6.2 Si osservi la cancellazione polo-zero tra C(z) e P(z) nell esempio precedente. Poiché l espressione di C(z) in (6.4) è proporzionale al reciproco di P d (z), il controllore tende a cancellare del tutto i poli e gli zeri di P d (z) sostituendoci i propri, in modo che la funzione di trasferimento W(z) risulti quella assegnata. Esempio 6.2 Considerando l impianto dell esempio precedente, ma la seguente funzione di trasferimento ad anello chiuso desiderata (1 α)z W (z) =, α < 1 (6.1) z α si ottiene il controllore C(z) = (1 α)z(z e at ) α(1 e at )(z 1) (6.11) che risulta avere più zeri che poli, e pertanto non è realizzabile in modo causale. Evidentemente il progetto non è accettabile Vincoli di progetto Come risulta evidente dal precedente esempio, assegnata la funzione di trasferimento dell impianto, la funzione di trasferimento ad anello chiuso desiderata non può essere scelta in modo totalmente arbitrario. È necessario infatti che il sistema di controllo che si ottiene soddisfi alcuni requisiti fondamentali, quali la causalità del controllore risultante e la stabilità interna dell anello. Causalità. Il regolatore C(z) deve risultare causale, ovvero deve avere il grado del denominatore n c maggiore o uguale a quello del numeratore m c ; tale condizione impone il seguente vincolo sulla scelta della funzione di trasferimento W (z): il grado relativo n w m w di W (z) = N W (z)/d W (z) deve essere maggiore o uguale al grado relativo n p m p di P d (z) = N P (z)/d P (z). Equivalentemente, la funzione di trasferimento ad anello chiuso desiderata non può presentare un ritardo ingresso-uscita inferiore a quello dell equivalente campionato dell impianto. Infatti dalla (6.4) risulta C(z) = D P(z) N P (z) N W (z) D W (z) N W (z) (6.12)

68 62 il cui grado relativo vale (si noti che n w m w poiché non ha senso che W (z) sia non causale) n c m c = m p + n w (n p + m w ) (6.13) che è positvo se e solo se risulta n w m w n p m p (6.14) Stabilità interna. Abbiamo osservato che il controllore C(z) progettato per sintesi diretta tende a cancellare indiscriminatamente i poli e gli zeri di P d (z). Ciò compromette la stabilità interna dell anello nel caso in cui tali cancellazioni corrispondano a poli o zeri a modulo maggiore o uguale a 1, anche se la W (z) è scelta stabile. In base alla (6.4) il guadagno d anello risulta L(z) = C(z)P d (z) = W (z) 1 W (z) (6.15) Affinché poli o zeri instabili di P d (z) non vengano cancellati da C(z), tali poli o zeri devono permanere nel prodotto L(z) = C(z)P d (z), pertanto ogni zero di P d (z) con modulo 1 deve comparire tra gli zeri di W (z) in modo che permanga come zero del prodotto C(z)P d (z); ogni polo di P d (z) con modulo 1 deve comparire tra gli zeri di 1 W (z) in modo che permanga come polo di C(z)P d (z). In generale, la sintesi diretta effettua la cancellazione della dinamica dell impianto per sostituirvene una nuova corrispondente alle specifiche, salvo le cancellazioni esplicitamente impedite come ora illustrato Sintesi diretta: specifiche statiche Le specifiche statiche, o di precisione a regime, che tipicamente si impongono ad un sistema di controllo sono l inseguimento senza errore di un segnale di riferimento a gradino ed eventualmente l inseguimento con errore finito di un segnale di riferimento a rampa. Se il progetto viene fatto per sintesi diretta, è necessario valutare come si riflettono specifiche di questo tipo sulla forma e sui parametri della funzione di trasferimento ad anello chiuso W (z), in modo da poterla scegliere opportunamente. Errore di inseguimento al gradino nullo. La funzione di trasferimento tra riferimento e segnale errore vale E(z)/R(z) = 1 W (z) (6.16) e pertanto, se W (z) è stabile, l errore a regime al gradino unitario vale (dal teorema del valore finale) e z = lim(z 1) z 1 z 1 (1 W (z)) (6.17) Questo errore risulta allora nullo se e solo se W (1) = 1 (6.18) ovvero se e solo se il guadagno in continua W (e j ) del sistema è unitario. Errore di inseguimento alla rampa finito. L errore a regime ad un segnale a rampa unitaria r k = kt 1 k risulta pari a e 1 Tz = lim(z 1) z 1 (z 1) 2 (1 W (z)) (6.19) da cui, applicando la regola di De l Hopital e ricordando che W (1) = 1, e 1 = T dw (z) 1 dw (z) dz = T z=1 W (z) dz = T d z=1 dz log W (z) (6.2) z=1

69 63 Si voglia imporre e 1 = e 1, con e 1 assegnato. Se W (z) è espressa nella forma poli-zeri dalla (6.2) deve allora risultare T m w W (z) = K w j=1 (z zw j ) n w i=1 (z pw i ) (6.21) n w i=1 1 1 p w i m w 1 1 zj w = e 1 (6.22) j=1 Si noti che la formula precedente mette in relazione l errore di inseguimento desiderato alla rampa unitaria con i poli e gli zeri della funzione di trasferimento W (z) ad anello chiuso (regola di Truxal). 6.2 Scelta di della funzione di trasferimento ad anello chiuso In generale W (z) è scelta della forma in cui W (z) = Kw (z z1 w )...(z zm w w) 1 (z p w 1 )...(z pw n w) z N = w mwz m w +...w 1 (z p w 1 )...(z pw n w) z N (6.23) I poli p w i si fissano sulla base delle specifiche di transitorio, che verranno trattate nel seguito Gli m w zeri zj w ed il guadagno K w (o in alternativa i coefficienti w j ), in tutto m w + 1 parametri, si calcolano imponendo le condizioni di stabilità interna e di precisione statica. Chiaramente, si sceglie m w + 1 pari al numero di condizioni da imporre. In base alle condizioni di stabilità interna, è necessario che risulti * W (z j ) = per ogni zero z j di P d (z) con z j 1. Se la molteplicità dello zero z j in P d (z) è µ j > 1, si deve imporre che anche W (z) abbia uno zero in z j della stessa molteplicità, per cui è necessario imporre d r dz r W (z) z=zj =, r = 1,...,µ j 1 Questo, come già visto, equivale ad introdurre come zeri di W (z) gli zeri di P d (z) che non si vuole vengano cancellati da poli di C(z). In seguito vedremo che, allo scopo di prevenire comportamenti indesiderati del sistema, può essere conveniente impedire la cancellazione di altri zeri di P d (z) oltre a quelli instabili. * 1 W (p i ) = per ogni polo p i di P d (z) con p i 1, ovvero per ogni polo di P d (z) che non si vuole venga cancellato da C(z). Se la molteplicità di p i è ν i > 1 si deve imporre anche d r dz r [1 W (z)] z=pi =, r = 1,...,ν i 1 Relativamente alle specifiche di precisione a regime, si impone * 1 W (1) = (condizione di errore a regime nullo al gradino). Si noti che questa condizione è analoga a quella che previene la cancellazione di un eventuale polo in z = 1 di P d (z), d altra parte la specifica di errore nullo al gradino richiede che L(z) = C(z)P d (z) sia almeno di tipo 1, ovvero abbia almeno un polo in z = 1. Tale polo, se presente in P d (z), deve quindi essere preservato. * Condizione di errore finito alla rampa. Usando la formula di Truxal si ottiene una relazione tra i poli e gli zeri di W (z).

70 64 Gli N poli in z = si aggiungono per rispettare la condizione di causalità del controllore. Poiché il grado relativo di W (z) deve essere uguale o superiore a quello di P d (z) si sceglie N tale che N (n p m p ) (n w m w ) Si noti che questi poli aggiuntivi in z = corrispondono ad elementi di ritardo discreto. Questi influenzano la durata del transitorio tanto meno quanto più piccolo è il passo di campionamento. Osservazione 6.3 Il calcolo degli zeri di W (z) sulla base delle specifiche di stabilità interna e precisione statica deve essere effettuato considerando la W (z) completa degli eventuali poli aggiuntivi in z =. Un errore comune è quello di aggiungerli dopo aver calcolato gli zeri senza tenerne conto. Si vede facilmente che questo altera alcune condizioni, come ad esempio il risultato dell applicazione della regola di Truxal. Osservazione 6.4 Il metodo di sintesi appena descritto porta con sé un risultato non banale. Dal momento che non si fa nessuna ipotesi sulle caratteristiche di P d (z), questo procedimento si configura come un metodo sistematico per stabilizzare in retroazione qualunque impianto Scelta di W (z): transitorio deadbeat Ci occupiamo adesso della scelta dei poli della funzione di trasferimento desiderata W (z) sulla base delle specifiche di transitorio. Abbiamo già osservato che un sistema a tempo discreto presenta un transitorio della risposta al gradino che si esaurisce in un numero finito di passi qualora la sua funzione di trasferimento abbia tutti i poli in z =. Questa caratteristica può essere sfruttata per il progetto di un controllore digitale tale che il transitorio della corrispondente risposta al gradino ad anello chiuso campionata y k vada a regime in tempo finito. Si consideri inizialmente il caso di un impianto P d (z) con poli e zeri tutti interni al cerchio unitario, o con al più un polo in z = 1. Si scelga W (z) = 1 z N = z N (6.24) con N uguale o superiore al grado relativo n p m p di P d (z). Questa W (z) non è altro che un ritardo discreto, pertanto la corrispondente uscita y k insegue qualunque riferimento con un ritardo di N passi. In particolare quindi la risposta al gradino va a regime in N passi. Naturalmente, l errore a regime di inseguimento al gradino è nullo, si noti tra l altro che risulta W (1) = 1. Poiché l impianto è stabile con zeri stabili, non sono richieste condizioni aggiuntive per la stabilità interna e pertanto la W (z) può essere utilizzata direttamente per la sintesi. Il controllore corrispondente risulta C(z) = 1 1 P d (z) z N 1 (6.25) Osservazione 6.5 Si noti che z = 1 è uno zero di 1 W (z) per qualunque N. Pertanto, anche se P d (z) ha un polo semplice in z = 1, C(z) non lo cancella. A tale proposito, ricordiamo che P d (z) ha tanti poli in z = 1 quanti sono i poli in s = dell impianto analogico P(s). Esempio 6.3 (file Scilab deadbeat.sce) Si consideri l impianto a tempo continuo P(s) = e.2s 1 + s ed il suo equivalente a dati campionati con ZOH, T =.2 s P d (z) =.1823 z(z.8187) (6.26) (6.27) L impianto non ha poli o zeri instabili ed ha grado relativo 2. Pertanto, è possibile effettuare un progetto di tipo deadbeat scegliendo W (z) = z 2 (6.28)

71 risposta al gradino.6 comando Figura 6.2: Esempio 6.3, risposta al gradino (uscita e comando) Il controllore risultante vale C(z) = z(z.8187).1813(z 2 1) (6.29) In figura 6.2 è riportata la simulazione della risposta al gradino del sistema ad anello chiuso nell uscita (analogica) e nel segnale di comando. Esempio 6.4 (file Scilab interper.sce, prima parte) Sia dato l impianto P(s) = ed il suo equivalente campionato con ZOH, con T = 1 s e s 1 + 8s + 15s 2 (6.3) P d (z) =.28(z ) z z z P d (z) non ha poli o zeri instabili ed ha grado relativo 2, per cui si sceglie (6.31) W (z) = z 2 ed il controllore risultante è C(z) = z(z z ).28(z + 1)(z 1)(z ) (6.32) Nella simulazione della risposta al gradino riportata in figura 6.3, si nota un andamento fortemente oscillante del segnale di comando e la presenza di forti oscillazioni interperiodo nell uscita analogica. Tali oscillazioni sono dovute al fatto che nel controllore compare un polo prossimo al punto z = 1 (corrispondente ad un modo oscillante poco smorzato) che cancella uno zero dell impianto discretizzato (z r =.8357). A causa di questa cancellazione, z r compare come polo nella funzione di trasferimento C(z) 1+C(z)P d (z) U(z)/R(z) = tra riferimento e comando e produce un andamento oscillatorio del comando stesso. In corrispondenza a questa eccitazione oscillatoria, l impianto risponde con un andamento dell uscita a sua volta oscillante. Se lo zero risonante z r comparisse tra gli zeri di W (z), cioè risultasse W (z r ) =, tale cancellazione verrebbe prevenuta, allo stesso modo delle cancellazioni di zeri instabili.

72 risposta al gradino.8.6 comando Figura 6.3: Esempio 6.4: Risposta al gradino (uscita e comando) Generalizziamo adesso il procedimento di sintesi deadbeat al caso in cui l impianto discretizzato P d (z) presenti poli o zeri instabili, oppure zeri risonanti il cui effetto è quello di generare il fenomeno delle oscillazioni interperiodo. Allo scopo di poter imporre le condizioni di stabilità interna, è necessario considerare una forma più generale di W (z). W (z) = K w (z z1 w )...(z zm w w) 1 z N = (w m wzm w +...w ) 1 z N (6.33) Anche in questo caso la risposta al gradino va a regime in N passi, essendo W (z) = w z N + + w m wz N+mw (6.34) si noti però che W (z) non è più un ritardo puro, bensì una somma di elementi di ritardo in parallelo. I coefficienti del numeratore (gli zeri) di W (z) si calcolano in modo da soddisfare i vincoli dovuti alla presenza in P d (z) di poli o zeri instabili o zeri risonanti, più eventuali specifiche statiche. Come già detto, il numero di questi coefficienti dovrà essere scelto pari al numero di vincoli da imporre. Si noti che il grado relativo di W (z) vale N m w. Esempio 6.5 (modello Scicos magia.cos) Siano dati l impianto P(s) ed il suo equivalente discretizzato P d (z) P(s) = 1 s 2 P d (z) = T 2 z (z 1) 2 (6.35) P d (z) ha uno zero in z = 1 e due poli in z = 1, per cui per conservare la stabilità interna è necessario imporre W ( 1) = [1] ; 1 W (1) = [2] ; (6.36) d(1 W ) dz (1) = [3]. Si osservi che l imposizione delle condizioni [2] e [3] preserva i poli in z = 1 già presenti in P d (z) che altrimenti il controllore cancellerebbe, compromettendo la stabilità interna. La condizione [2] assicura inoltre errore al gradino nullo. Si hanno tre condizioni da imporre, per cui sono necessari tre parametri liberi (m w = 2). Inoltre il grado relativo di W (z) deve essere almeno 1, per cui si sceglie N = 3, e la corrispondente W (z) è della forma W (z) = (w 2 z 2 + w 1 z + w ) 1 z 3 (6.37)

73 risposta al gradino.8.6 comando Figura 6.4: Esempio 6.6: risposta al gradino (uscita e comando) Imponendo le tre condizioni si ricavano i coefficienti incogniti w 2 = 5 4, w 1 = 1 2, w = 3 4 Il controllore corrispondente vale C(z) = 1 W (z) P d (z) 1 W (z) = 2 5z 3 T 2 4z + 3 (6.38) Esempio 6.6 (file Scilab interper.sce, seconda parte) Si consideri nuovamente l impianto P(s) = ed il suo equivalente campionato con ZOH, T = 1 s e s 1 + 8s + 15s 2 (6.39) P d (z) =.28(z ) z z z (6.4) Utilizzando la forma (6.33) di W (z) è possibile includere lo zero risonante z r =.8357 dell impianto tra gli zeri di W (z) per prevenirne la cancellazione, come si fa per gli zeri instabili. Dunque si sceglie W (z) = Kw (z ) z 3 (6.41) dove K w si calcola imponendo errore a regime nullo al gradino, i.e., W (1) = 1. La W (z) corrispondente risulta.5443(z ) W (z) = z 3 (6.42) In figura 6.4 sono riportate le simulazioni della risposta al gradino. Le oscillazioni interperiodo sono state eliminate, visto che adesso lo zero risonante non compare più nella funzione di trasferimento tra riferimento e comando.

74 risposta al gradino comando Figura 6.5: Esempio 6.7: risposta al gradino (uscita e comando) Scelta di W (z): transitorio del primo ordine Si desidera adesso imporre che la risposta al gradino del sistema presenti un transitorio assimilabile a quello di un sistema del primo ordine con una costante di tempo assegnata τ. In accordo con la forma generale (6.23) di W (z), si sceglie allora W (z) = Kw (z z w 1 )...(z z w m w) z e T/τ 1 z N (6.43) con N n p m p 1 + m w. Come in precedenza, K w e gli zeri z w j sono scelti per soddisfare i vincoli di progetto (stabilità interna, precisione statica). Esempio 6.7 (file Scilab dahlin.sce). Si consideri l impianto P(s) = e s 1 + 8s + 15s 2 (6.44) con T = 1 s. Si desidera progettare W (z) in modo che la risposta al gradino sia assimilabile a quella di un sistema del primo ordine con costante di tempo τ = 5 s. Si sceglie W (z) = 1 e T/τ 1 z e T/τ z (6.45) La corrispondente risposta è riportata in figura 6.5. Si noti l andamento oscillatorio del comando dovuto ad uno zero risonante dell impianto che viene cancellato dal controllore (vedi esempi sulla sintesi deadbeat). È possibile includere tale zero tra gli zeri di W (z) prendendo W (z) = Kw (z ) z 2 (z e T/τ ) (6.46) dove K w va calcolata affinché W (1) = Scelta di W (z): transitorio del secondo ordine Vogliamo adesso progettare W (z) in modo che il transitorio della risposta al gradino del sistema di controllo presenti un andamento assimilabile a quello di un sistema del secondo ordine, caratterizzato da opportuni valori dei parametri standard di sovraelongazione, tempo di salita e tempo di assestamento. In linea di principio, è possibile imporre che la risposta al gradino di W (z) sia esattamente la versione

75 69 campionata della risposta di un sistema continuo W(s) del secondo ordine caratterizzato da smorzamento ζ e pulsazione naturale ω n corrispondenti alle specifiche. Ciò si ottiene imponendo [ z Y (z) = W (z) z 1 = Z W(s) 1 ] 1 dove W(s) = s 1 + 2ζ/ω n s + s 2 /ωn 2 (6.47) da cui si ricava W (z). Dall espressione precedente si osserva che la W (z) risultante non è altro che l equivalente campionato con ZOH di W(s). In particolare, W (z) ha come poli i poli di W(s) trasformati secondo z = e st. Il semplice procedimento ora descritto non è evidentemente applicabile in generale, poiché non tiene conto di eventuali vincoli di causalità del controllore, presenza di poli o zeri instabili nell impianto o specifiche statiche (errore alla rampa). Per tenere conto di questi vincoli, ci si limita ad imporre che i poli di W (z) siano quelli caratteristici del transitorio del secondo ordine (ovvero coincidano con i poli di W(s) trasformati secondo z = e st ), introducendo poi un opportuno numero di zeri in accordo con l espressione generale (6.23). Si procede quindi nel modo seguente. 1. Si determinano ζ e ω n corrispondenti alle specifiche di transitorio richieste, ed i relativi poli dominanti p = ζω n + jω n 1 ζ2 e p = ζω n jω n 1 ζ 2 2. Si seleziona una W (z) che abbia come poli e pt, e pt, più ulteriori poli in z = e zeri scelti in modo da rispettare i vincoli di causalità e stabilità interna, in accordo con la (6.23) con N n p m p 2 + m w. W (z) = Kw (z z w 1 )...(z z w m w) (z e pt )(z e pt ) 1 z N (6.48) Si riportano per comodità gli andamenti dei parametri caratteristici della risposta al gradino e della risposta in frequenza in funzione dei fattori di smorzamento e pulsazione naturale per un sistema del secondo ordine. Massima sovraelongazione ŝ = exp( πζ/ 1 ζ 2 ) Tempo di salita t s = ω 1 n [1 ζ 2 ] 1/2 [π arctan ζ 1 1 ζ 2 ]

76 7 Tempo di assestamento Banda passante Picco di risonanza Esempio 6.8 Si considerino le specifiche di transitorio seguenti. Sovraelongazione ŝ < ŝ 1. Tale specifica induce una limitazione sul fattore di smorzamento ζ > ζ 1 Limitazione sulla parte immaginaria dei poli dominanti data ad esempio dai requisiti di sensibilità del sistema a disturbi ad alta frequenza ω < ω 1 Limitazione sulla parte reale dei poli dominanti data dal tempo di assestamento desiderato (t a 5/σ) σ < σ 1

77 71 Figura 6.6: Regioni ammesse per i poli ad anello chiuso nel continuo e nel discreto in corrispondenza alle specifiche dell esempio 6.8 Le limitazioni di cui sopra individuano nel piano complesso in s la regione in cui devono cadere i poli di un sistema del secondo ordine in modo da rispettare le specifiche. Allo scopo di ottenere la W (z) corrispondente, si dovranno scegliere i suoi poli all interno della regione nel piano z che rappresenta l immagine della regione ammessa secondo la trasformazione z = e st (figura 6.6). Esempio 6.9 (file Scilab diretta.sce). Si consideri l impianto P(s) =.1 s(s +.1) (6.49) e siano date le seguenti specifiche Errore di inseguimento al gradino nullo Errore di inseguimento alla rampa unitaria e 1 e 1 = 1 Tempo di salita t s 1.5 s Massima sovraelongazione ŝ.4. L equivalente campionato con ZOH e T = 1 s risulta P d (z) =.4837(z ) (z 1)(z.948) (6.5) Si osservi che lo zero di P d (z) è molto vicino al punto z = 1. Le specifiche dinamiche richieste corrispondono ad un transitorio del secondo ordine con parametri ζ =.5 e ω n = 1, corrispondente nel continuo ad una coppia di poli che sono le radici del polinomio s 2 + s + 1. Trasformati secondo z = e st, tali poli sono le radici del polinomio z z Pertanto la W (z) sarà scelta della forma K w (z z 1 ) W (z) = z 2 (6.51).7859z si noti che la condizione sul grado relativo è soddisfatta. Lo zero z 1 si calcola imponendo la specifica sull errore alla rampa con la regola di Truxal. Tale calcolo è immediato perché i poli sono noti e c è un unico zero. Risulta z 1 =.793. Il guadagno K w si calcola infine imponendo guadagno in continua unitario (W (1) = 1) e risulta K w = La funzione di trasferimento ad anello chiuso desiderata è quindi z.793 W (z) =.6321 z 2 (6.52).7859z

78 risposta al gradino.8.6 comando Figura 6.7: Risposta (uscita e comando) del sistema dell esempio 6.9, prima parte ed il controllore risultante è dato da C(z) = 1 W (z) P d (z) 1 W (z) = 13.68(z.948)(z.793) (z )(z.418) (6.53) La risposta al gradino del sistema ad anello chiuso riportata in figura 6.7 evidenzia forti oscillazioni dovute al polo risonante di C(z) che cancella lo zero dell impianto, seppure i campioni della risposta nell uscita seguano fedelmente l andamento del secondo ordine desiderato. Per eliminare le oscillazioni, si include il polo risonante tra gli zeri di W (z), in modo che non compaia più in C(z). Si sceglie quindi W (z) della forma W (z) = K w (z )(z z 1 ) z(z 2 (6.54).7859z ) Notare l inclusione di un polo in z = per preservare la causalità. Con questa nuova struttura di W (z) è necessario effettuare di nuovo il calcolo di z 1 e K w sulla base delle specifiche statiche. Si ottiene Il controllore risulta (z )(z.3662) W (z) =.4668 z(z z ) (z.948)(z.3662) C(z) = (z.5521)(z.2994) ed il corrispondente sistema ad anello chiuso presenta la risposta in figura 6.8 (6.55) (6.56) 6.3 Scelta del passo di campionamento nella sintesi diretta La scelta del passo di campionamento per i metodi diretti è un fattore molto meno critico rispetto al caso dei metodi di approssimazione. Trattandosi di metodi puramente analitici, infatti, non si hanno requisiti di fedeltà di qualsivoglia formula di approssimazione. Inoltre, la stabilità del sistema di controllo equivalente a tempo discreto è sempre garantita, indipendentemente da T, cosa non scontata nel progetto per approssimazione. A rigore, l unica limitazione da rispettare è quella imposta dal teorema di Shannon allo scopo di evitare fenomeni di aliasing. Tuttavia, si ricordi che i metodi diretti impongono esattamente solo l andamento della risposta campionata del sistema, da cui la risposta analogica può deviare anche significativamente. Tale deviazione è normalmente più marcata all aumentare del passo di campionamento, in quanto il sistema di controllo tra un istante di campionamento ed il successivo resta di fatto in anello aperto perché il comando non viene aggiornato. Questo tipicamente non porta a requisiti su T paragonabili a quelli relativi ai metodi di approssimazione (è spesso sufficiente prendere 2

79 risposta al gradino.8.6 comando Figura 6.8: Risposta (uscita e comando) del sistema dell esempio 6.9, seconda parte o 3 campioni sul tempo di salita). Inoltre, nel caso di sintesi deadbeat, il tempo di campionamento può essere scelto ad-hoc, in modo che il numero di passi in cui la risposta va a regime corrisponda nel continuo ad un intervallo di tempo in cui il transitorio, in base alle specifiche, è supposto esaurirsi. Se l impianto presenta un ritardo, può essere utile, se possibile, scegliere T in modo che il ritardo sia un suo multiplo. Questo porta innanzitutto ad una semplificazione del calcolo di P d (z) ma vi è un altro vantaggio legato al fatto che la presenza di ritardi frazionari nell impianto porta spesso ad avere zeri instabili in P d (z), rendendo più complesso il progetto.

80 Capitolo 7 Progetto nello spazio degli stati Se Maometto non va alla montagna, la montagna non è raggiungibile. K., 27 Sommario. In questo capitolo viene discussa la proprietà strutturale di raggiungibilità dei sistemi lineari a tempo discreto in equazioni di stato. Sulla base di tale proprietà, viene analizzato il progetto del regolatore in retroazione statica dello stato mediante la tecnica di allocazione degli autovalori. 7.1 Metodi nello spazio degli stati Si consideri un sistema lineare stazionario a tempo discreto in equazioni di stato, esprimibile nella forma { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n, u k R m y k = Cx k (7.1) dove A, B e C sono matrici costanti di dimensioni opportune. Il sistema 7.1 può eventualmente rappresentare l equivalente campionato con ZOH P d in equazioni di stato di un impianto P a tempo continuo. Si supponga che le variabili di stato del sistema siano accessibili, ovvero che siano disponibili misure (o stime) di x k ad ogni istante; in base al concetto di stato, ciò significa disporre di un informazione completa sul sistema. Si consideri il problema di progettare una legge di controllo sotto forma di retroazione lineare statica delle variabili di stato u k = F k x k + v k (7.2) eventualmente stazionaria (ovvero con F k = F costante), in modo da soddisfare opportune specifiche. In figura 7.1 è rappresentato uno schema a blocchi del sistema (7.1) con applicata la legge di controllo in retroazione dallo stato (7.2). Nel caso in cui il guadagno di retroazione F k sia costante (F k = F), il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + Bv k y k = Cx k (7.3) Ci proponiamo di studiare il problema della sintesi del guadagno di retroazione F in modo da assicurare al sistema ad anello chiuso, oltre alla stabilità interna, il soddisfacimento di opportune specifiche di prestazione. La soluzione del problema ora enunciato necessita dello studio della proprietà di raggiungibilità. Tale proprietà, in parole semplici, esprime la possibilità di influenzare o meno ad arbitrio, mediante l ingresso, l evoluzione di tutte o di parte delle variabili di stato. 7.2 Raggiungibilità Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n, u k R m y k = Cx k (7.4)

81 75 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F k Figura 7.1: Schema di un sistema con rappresentazione in spazio degli stati. ed una una sequenza di ingresso {u k }, l evoluzione dello stato al passo k a partire da una certa condizione iniziale x vale k 1 x k = A k x + A k i 1 Bu i (7.5) che, in forma matriciale compatta, si può scrivere come x k = A k x + R k U k (7.6) i= dove R k = [B AB... A k 1 B], U k = u k 1 u k 2. u (7.7) Definizione 7.1 Dati due stati x ed x, lo stato x è detto raggiungibile a partire dallo stato iniziale x in k passi se esiste un vettore di ingressi U k tale da che l evoluzione dello stato del sistema al passo k con condizione iniziale x valga x, cioè tale che x = A k x + R k U k (7.8) In termini algebrici, la precedente condizione si esprime dicendo che x A k x è l immagine del vettore U k attraverso la trasformazione lineare R km R n associata alla matrice R k, dunque x è raggiungibile da x in k passi se e solo se x A k x R k (7.9) dove R k = Im R k (7.1) è il sottospazio di R n costituito dall immagine di R k. Ponendo x = nella (7.9), risulta evidente che R k è l insieme degli stati x raggiungibili in k passi a partire dallo stato iniziale nullo. L insieme R k è detto sottospazio di raggiungibilità in k passi. Lemma 7.1 (Teorema di Hamilton-Cayley) Data una matrice quadrata A di dimensione n, si consideri il suo polinomio caratteristico p A (λ) p A (λ) = det(λi A) = λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a (7.11)

82 76 La matrice A è radice del suo polinomio caratteristico, ovvero risulta A n = a n 1 A n 1 a n 2 A n 2 + a I (7.12) Teorema 7.1 Dato il sistema (7.1), sia R = R n = Im[B AB... A n 1 B]. Allora, i sottospazi di raggiungibilità in 1, 2,..., n passi sono tali che R 1 R 2 R k R n = R n+1 = R n+2 = = R (7.13) Dimostrazione. Per costruzione, si ha R k = Im[B AB... A k 1 B] Im[B AB... A k B] = R k+1 per ogni k. Inoltre, per ogni k > n, per il teorema di Hamilton-Cayley, il vettore A k 1 B è combinazione lineare di B,AB,...,A n 1 B, per cui R k = R n = R. In conseguenza del precedente risultato, se uno stato è raggiungibile dallo stato nullo, allora lo è in al più n passi. Il sottospazio R = Im[B AB... A n 1 B] (7.14) rappresenta quindi l insieme degli stati del sistema raggiungibili dallo stato nullo con un opportuna sequenza di ingresso, indipendentemente dal numero di passi, ed è detto sottospazio di raggiungibilità del sistema. La matrice R = [B AB... A n 1 B] (7.15) è detta matrice di raggiungibilità. Osservazione 7.1 In generale, la successione dei sottospazi R k in (7.13) può diventare stazionaria (cioè smettere di aumentare di dimensione al crescere di k) anche a partire da qualche k < n, pertanto dim R = rank[r] n. Ricordiamo la definizione di invarianza di un sottospazio rispetto ad una trasfomazione lineare. Definizione 7.2 Dato un sottospazio X di R n, X è invariante rispetto alla trasformazione lineare t A ( ) : R n R n definita nella base canonica di R n dalla matrice A (A-invariante), se per ogni x X risulta t A (x) = Ax X. Lemma 7.2 Il sottospazio R è A-invariante, ovvero x R A x R (7.16) Dimostrazione. Il sottospazio dei vettori Ax con x R, ovvero l immagine di R attraverso la trasformazione t A ( ) è generato dalle colonne della matrice AR = [AB A 2 B...A n B]. Per il teorema di Hamilton Cayley, le colonne della matrice AR risultano combinazione lineare di quelle di R. Pertanto l immagine di R attraverso t A ( ) è contenuta in R e quindi R è A-invariante. Definizione 7.3 Il sistema (7.1) è detto completamente raggiungibile se l insieme degli stati raggiungibili dallo stato nullo coincide con tutto lo spazio degli stati ovvero se la matrice R ha rango massimo (rank[r] = n). R = R n (7.17) Se il sistema è completamente raggiungibile, allora per ogni stato iniziale x ed ogni stato obiettivo x esiste una sequenza di ingressi U n che porta lo stato da x a x in n passi, cioè una sequenza tale che x n = A n x + RU n = x (7.18) Infatti, poiché ogni stato è raggiungibile dallo stato nullo, risulta in particolare che x A n x è raggiungibile dallo stato nullo per qualunque x e x, quindi esiste una sequenza d ingresso U n tale che x A n x = RU n.

83 77 Si consideri una trasformazione lineare di coordinate, ovvero un cambiamento di base nello spazio degli stati dato da x k = Tz k (7.19) dove T è una matrice non singolare, x k il vettore di stato espresso nella base canonica di R n e z k il vettore di stato espresso nella nuova base. Le equazioni di evoluzione dello stato del sistema con lo stato espresso nella nuova base sono date da { zk+1 = Ãz k + Bu k y k = Cz k (7.2) à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (7.21) Osservazione 7.2 La proprietà di completa raggiungibilità di un sistema è invariante rispetto a ogni trasformazione di coordinate nello spazio degli stati. Infatti, la matrice di raggiungibilità nella base trasformata vale R = [ B à B... ] = [T 1 B T 1 ATT 1 B... ] = T 1 R (7.22) e dunque R ha rango pieno se e solo se lo ha R, essendo T non singolare Decomposizione di raggiungibilità Osserviamo che se x k è, come al solito, il vettore di stato del sistema riferito alla base canonica di R n, l equazione di evoluzione dello stato può essere scritta come x k+1 = t A (x k ) + t B (u k ) (7.23) dove t A ( ) : R n R n e t B ( ) : R m R n sono le trasformazioni lineari definite rispetto alla base canonica di R n dalle matrici A e B, rispettivamente. Definizione 7.4 Si definisce indice di raggiungibilità del sistema (7.1) la dimensione dello spazio raggiungibile, ovvero la quantità n r = dimr = rank R n (7.24) Se l indice di raggiungibilità del sistema vale n r, allora il suo spazio raggiungibile è completamente generato da una base di n r vettori di R n linearmente indipendenti. Sia n r < n (sistema non completamente raggiungibile) e si introduca un cambiamento di coordinate nello spazio degli stati x k = Tz k (7.25) in cui i primi n r elementi della nuova base siano una base del sottospazio raggiungibile. Tale cambiamento di coordinate è ottenuto quindi mediante la matrice T = [v 1...v nr w nr+1...w n ] (7.26) dove {v 1,...,v nr } è una base di R; tale base può essere costituita da un insieme di vettori composto da n r colonne indipendenti di R. L insieme dei vettori indipendenti {w nr+1,...,w n } è un completamento della base di R considerata per arrivare ad ottenere una base di R n. 1 Poiché R è A-invariante, ovvero invariante rispetto alla trasformazione t A ( ), la matrice à = T 1 AT, associata alla trasformazione lineare t A ( ) nella nuova base dello spazio di stato, ha le prime n r colonne con gli ultimi n n r coefficienti nulli. 2 Inoltre, poiché Im[B] R (si noti infatti che B rappresenta un sottoinsieme delle colonne di R), la trasformazione t B ( ) applicata a un qualunque vettore genera 1 Si ricordi che la matrice T di cambiamento di base dalla base canonica ad un altra base B è data da una matrice non singolare le cui colonne sono i vettori della base B espressi in base canonica. 2 Ricordiamo infatti che la matrice associata ad una trasformazione lineare R p R q ed a due date basi per R p e R q ha come colonne i vettori trasformati dei vettori della base di R p espressi secondo la base di R q.

84 78 u k B r z r k+1 z 1 z r k C r A r A r r y k z r k+1 z 1 z r k C r A r Figura 7.2: Schema a blocchi del sistema in decomposizione di raggiungibilità. un vettore che non ha componenti lungo w nr+1,..., w n, e dunque le colonne della matrice B = T 1 B, associata alla trasformazione t B ( ), nella nuova base dello spazio di stato hanno gli ultimi n n r coefficienti nulli. Per quanto appena osservato, le matrici del sistema nella nuova base à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (7.27) hanno la forma [ ] Ar A à = r r A r ; B = [ Br Questa forma è detta decomposizione canonica di raggiungibliltà. In forma estesa, il sistema può essere scritto come { z r k+1 = A r z r k + A r rz r k + B ru k z r k+1 = A r z r k ] ; C = [ Cr C r ] (7.28) (7.29) dove x k = Tz k = T[zk r z r k ], essendo zk r e z r k le componenti dello stato lungo la base dello spazio raggiungibile e lungo il suo completamento. In figura 7.2 è riportato uno schema a blocchi della dinamica del sistema decomposta come in (7.29). Data la struttura triangolare a blocchi della matrice à della decomposizione canonica, risulta che gli autovalori di A (che sono coincidenti con quelli di Ã, visto che sono invarianti per trasformazioni di coordinate) sono dati dall insieme degli autovalori di A r (detti autovalori raggiungibili) e di quelli di A r (detti autovalori non raggiungibili). Relativamente alla decomposizione degli autovalori in raggiungibili e non, si ha il seguente risultato. Teorema 7.2 Gli autovalori non raggiungibili non sono poli della funzione di trasferimento G(z) del sistema.

85 79 Dimostrazione. Poiché la funzione di trasferimento è invariante rispetto alla base in cui si rappresenta lo stato del sistema, risulta G(z) = C(zI A) 1 B = C(zI Ã) 1 B = [ ] ( [ Ar A C r C r zi r r A r ]) 1 [ Br = [ C r C r ] [ (zi A r ) 1 (zi A r ) 1 = C r (zi A r ) 1 B r ] ][ Br ] Si osserva quindi che G(z) è di fatto pari alla funzione di trasferimento del solo sottosistema raggiungibile. In particolare G(z) non ha come poli gli autovalori di A r. Osservazione 7.3 In base al risultato precedente, è chiaro che la funzione di trasferimento G(z) è determinata solo da modi del sistema che sono raggiungibili. Questo fatto non sorprende se si tiene conto di come risulta decomposto il sistema in figura 7.2, dove è evidente che la componente non raggiungibile z r k dello stato non è influenzata in alcun modo dall ingresso ed è in evoluzione libera. Poiché la funzione di trasferimento esprime il legame tra l ingresso e l uscita del sistema in termini di risposta forzata, se l ingresso non influenza alcuni dei modi del sistema, tali modi non possono comparire nel legame ingressouscita. Gli autovalori del sistema che non compaiono come poli nella funzione di trasferimento danno luogo a cancellazioni polo/zero nell espressione di G(z) Controllabilità Si consideri adesso un problema specifico di raggiungibilità, cioè il problema di determinare una sequenza d ingresso U n tale da portare a zero in n passi lo stato del sistema a partire da un dato stato iniziale x, ovvero una sequenza d ingresso tale che = A n x + RU n (7.3) Tale problema ha soluzione se e solo se A n x è raggiungibile dallo stato nullo, ovvero A n x R (7.31) Il problema ammette dunque soluzione per ogni x se e solo se lo stato A n x (i.e., l immagine di x attraverso A n ) è uno stato raggiungibile per ogni x, ovvero se e solo se Im A n R (7.32) In questo caso il sistema è detto completamente controllabile. Se un sistema è completamente raggiungibile, allora è anche completamente controllabile, infatti banalmente Im A n R = R n (7.33) Proprietà 7.1 Un sistema è completamente controllabile se e solo se gli autovalori non raggiungibili sono tutti nulli. Infatti, poiché l evoluzione dei modi non raggiungibili è libera e non è influenzata dall ingresso, lo stato del sistema può andare a zero in n passi per qualunque stato iniziale in corrispondenza di un opportuno ingresso se e solo se l evoluzione libera della parte non raggiungibile va a zero in tempo finito per qualunque stato iniziale, ovvero se e solo se A r ha autovalori tutti nulli. 7.3 Allocazione degli autovalori Dato il sistema con ingresso u k scalare { xk+1 = Ax k + Bu k y k = Cx k ; x k R n, u k R (7.34)

86 8 si consideri la legge di controllo in retroazione dallo stato statica e stazionaria u k = Fx k + v k (7.35) Il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + Bv k y k = Cx k (7.36) Sia T una trasformazione che porta il sistema in decomposizione di raggiungibilità (Ã, B, C) e sia F = FT = [F r F r ] la matrice F nella nuova base. 3 La matrice A del sistema ad anello chiuso in decomposizione canonica vale [ à + B F Ar A = r r A r ] [ Br + ] [ Fr F r ] = [ Ar + B r F r A r r + B r F r A r ] (7.37) da cui si osserva che solo il sottosistema raggiungibile ha un evoluzione che viene modificata dall applicazione del controllo, e in particolare vengono alterati solo gli autovalori raggiungibili di A. Si vuole adesso determinare una legge di retroazione dallo stato della forma (7.35) in modo che il sistema ad anello chiuso soddisfi opportune specifiche. Note le relazioni tra le prestazioni della risposta libera o forzata (deadbeat, risposta del primo/secondo ordine, ecc.) ed i poli o autovalori corrispondenti, si tratta di progettare la legge di controllo in modo da posizionare gli autovalori (necessariamente della sola parte raggiungibile) del sistema in modo conforme alle specifiche (problema di allocazione degli autovalori). Dato quindi un sistema completamente raggiungibile (che eventualmente rappresenta la sola parte raggiungibile di un sistema che non lo è) ad un solo ingresso, cerchiamo una legge di retroazione dallo stato in modo che gli autovalori λ 1,...,λ n del sistema ad anello chiuso siano pari a valori desiderati. Sussiste il seguente risultato, che forniamo senza dimostrazione. Teorema 7.3 Un sistema è completamente raggiungibile se e solo se esiste una trasformazione di coordinate T nello spazio degli stati che porta il sistema nella cosiddetta forma canonica di raggiungibilità, in cui le matrici  = T 1 AT e ˆB = T 1 B sono date da  = Tale trasformazione di coordinate è data da. I n 1 a a 1... a n 1 ; ˆB =. 1 (7.38) T = RH (7.39) dove R è la matrice di raggiungibilità del sistema, H è la matrice H = a 1 a 2 a a n 2 a n a n (7.4) e a n 1,...a sono i coefficienti del polinomio caratteristico di A p A (λ) = λ n + a n 1 λ n a = det(λi A) (7.41) 3 Se il sistema è completamente raggiungibile, allora T può essere l identità.

87 81 La matrice  della forma canonica di raggiungibilità è detta in forma compagna del polinomio caratteristico, così chiamata perché gli unici coefficienti diversi da e da 1 che compaiono in  sono quelli di p A (λ). Si consideri un sistema raggiungibile ed una legge di controllo della forma (7.35) definita da una matrice di retroazione F. Si porti il sistema in forma canonica di raggiungibilità (Â, ˆB,Ĉ) mediante la trasformazione T = RH. Sia ˆF = FT la matrice F espressa nella nuova base. Scrivendo ˆF = [ ˆf ˆf1... ˆfn 1 ] (7.42) dove ˆf i sono opportuni coefficienti, il sistema ad anello chiuso in forma canonica risulta dato da  + ˆB ˆF =. I n 1 ; ˆB =. a + ˆf a 1 + ˆf 1... a n 1 + ˆf n 1 1 (7.43) e quindi, in base al fatto che la matrice  è in forma compagna, il polinomio caratteristico ad anello chiuso (che, ricordiamolo, è invariante rispetto a trasformazioni di coordinate e quindi è pari al polinomio caratteristico di A + BF) vale p A+BF (λ) = pâ+ ˆB ˆF(λ) = λ n + (a n 1 ˆf n 1 )λ n (a ˆf ) (7.44) È quindi possibile fissare arbitrariamente i coefficienti del polinomio caratteristico (e quindi gli autovalori) del sistema ad anello chiuso scegliendo la matrice di retroazione dove è il polinomio caratteristico ad anello chiuso che si desidera imporre. La matrice di retroazione nella base originaria risulta ˆF = [a d... a n 1 d n 1 ] (7.45) p d (λ) = λ n + d n 1 λ n d (7.46) F = ˆFT 1 = ˆF(RH) 1 = [a d... a n 1 d n 1 ](RH) 1 (7.47) La formula (7.47) va sotto il nome di formula di allocazione degli autovalori. Mediante tale formula è possibile calcolare la matrice di retroazione F tale che il sistema ad anello chiuso abbia il polinomio caratteristico desiderato (7.46). Una formula alternativa che risolve lo stesso problema è la formula di Ackermann dove F = [... 1]R 1 p d (A) (7.48) p d (A) = A n + d n 1 A n d I (7.49) Osservazione 7.4 In Scilab, per l allocazione degli autovalori, si usa il comando F=-ppol(A,B,P) dove P= [λ 1... λ n ] è il vettore degli autovalori ad anello chiuso desiderati (non il vettore dei coefficienti del polinomio caratteristico desiderato). Osservazione 7.5 Per problemi di piccole dimensioni, se non si ha a disposizione il calcolatore, si può impostare direttamente l equazione p A+BF (λ) = p d (λ) (7.5) con F = [f f 1... f n 1 ] e risolvere nelle incognite f,...,f n 1 uguagliando i polinomi coefficiente a coefficiente. Osservazione 7.6 Se il sistema non è completamente raggiungibile, i metodi visti possono essere impiegati per l allocazione degli autovalori del solo sottosistema raggiungibile. Gli autovalori del sottosistema non raggiungibile non possono mai essere cambiati.

88 Stabilizzabilità Si consideri il problema di determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato statica stazionaria che renda un dato sistema asintoticamente stabile ad anello chiuso, cioè con tutti autovalori a modulo strettamente minore di 1. La soluzione a questo problema è un caso particolare del problema di allocazione degli autovalori. Possiamo disringuere due casi: Se il sistema è completamente raggiungibile, il problema ha chiaramente soluzione sotto forma di retroazione statica dello stato, poiché in questo modo è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori, ed in particolare è possibile renderli tutti asintoticamente stabili. Se il sistema non è completamente raggiungibile, il problema ha soluzione solo se gli autovalori del sottosistema non raggiungibile, che non sono modificabili tramite retroazione, sono già asintoticamente stabili. Definizione 7.5 Un sistema è detto stabilizzabile se i suoi autovalori non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Una matrice di retroazione che stabilizza un sistema definito dalle matrici A e B si dice che stabilizza la coppia (A,B) Allocazione degli autovalori: specifiche Gli autovalori di un sistema determinano i modi della risposta libera del sistema stesso e, limitatamente a quelli che compaiono come poli nella funzione di trasferimento, le caratteristiche del transitorio della risposta forzata. L allocazione degli autovalori può essere quindi utilizzata per imporre un comportamento desiderato tanto alla risposta libera quanto, ad esempio, al transitorio della risposta al gradino. Per la scelta degli autovalori da imporre nei confronti di questi due problemi, possono essere applicati gli stessi criteri usati nella sintesi diretta per il transitorio della risposta al gradino. Ad esempio, per ottenere un transitorio ad anello chiuso corrispondente ad assegnate specifiche di smorzamento e rapidità, due degli autovalori del sistema possono essere allocati in posizione dominante con smorzamento e pulsazione naturale corrispondenti alle specifiche, mentre i poli rimanenti possono essere posti in posizione non dominante, ad esempio in zero, in modo che la dinamica dei modi relativi si esaurisca in un tempo finito. Posizionare tutti gli autovalori in zero significa ottenere tanto una risposta liberaq quanto un transitorio della risposta al gradino, di tipo deadbeat. 7.4 Inseguimento del riferimento Vogliamo adesso determinare degli schemi di controllo che sfruttino l allocazione degli autovalori mediante retroazione dallo stato e che permettano di ottenere, oltre alla stabilità del sistema ad anello chiuso e l assegnazione delle caratteristiche del transitorio, anche l inseguimento di un segnale riferimento r k a gradino. Un primo schema può essere ottenuto mediante una semplice scalatura del segnale di riferimento per un opportuno fattore scalare K, cioè mediante una legge di controllo della forma u k = Fx k + Kr k (7.51) (vedi figura 7.3) Il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + BKr k y k = Cx k (7.52) a cui corrisponde la funzione di trasferimento il cui guadagno in continua vale W(z) = C[zI (A + BF)] 1 BK (7.53) W(1) = C[I (A + BF)] 1 BK (7.54)

89 83 r k u k x k+1 x k K B z 1 C y k A F Figura 7.3: Schema per inseguimento con scalatura del riferimento. Imponendo che tale guadagno in continua sia unitario, si ricava il valore di K da applicare in modo da ottenere l inseguimento senza errore a regime del gradino K = 1 C(I (A + BF)) 1 B (7.55) Osservazione 7.7 La matrice I (A + BF) è invertibile se, come dev essere (essendo il sistema ad anello chiuso asintoticamente stabile), non ci sono autovalori ad anello chiuso in z = 1. Questo approccio garantisce errore a regime di inseguimento al gradino nullo ma non tiene conto dell errore a regime dovuto ad eventuali disturbi (costanti) che possono agire in qualunque punto del sistema (ad esempio sul comando o sull uscita). Nella sintesi ingresso-uscita, l inseguimento del gradino e l annullamento a regime dell effetto di disturbi costanti si ottiene tipicamente inserendo un termine integrale nel compensatore. Un approccio simile può essere applicato anche alla sintesi nello spazio degli stati Retroazione dallo stato con azione integrale Si consideri lo schema di controllo in figura 7.4. A tale schema corrispondono le equazioni di evoluzione x k+1 = Ax k + B(Fx k + Kq k + d k ) q k+1 = q k + e k = q k y k + r k = q k Cx k + r k (7.56) Si osservi che l introduzione dell integratore, che è un blocco con dinamica, introduce una nuova variabile di stato q k. Lo stato ψ k del sistema complessivo è dato dall insieme di x k e dello stato q k dell integratore, ψ k = [x k q k]. In forma compatta, l evoluzione del sistema si scrive allora [ ] Bdk ψ k+1 = (A aug + B aug F aug )ψ k + (7.57) r k dove A aug = [ A C 1 ] [ B, B aug = ], F aug = [ F K ] (7.58) Si supponga d k = d (disturbo costante) e r k = r (riferimento a gradino). Se si sceglie F aug (ovvero l insieme di F e K) in modo da stabilizzare asintoticamente la coppia (A aug,b aug ), risolvendo quindi il problema di allocazione degli autovalori di dimensione n+1 relativo al sistema complessivo, allora l errore

90 84 d k r k e k 1 q k u k x k+1 x k K B z 1 C _ z 1 y k A F Figura 7.4: Schema di controllo con retroazione dallo stato ed azione integrale a regime di inseguimento al gradino e l errore a regime sull uscita y k dovuto al disturbo costante sono nulli per il principio del modello interno: infatti si viene a realizzare un anello di controllo internamente stabile con un integratore a monte del punto di entrata del disturbo. Naturalmente, sempre in base al principio del modello interno, lo schema funziona anche se il disturbo costante entra in un altro punto del sistema tra l integratore e l uscita, ad esempio sovrapposto all uscita stessa.

91 Capitolo 8 Stima dello stato e sintesi del regolatore Sommario. In questo capitolo vengono discussi la proprietà strutturale di osservabilità, il progetto dello stimatore asintotico deterministico dello stato ed il progetto del regolatore con retroazione dallo stato stimato (compensatore dinamico). 8.1 Stima dello stato Nel precedente capitolo abbiamo analizzato il controllo in retroazione lineare statica dallo stato u k = Fx k + v k (8.1) che può essere progettato secondo diversi criteri, quali l allocazione degli autovalori sulla base di opportune specifiche. In casi realistici, tuttavia, non sono disponibili ad ogni istante misure dell intero stato, ma solo di opportune variabili dette accessibili. Si rende quindi necessario calcolare istante per istante, tramite un metodo opportuno, una stima ˆx k del valore delle variabili di stato x k a partire da misurazioni delle variabili che sono accessibili (l ingresso u k ed un uscita misurabile y k ); se la stima è esatta istante per istante, in linea di principio è possibile impiegare la legge di controllo u k = F ˆx k (8.2) dove F è progettata secondo i metodi visti (figura 8.1). Si osservi che le variabili di uscita misurate, sulla base delle quali si vuole eseguire la stima dello stato, non coincidono necessariamente con le variabili di uscita che eventualmente si intende controllare. 8.2 Osservabilità Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto in spazio di stato { xk+1 = Ax k + Bu k x k R n y k = Cx k (8.3) si consideri il problema di determinare lo stato iniziale x a partire dall osservazione di una sequenza di campioni dell uscita y,y 1,... (e della corrispondente sequenza di ingresso, se presente). Si supponga per semplicità che il sistema sia in evoluzione libera (vedremo che la generalizzazione al caso in cui sia presente anche l ingresso è piuttosto semplice). La sequenza di uscita in funzione dello stato iniziale x vale y k = CA k x k =,1,... (8.4) Definizione 8.1 Si supponga che due stati iniziali x 1 e x 2 producano la stessa sequenza y k per k =,1,...,K 1. In questo caso non si è evidentemente in grado di decidere, osservando K campioni dell uscita, quale dei due stati iniziali abbia generato l evoluzione del sistema. Se questo accade, i due stati x 1 e x 2 si dicono indistinguibili tra loro nel futuro in K passi. Se uno stato x è tale che y = y 1 = = y K 1 =, esso è allora indistinguibile in K passi dallo stato nullo e si dice inosservabile in K passi. Dalla (8.4), si vede facilmente che il vettore dei primi K campioni di uscita si può esprimere in forma compatta come Y K = O K x (8.5)

92 86 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F ˆx k Stimatore Figura 8.1: Schema di controllo in retroazione con stimatore dello stato. dove Y K = y y 1.. y K 1 ; O K = C CA. CA K 1 (8.6) Se risulta possibile risolvere univocamente rispetto a x il sistema lineare (8.5), allora si è in grado di determinare lo stato iniziale x a partire dall osservazione dei K campioni dell uscita Y K. Sempre in base alla (8.5), si osserva che l insieme degli stati x inosservabili in K passi, ovvero l insieme degli stati iniziali che producono uscita nulla per K passi, è dato dall insieme delle soluzioni di O K x =. (8.7) ovvero, in termini algebrici, dall insieme O K = ker O K (8.8) Il sottospazio O K di R n è detto sottospazio inosservabile in K passi. Osserviamo che risulta C C ker CA CA K 1 = ker CA CA n 1 K > n (8.9) infatti, per il teorema di Hamilton-Cayley, CA k 1 è combinazione lineare di C,CA,...,CA n 1 k > n. Pertanto, se un certo stato è inosservabile in n passi, allora lo è anche in qualunque numero di passi K > n. Dunque, il sottospazio O = O n = kero n = ker C CA CA n 1 (8.1)

93 87 rappresenta l insieme degli stati inosservabili in assoluto, ovvero in qualunque numero di passi, ed è detto sottospazio inosservabile. La matrice O = O n è detta matrice di osservabilità del sistema. Il sistema (ovvero la coppia (A,C)) è detto completamente osservabile se non esistono stati inosservabili e cioè se O = {} rank O = n (8.11) Consideriamo nuovamente il problema della determinazione dello stato iniziale x da osservazioni dell uscita, supponendo per semplicità che l uscita sia scalare (y k R). Si tratta di risolvere il sistema di equazioni Y K = O K x (8.12) che ha n incognite, per cui per avere soluzione univoca è necessario che K n. D altra parte, per il teorema di Hamilton-Cayley, la matrice O K non aumenta di rango all aumentare di K per K > n, per cui il problema può essere riscritto come Y n = Ox (8.13) che ha soluzione univoca se e solo se rank O = n, ovvero se e solo se il sistema è completamente osservabile. Se il sistema non è completamente osservabile, allora Y n = Ox ha infinite soluzioni, ed inoltre ogni stato iniziale x è indistinguibile da un qualunque altro stato della forma ˆx = x + x con x O. Infatti, la sequenza di uscita in n passi corrispondente a ˆx vale Oˆx = Ox + O x = Ox + = Ox (8.14) Se il sistema non è completamente osservabile, lo stato iniziale x è quindi noto a meno di un opportuno stato inosservabile, ovvero se ˆx è una qualunque delle infinite soluzioni di Y n = Oˆx (8.15) allora lo stato iniziale x è dato da ˆx x dove x è uno stato inosservabile. Quanto valga x non è ovviamente possibile saperlo da osservazioni dell uscita, perché ogni stato inosservabile genera tutte uscite nulle Ricostruibilità Dovendo risolvere un problema di controllo, si è interessati a stimare, piuttosto che lo stato iniziale x del sistema, lo stato attuale ad ogni istante, in modo da poter impiegare la stima per effettuare la retroazione. Si consideri di dover calcolare lo stato attuale sulla base degli ultimi n campioni dell uscita (per quanto noto sull osservabilità, considerare un numero superiore di campioni non è significativo). In base alla stazionarietà del sistema, questo è equivalente a calcolare lo stato x n all istante n, sulla base delle uscite y,...y n 1. Per un sistema in evoluzione libera lo stato al passo n vale x n = A n x (8.16) Se il sistema è completamente osservabile è possibile calcolare x univocamente e dunque risulta x = O 1 Y n (8.17) x n = A n x = A n O 1 Y n (8.18) Se il sistema invece non è osservabile, e ˆx è una delle infinite soluzioni di Y n = Oˆx, da quanto già detto risulta x = ˆx x dove x è uno stato inosservabile e non noto. Dunque x n = A n x = A nˆx A n x (8.19) che non si può calcolare perché non si conosce x. Se tuttavia il sistema è tale che per ogni x O risulta A n x =, ovvero, O ker A n (8.2) allora si ha x n = A nˆx (8.21)

94 88 e dunque lo stato attuale x n è ricostruibile conoscendo solo un qualunque ˆx soluzione di Y n = Oˆx, seppure non sia calcolabile x. Se vale la condizione O ker A n, il sistema è detto completamente ricostruibile. La proprietà di ricostruibilità consiste, per quanto visto, nella possibilitá di calcolare lo stato attuale, anche se non necessariamente quello iniziale, a partire dall osservazione degli ultimi n campioni dell uscita Dualità Sia dato il sistema Σ con rappresentazione di stato definita dalle matrici (A,B,C) Definizione 8.2 Si definisce sistema duale di Σ il sistema Σ = (A,B,C) (8.22) Σ = (A,B,C ) dove A = A, B = C, C = B (8.23) che ha tanti ingressi quante sono le uscite di Σ e tante uscite quanti sono gli ingressi di Σ. Osservazione 8.1 Si verifica facilmente che il duale di Σ è il sistema originale Σ. Proprietà 8.1 Sussiste la seguente relazione tra la matrice di osservabilità O di Σ e la matrice di raggiungibilità R di Σ : C O = CA = [ ] C A C... (A ) n 1 C [ = B A B... (A ) n 1 B ] = (R ) CA n 1 Analogamente, per R ed O, risulta (8.24) R = (O ) (8.25) Dalle condizioni di rango che definiscono la completa raggiungibilità/osservabilità segue allora che Σ è completamente osservabile Σ è completamente raggiungibile Σ è completamente raggiungibile Σ è completamente osservabile Decomposizione di osservabilità Dato un sistema Σ = (A,B,C), si consideri una trasformazione di coordinate nello spazio degli stati definita da una matrice T (x k = Tz k ). Le matrici che descrivono il sistema Σ nella nuova base, come noto, valgono à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (8.26) Trasponendo le precedenti relazioni si ottiene à = T A (T ) 1 ; C = T C ; B = B (T ) 1 (8.27) Si consideri il sistema duale Σ e si applichi ad esso la trasformazione di coordinate nello spazio degli stati definita da T = (T ) 1. In base alla (8.27), il duale nella nuova base risulta à = T 1 A T ; B = T 1 B ; C = C T (8.28) Sia Σ = (A,B,C) non completamente osservabile. Allora il suo duale Σ = (A,C,B ) è non completamente raggiungibile e pertanto ammette una trasformazione di coordinate T che lo porta in decomposizione canonica di raggiungibilità. Tale decomposizione può essere scritta come [ ] [ ] A à = o A oō C A ; C = o ; B = [ ] B o ō B ō (8.29)

95 89 u k B o z o k+1 z 1 z o k C o y k A o A oō Bō zōk+1 z 1 zōk Aō Figura 8.2: Decomposizione canonica di osservabilità Quindi, mediante la trasformazione di coordinate definita da T = (T ) 1 x k = T[z o k zōk] (8.3) il sistema originale Σ viene portato nella forma [ Ao à = A oō Aō ] [ Bo ; B = Bō ] ; C = [ Co ] (8.31) Questa forma è detta decomposizione canonica di osservabilità ed è rappresentata nello schema a blocchi di figura 8.2. Il sottosistema definito da (A o,b o,c o ) è completamente osservabile perché è il duale del sottosistema raggiungibile del sistema duale, e viene detto sottosistema osservabile. Al contrario, lo stato del sottosistema definito da (Aō,Bō,) ha un evoluzione cui corrispondono uscite tutte nulle. Tale sottosistema non influenza le variabili di uscita (si veda ancora la figura 8.2) e viene pertanto detto sottosistema inosservabile. Dalla (8.31), inoltre, è evidente che gli autovalori di A sono dati dall insieme degli autovalori di A o (autovalori osservabili) e degli autovalori di Aō (autovalori inosservabili). Dall esame della figura (8.2), risulta chiaro infine che l ingresso non influisce sulla proprietà di osservabilità del sistema, poiché il sottosistema inosservabile produce uscite identicamente nulle indipendentemente dal fatto che la sua evoluzione sia o meno pilotata dall ingresso (lo stato del sottosistema inosservabile è staccato fisicamente dall uscita).

96 9 Osservazione 8.2 La matrice di trasformazione che porta il sistema nella decomposizione di osservabilità è necessariamente della forma T = [ w 1... w no v no+1... v n ] (8.32) dove v no+1,...,v n è una base del sottospazio inosservabile O e w 1,...,w no è un suo completamento per ottenere una base di R n. Infatti le ultime n n o componenti dello stato decomposto (zōk ) sono quelle componenti la cui evoluzione produce uscite sempre identicamente nulle, quindi sono necessariamente le componenti dello stato lungo il sottospazio inosservabile. Proprietà 8.2 Gli autovalori inosservabili (quelli della matrice Aō) non sono poli della funzione di trasferimento G(z) del sistema. Si prova infatti, in modo del tutto analogo a quanto fatto per la decomposizione di raggiungibilità, che risulta G(z) = C o (zi A o ) 1 B o (8.33) In base alla proprietà precedente ad al risultato analogo relativo agli autovalori non raggiungibili, si ricava immediatamente il seguente teorema. Teorema 8.1 La funzione di trasferimento G(z) contiene come poli tutti e soli gli autovalori raggiungibili E osservabili del sistema. Osservazione 8.3 Il sistema è completamente ricostruibile se e solo se gli autovalori della sua parte non osservabile sono tutti nulli. Questa condizione infatti è equivalente al fatto che la risposta libera relativa ad un qualunque stato iniziale x che ha solo componenti inosservabili vada a zero dopo n passi (A n x = ). In tal caso, l intero stato al passo n è noto dalla sola conoscenza della parte osservabile, infatti a tale istante la parte inosservabile vale necessariamente zero qualunque sia la condizione iniziale Rivelabilità Definizione 8.3 Un sistema si dice rivelabile se la sua parte non osservabile (la matrice Aō) ha tutti autovalori asintoticamente stabili. La rivelabilità equivale alla possibilità di determinare asintoticamente (quindi non necessariamente in tempo finito) il valore dello stato attuale a partire dall osservazione delle variabili di uscita. Infatti, se la condizione di rivelabilità è soddisfatta, la risposta libera della parte inosservabile dello stato tende a zero asintoticamente, anche se non necessariamente in un numero finito di passi. Osservazione 8.4 Un sistema è rivelabile se e solo se il suo duale è stabilizzabile. Questa proprietà è evidente dal legame tra la decomposizione canonica di osservabilità di un sistema e la decomposizione di raggiungibilità del suo duale. 8.3 Osservatore asintotico Dato un sistema osservabile, o almeno rivelabile, affrontiamo il problema di determinare un metodo per stimare in linea, ad ogni istante, il valore attuale dello stato, in modo da poter utilizzare la retroazione dello stato stimato allo scopo di controllare il sistema (figura 8.3). Si consideri lo schema rappresentato in figura 8.4. Tale schema è costituito, oltre che dal sistema fisico di cui si desidera stimare lo stato x k non noto, da un secondo sistema dinamico identico (in linea di principio) al precedente. Lo stato ˆx k del sistema simulato (ovviamente noto), costituisce la stima. L evoluzione di ˆx k è determinata, oltre che dallo stesso ingresso che viene applicato al sistema vero, da un termine correttivo proporzionale secondo un guadagno L alla differenza tra l uscita del sistema vero, che è supposta misurabile, e l uscita del sistema simulato. Questo termine correttivo è di fatto un termine di retroazione: l evoluzione dello stato stimato viene modificata a seconda di quanto l evoluzione del sistema simulato differisce (in termini di uscita, che è l unica variabile accessibile) dall evoluzione del sistema vero. Esaminiamo in dettaglio la dinamica del sistema complessivo. La legge di aggiornamento dello stato

97 91 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F ˆx k Stimatore Figura 8.3: Sistema di controllo con retroazione dallo stato stimato. ˆx k+1 = Aˆx + Bu k + L(y k ŷ k ) (8.34) u k B x k+1 z 1 x k C y k A P d L _ B ˆx k+1 z 1 ˆx k C ŷ k A Osservatore Figura 8.4: Osservatore di Luenberger

98 92 dello stimatore ˆx k è data da ˆx k+1 = Aˆx + Bu k + L(y k ŷ k ) (8.35) e dunque l evoluzione del sistema complessivo (sistema fisico più stimatore) risulta x k+1 = Ax k + Bu k ˆx k+1 = Aˆx + Bu k LC(ˆx k x k ) (8.36) Si definisca x k = x k ˆx k (8.37) Evidentemente, x k rappresenta l errore di stima, ovvero la differenza tra lo stato vero e lo stato stimato. Sottraendo tra loro le (8.36) si ottiene x k+1 = (A LC) x k (8.38) pertanto l errore di stima evolve liberamente (ovvero senza essere influenzato dell ingresso) secondo una legge dipendente dalla matrice L, che può essere scelta arbitrariamente come parametro di progetto. L obiettivo è far sì che l evoluzione dell errore di stima abbia un andamento convergente a zero. L errore di stima convergerà asintoticamente a zero se si è in grado di determinare L tale che A LC abbia tutti gli autovalori interni al cerchio unitario. Si consideri il duale del sistema che descrive la dinamica dell errore di stima, dato da π k+1 = (A C L )π k (8.39) Poiché gli autovalori di una matrice coincidono con quelli della sua trasposta, determinare L in modo da allocare gli autovalori di A LC in modo opportuno, equivale ad allocare gli autovalori di A C L. Questo problema non è altro che l allocazione degli autovalori standard applicata al sistema duale. Infatti il duale si può scrivere come π k+1 = (A + B F )π k dove A = A, B = C, F = L (8.4) Se la coppia (A,B ) è raggiungibile, allora si sa che è possibile determinare F in modo da posizionare arbitrariamente gli autovalori di A +B F. Se dunque la coppia (A,C) è osservabile, allora per dualità (A,B ) è raggiungibile, quindi è possibile determinare F in modo da stabilizzare asintoticamente A + B F, ovvero L in modo da stabilizzare A LC (per L = F, gli autovalori di A LC e A +B F coincidono perché, come detto, le due matrici sono l una la trasposta dell altra). Pertanto, se il sistema è osservabile, è possibile determinare L in modo che l osservatore fornisca una stima ˆx k dello stato del sistema x k il cui errore x k rispetto allo stato reale tenda asintoticamente a zero con la dinamica assegnata agli autovalori di A LC. Osservazione 8.5 Se il sistema non è osservabile ma solo rivelabile, allora il suo duale è stabilizzabile, dunque è ancora possibile determinare L che, pur allocando i soli autovalori osservabili, rende la dinamica dell errore di stima asintoticamente stabile e dunque rende lo stato stimato ˆx k asintoticamente convergente allo stato vero x k. Osservazione 8.6 Se il sistema è osservabile, in particolare è possibile allocare tutti gli autovalori dell osservatore in zero, e quindi far convergere lo stato stimato in al più n passi (osservatore deadbeat). L osservatore deadbeat può essere inoltre ottenuto anche nel caso in cui eventuali autovalori inosservabili siano tutti nulli, ovvero nel caso in cui il sistema sia ricostruibile. Esempio 8.1 In Scilab, per sintetizzare L si usa la stessa funzione impiegata per l allocazione degli autovalori (si effettua infatti una allocazione degli autovalori sul sistema duale). L = ppol(a,c,p) dove P è il vettore degli autovalori desiderati dell osservatore (notare la trasposizione ed il cambio di segno rispetto alla formula di allocazione degli autovalori per il controllo).

99 Proprietà struturali e stabilità Definizione 8.4 (Stabilità interna). Un sistema Σ è detto internamente stabile quando tutte le sue variabili (ovvero lo stato del sistema) hanno evoluzione asintoticamente stabile. Il sistema è quindi internamente stabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno modulo minore di 1. Ciò significa che la risposta libera nello stato è convergente ed implica inoltre che la risposta forzata nello stato a qualunque segnale limitato sia limitata (infatti i poli della funzione di trasferimento sono anche autovalori del sistema). Definizione 8.5 (Stabilità esterna (o ILUL)). Il sistema è detto esternamente (o ILUL) stabile se l evoluzione dell uscita in corrispondenza ad ingressi limitati è limitata. Come noto, un sistema è ILUL stabile se e solo se la funzione di trasferimento ha tutti poli con modulo minore di 1. Abbiamo osservato che la funzione di trasferimento G(z) di un sistema contiene come poli tutti e soli gli autovalori raggiungibili e osservabili della matrice A di una sua rappresentazione di stato. Da questa proprietà derivano le seguenti relazioni tra stabilità interna ed ILUL. Se il sistema è completamente raggiungibile e osservabile, allora non ci sono cancellazioni polozero nella funzione di trasferimento e dunque la stabilità interna è equivalente alla stabilità ILUL, perché in G(z) compaiono come poli tutti gli autovalori di A. Se il sistema è ILUL stabile ma non è raggiungibile e osservabile, allora vi sono alcuni autovalori della dinamica dello stato (quelli non raggiungibili e/o non osservabili) che non compaiono nella funzione di trasferimento. In questo caso il sistema è internamente stabile se e solo se gli autovalori irraggiungibili e quelli inosservabili sono asintoticamente stabili (a modulo minore di 1). Se questo non accade, ci sono cancellazioni polo-zero instabili nella funzione di trasferimento. Osservazione 8.7 La nozione di stabilità interna enunciata in questo contesto è coerente con quella data per i sistemi interconnessi in rappresentazione ingresso/uscita. In un sistema interconnesso che sia ILUL stabile ma non non internamente stabile, infatti, esistono funzioni di trasferimento fra opportune coppie di segnali di ingresso e di uscita che presentano poli instabili, mentre questi poli non compaiono in altre funzioni di trasferimento. I modi instabili nascosti devono necessariamente far parte di una rappresentazione in variabili di stato che descriva il sistema complessivo; tali modi risultano raggiungibili e osservabili se si considerano come ingresso ed uscita del sistema i segnali legati dalle funzioni di trasferimento instabili, mentre risultano non raggiungibili o non osservabili altrimenti. 8.4 Sintesi del regolatore (compensatore dinamico) Si consideri adesso il problema di regolare il sistema attraverso una retroazione statica delle variabili di stato che non siano misurate ma stimate attraverso un osservatore asintotico (figura 8.5). Si consideri quindi la legge di controllo u k = F ˆx k + v k (8.41) dove ˆx k è lo stato dell osservatore. Alla dinamica del sistema ad anello chiuso risultante contribuiscono sia la dinamica del sistema che quella dell osservatore. Le equazioni di stato che descrivono il sistema complessivo (impianto più osservatore) sono date da x k+1 = Ax k + Bu k ˆx k+1 = Aˆx k + Bu k + L(y k Cˆx k ) u k = F ˆx k + v k y k = Cx k (8.42) Impiegando la variabile errore di stima x k = x k ˆx k al posto di ˆx k nelle (8.42) si ottiene la rappresentazione equivalente x k+1 = (A + BF)x k BF x k + Bv k x k+1 = (A LC) x k (8.43) y k = Cx k

100 94 x k+1 v k u k x k B z 1 C y k A P d L _ B ˆx k+1 z 1 ˆx k C ŷ k A Osservatore F Figura 8.5: Regolatore con retroazione dallo stato stimato (compensatore dinamico)

101 95 Introducendo lo stato esteso ξ k = [x k x k ] il sistema complessivo ad anello chiuso si scrive come [ ] [ ] A + BF BF B ξ k+1 = ξ A LC k + v k y k = [ C ] (8.44) ξ k Principio di separazione Data la struttura a blocchi della matrice di evoluzione del sistema complessivo ad anello chiuso in (8.44), risulta chiaro che è possibile assegnare i suoi autovalori allocando separatamente quelli di A + BF e quelli di A LC, ovvero progettando separatamente l osservatore ed il regolatore in retroazione statica dallo stato. Si osservi a tale proposito che il guadagno F non influenza l evoluzione dell errore di stima x k, che è libera con matrice di aggiornamento A LC. La funzione di trasferimento ad anello chiuso W(z) = Y (z)/v (z) risulta W(z) = [ C ] [ zi (A + BF) BF zi (A LC) = C[zI (A + BF)] 1 B ] 1 [ B ] (8.45) pertanto il guadagno L dell osservatore non influenza i poli di W(z) che invece sono influenzati solo dal guadagno F. Solo gli autovalori di A + BF compaiono infatti come poli in W(z) (se sono raggiungibili e osservabili). Si osservi che le equazioni di stato in (8.44) risultano in decomposizione canonica di raggiungibilità, dove il sottosistema raggiungibile è dato dalla dinamica di x k (con gli autovalori di A+BF) mentre il sottosistema non raggiungibile è dato dalla dinamica di x k (con gli autovalori di A LC). La funzione di trasferimento W(z) dipende quindi naturalmente solo da F, ma descrive solo il comportamento ingresso-uscita del sistema, non la sua risposta libera. La matrice L influisce invece (insieme a F) sul comportamento in evoluzione libera del sistema, sia nello stato che nell uscita. Si osservi infatti che la risposta libera nell uscita risulta y l k = [ C ] [ A + BF BF A LC ] k ξ (8.46) Si verifica facilmente che nell espressione di yk l per k 2 compare L. I modi di A LC influiscono quindi sulla parte di transitorio del sistema dovuto alla risposta libera. Affinché questo transitorio si esaurisca rapidamente, può essere conveniente scegliere L in modo che le costanti di tempo dei modi di A LC siano molto più rapide di quelle che caratterizzano il transitorio della risposta forzata (che dipendono invece dai modi di A + BF). L osservatore può essere ad esempio deadbeat, cioè con tutti gli autovalori di A LC in z = ) Compensatore dinamico deadbeat Se (A,B) è controllabile e (A,C) è ricostruibile, allora è possibile determinare F ed L in modo da allocare in z = sia gli autovalori di A+BF che quelli di A LC. Tale scelta comporta che la risposta forzata al gradino vada a regime in al più n passi, infatti la funzione di trasferimento W(z) viene ad essere di ordine al più n con tutti poli in zero. Per quanto riguarda la risposta libera, si tenga presente che il sistema complessivo ha ordine 2n. Pertanto, se tutti i suoi autovalori vengono allocati in z =, la risposta libera in generale tende a zero in 2n passi.

102 Capitolo 9 Cenni di controllo ottimo Sommario. In questo capitolo si illustra nelle linee generali la sintesi ottima di controllori in retroazione dallo stato per sistemi lineari con obiettivo quadratico (regolatore LQ). Vengono inoltre analizzate le condizioni sotto le quali tale regolatore stabilizza internamente il sistema ad anello chiuso. 9.1 Introduzione I metodi classici di sintesi finora analizzati si basano su l assegnazione dei poli dominanti o degli autovalori sulla base di proprietà temporali della risposta libera o forzata del sistema, l impostazione della risposta in frequenza sulla base di relazioni empiriche con la risposta forzata (sintesi per tentativi), criteri empirici (taratura dei regolatori industriali standard PID). Alcuni metodi moderni invece si basano sulla caratterizzazione delle specifiche in termini di norme di segnali. Tali quantità soddisfano le proprietà standard di norma e sono di solito definite come l integrale di una funzione positiva del segnale in questione. In particolare, come noto, la norma quadratica di un segnale a tempo discreto u 2 2 = u 2 k (9.1) è legata all energia del segnale stesso. Le tecniche di controllo ottimo sono basate sul progetto della legge di controllo in modo da rendere minimo (o massimo) un opportuno funzionale detto indice di costo (o di prestazione). L indice di costo è di solito definito in termini di norme di segnali, e tiene tipicamente conto della necessità di soddisfare obiettivi contrastanti tra loro, ciascuno dei quali viene pesato in maniera opportuna nel funzionale da ottimizzare. Il progetto del controllo secondo queste tecniche consiste quindi in un problema di ottimizzazione, in cui i vincoli sono costituiti dalla dinamica dell impianto da controllare. L incognita è rappresentata dalla sequenza di ingressi da applicare in un dato intervallo di tempo, eventualmente infinito. La soluzione di alcuni problemi standard si presenta sotto forma di legge di controllo in retroazione, dinamica o statica. Si consideri un sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto 1 k= { xk+1 = Ax k + Bu k ; x R n y k = Cx k (9.2) Assegnata una condizione iniziale x ed un orizzonte temporale,1,...,k, si desidera determinare la sequenza d ingresso U K = [u K 1 u K 2... u ] (9.3) che applicata al sistema genera un evoluzione tale da rendere minimo un opportuno indice di costo J(U K,x ) (9.4) Si osservi che il valore dell indice, fissato l orizzonte temporale K, dipende solo dalla condizione iniziale e dalla sequenza d ingresso, poichè l evoluzione del sistema è deterministica. 1 Il sistema può chiaramente rappresentare il modello discretizzato di un impianto a tempo continuo

103 97 Esempio 9.1 Assegnato uno stato iniziale x ed uno stato finale x, determinare la sequenza d ingresso U K che porta il sistema da x a x in K passi minimizzando l energia dell ingresso stesso (controllo a energia minima). Il problema dato può essere formulato come il seguente problema di ottimizzazione: min U K J(U K,x ) t.c. (9.5) dove x A K x = R K U K (9.6) J(U K,x ) = K 1 k= u 2 k (9.7) 9.2 Controllo ottimo lineare quadratico (LQ) su orizzonte temporale finito Definizione 9.1 Ricordiamo che una matrice quadrata M è detta definita positiva (M > ) [o, rispettivamente, semidefinita positiva (M )] se x Mx > [x Mx ] x R n (9.8) Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto, una condizione iniziale x ed un orizzonte temporale,1,...,k, il problema di controllo LQ su orizzonte temporale finito si formula nel seguente modo: determinare la sequenza di ingressi U K che minimizza l indice di costo J(U K,x ) = K 1 k= [x kqx k + u kru k ] + x KQ K x K (9.9) dove Q, R >, Q K. Relativamente a questo problema, si osservi che il funzionale di costo codifica due obiettivi contrastanti: far tendere lo stato x k a zero, penalizzandone la norma quadratica pesata x k Qx k, mantenere bassa l energia del segnale di comando, infatti il termine u k Ru k pesa l intensità (potenza) dell azione di controllo al generico istante, dunque la sua somma su tutto l orizzonte temporale rappresenta l energia del controllo stesso; infine, il termine x K Q Kx K pesa in modo separato lo scostamento dello stato finale x K dallo stato zero, determinando l esito dell azione di controllo, ed è quindi detto costo terminale. Le matrici Q, R, Q K determinano il peso relativo dei vari termini e quindi codificano le specifiche di progetto Soluzione del problema LQ La soluzione del problema LQ consiste, come detto, nella determinazione della sequenza di ingresso U K tale che, in corrispondenza di una data condizione iniziale x, il costo associato alla corrispondente evoluzione del sistema sia minimo, ovvero pari a K 1 V (x ) = min J(U K,x ) = min [x U K U K kqx k + u kru k ] + x KQ K x K (9.1) k= La strategia che segue per la soluzione del problema LQ trae il suo fondamento nel principio della programmazione dinamica (Bellman, 194). Si supponga inizialmente di determinare, per ogni possibile valore di x K 1, il valore dell ingresso u K 1 = u K 1 (x K 1) che permette di far evolvere il sistema da x K 1 a x K con costo minimo. Evidentemente, qualunque sia la legge di controllo ottima per portare lo stato da x ad x K, l ultimo passo di questa legge deve necessariamente essere costituito dall ingresso u K 1 (x K 1), poiché ogni altra scelta implica un costo più elevato per l ultimo passo e quindi più elevato complessivamente. L ingresso ottimo per l ultimo passo si calcola come la soluzione di [ V K 1 (x K 1 ) = min uk 1 x K 1 Qx K 1 + u K 1 Ru ] K 1 + x K P K x K = min uk 1 [x K 1 Qx K 1 + u K 1 Ru K 1 (9.11) +(Ax K 1 + Bu K 1 ) P K (Ax K 1 + Bu K 1 )]

104 98 dove si è posto P K = Q K. Minimizzando rispetto a u K 1 si ottiene il valore ottimo dell ingresso u K 1 = (R + B P K B) 1 B P K Ax K 1 (9.12) e sostituendo (9.12) nella (9.11) si ottiene il costo ottimo relativo all ultimo passo V K 1 (x K 1 ) = x K 1P K 1 x K 1 (9.13) dove P K 1 = Q A P K B(R + B P K B) 1 B P K A + A P K A. (9.14) Si supponga adesso di voler determinare la soluzione ottima per i due passi finali, per ogni possibile valore di x K 2. Poiché l ingresso ottimo necessario a compiere l ultimo passo è noto qualunque sia il valore di x K 1, il problema di progettare la strategia ottima in 2 passi si riduce a realizzare il minimo rispetto a u K 2 del funzionale costituito dal costo relativo al passo K 2 più il costo ottimo in un passo V K 1 (x K 1 ), dove x K 1 è lo stato in cui evolve il sistema applicando u K 2. Il costo ottimo per gli ultimi 2 passi è allora dato da V K 2 (x K 2 ) = min uk 2 [ x K 2 Qx K 2 + u K 2 Ru K 2 + V K 1 (x K 1 ) ] = min uk 2 [ x K 2 Qx K 2 + u K 2 Ru K 2 + x K 1 P K 1 x K 1 ] (9.15) Questa espressione del tutto analoga all espressione (9.11) di V K 1 (x K 1 ), a parte una traslazione indietro di un passo di tutti gli indici temporali. Pertanto, la soluzione u K 2 ha la stessa forma di u K 1 in (9.12), solo traslata indietro di un passo. Iterando il ragionamento per un orizzonte temporale di j passi, al generico passo k = K j l ingresso ottimo vale quindi dove la successione P k soddisfa u k = (R + B P k+1 B) 1 B P k+1 Ax k (9.16) P k = Q A P k+1 B(R + B P k+1 B) 1 B P k+1 A + A P k+1 A (9.17) La successione di matrici (9.17) è nota come ricorsione di Riccati. Le precedenti osservazioni suggeriscono allora il seguente algoritmo per la soluzione del problema di controllo ottimo LQ su un orizzonte temporale di K passi K 1 min J(U K,x ) = min [x U K U K kqx k + u kru k ] + x KQ K x K (9.18) k= 1. Si inizializza P K = Q K (9.19) 2. Per j = K 1,K 2,..., si calcola P j = Q A P j+1 B(R + B P j+1 B) 1 B P j+1 A + A P j+1 A (9.2) F j = (R + B P j+1 B) 1 B P j+1 A (9.21) 3. L ingresso ottimo al passo k è dato da u k = F k x k (9.22) Si osservi che la legge di controllo ottimo (9.22) è una retroazione tempo variante dallo stato.

105 Controllo LQ su orizzonte infinito Nei casi pratici, l obiettivo del controllo consiste nel far raggiungere al sistema una condizione di regime dopo un transitorio rispondente a determinate caratteristiche. Rispetto a questo problema, la soluzione ottima in senso LQ su orizzonte finito non è significativa. Sarebbe opportuno determinare una legge di controllo, se possibile in forma di retroazione statica dallo stato, che minimizzi il costo necessario a raggiungere la condizione di regime, quindi su un orizzonte temporale in generale infinito. Affinché questo possa essere ottenuto, è necessario che il costo non diverga quando l orizzonte temporale tende all infinito. Infine, la legge di controllo ottima deve essere tale da stabilizzare asintoticamente (internamente) il sistema. Il problema di controllo LQ su orizzonte infinito può essere formulato come segue: V (x ) = min U dove U è la sequenza infinita di ingressi J(U,x ) = min U [x kqx k + u kru k ] (9.23) k= U = [...,u 1,u ] (9.24) La deduzione della soluzione di questo problema proposta in seguito è intuitiva e non ha alcuna pretesa di essere matematicamente rigorosa. Si supponga di voler risolvere il problema su un orizzonte temporale,...,k con K arbitrariamente grande, idealmente infinito. In questo caso, il costo terminale perde di significato e può essere assunto nullo. Si supponga pertanto di inizializzare la ricorsione di Riccati a P K = Q K =. Se si suppone che la ricorsione di Riccati converga a una matrice P per k, allora si ha P k P se k << K. Se si assume K tendente all infinito, si tende allora ad avere P k = P per ogni k finito, in particolare P k+1 = P k = P. Dunque la ricorsione di Riccati (9.17) diviene l equazione algebrica P = Q A P B(R + B P B) 1 B P A + A P A (9.25) detta equazione algebrica di Riccati (ARE). L ingresso ottimo (9.16) diviene allora Sussistono in effetti i seguenti risultati, che diamo senza dimostrazione. u k = F x k (9.26) Teorema 9.1 Sia la coppia (A,B) stabilizzabile. Allora la ricorsione di Riccati P K = P k = Q A P k+1 B(R + B P k+1 B) 1 B P k+1 A + A P k+1 A (9.27) converge a una matrice P simmetrica e semidefinita positiva. Tale matrice è una delle soluzioni della equazione algebrica di Riccati (ARE) P = Q A P B(R + B P B) 1 B P A + A P A (9.28) Inoltre la ARE ammette almeno una soluzione simmetrica e semidefinita positiva. Teorema 9.2 Sia (A,B) stabilizzabile e sia P la soluzione simmetrica e semidefinita positiva di ARE che rappresenta il limite per k della ricorsione di Riccati. Allora la legge di controllo in retroazione dallo stato u k = F x k (9.29) dove rende minimo il costo su orizzonte infinito J(U,x ). F = (R + B P B) 1 B P A (9.3)

106 Controllo LQ e stabilizzazione È noto che ogni matrice simmetrica definita positiva è fattorizzabile nel prodotto di due matrici l una la trasposta dell altra. Si supponga di fattorizzare la matrice di peso Q come Ciò equivale a considerare il costo Q = C C (9.31) [ J(U,x ) = y 2 k + u ] kru k k= (9.32) dove y k = Cx k (9.33) La formulazione (9.32) del funzionale di costo LQ può essere interpretata come la somma pesata dell energia del segnale di ingresso e dell energia del segnale di uscita del sistema, allorché l uscita venga definita come in (9.33). Il seguente risultato fornisce le condizioni affinché la legge di controllo ottimo LQ stabilizzi internamente il sistema. Teorema 9.3 Sia (A,B) stabilizzabile e Q = C C. Sia P la soluzione di ARE associata alla legge di controllo ottimo (limite della ricorsione). Tale legge di controllo stabilizza asintoticamente il sistema se e solo se la coppia (A,C) è rivelabile. Dimostrazione. (Cenno) Se la legge di controllo LQ esiste ed è ottima, ovvero rende minimo il funzionale J(U,x ), evidentemente la serie che lo definisce deve convergere. Ciò può avvenire solo se y k e u k sono entrambi convergenti a zero. Se il sistema è completamente osservabile, è noto che se l uscita tende a zero allora devono tendere a zero anche tutte le componenti dello stato x k. Se al contrario il sistema non è osservabile, il fatto che l uscita tenda a zero non implica necessariamente che anche lo stato tenda a zero, in particolare le sue componenti inosservabili possono anche divergere. Se tuttavia il sistema è rivelabile, le componenti inosservabili sono asintoticamente stabili, e dunque la convergenza a zero dell uscita implica la convergenza a zero di tutte le componenti dello stato e quindi la stabilità interna. Il seguente risultato fornisce le condizioni di esistenza di soluzioni stabilizzanti dell equazione algebrica di Riccati e ne caratterizza l ottimalità in senso LQ. Teorema 9.4 Sia (A,B) stabilizzabile e Q = C C, allora: 1. La ARE ammette al più una soluzione simmetrica semidefinita positiva P s a cui corrisponde una legge di controllo stabilizzante [ ] zi A 2. Tale soluzione esiste se e solo se la matrice ha rango pieno per ogni z complesso di C modulo unitario 3. Se esiste la soluzione P s, essa può essere ottenuta come limite per k della ricorsione di Riccati, ed è quindi coincidente con la soluzione ottima P se (A,C) è rivelabile Inseguimento ottimo in senso LQ Si consideri il problema di determinare una legge di controllo (le matrici F e K dello schema in fig. 9.1) per inseguire a regime un riferimento costante r k = r minimizzando [ỹ2 J(U,x ) = k + ρũ 2 k] k= (9.34) dove ỹ k = y k r è l errore di inseguimento e ũ k = u k u è lo scostamento del segnale di comando dal suo valore di regime.

107 11 r k u k x k+1 x k K B z 1 C y k A F Figura 9.1: Schema per inseguimento di un riferimento costante Osservazione 9.1 Si osservi che u autovalori in z = 1). è nullo se l impianto contiene un azione integrale (i.e., A ha L evoluzione degli scostamenti di x k, y k e u k dai rispettivi valori di regime è descritta dalle equazioni x k+1 = A x k + Bũ k ỹ k = C x k (9.35) Dunque il problema di inseguimento in senso LQ è un problema LQ standard per il sistema alle variazioni, con i pesi Q = C C, R = ρ. L ingresso ottimo alle variazioni vale quindi Nello schema di controllo risulta da cui ũ k = F x k (9.36) u k = Fx k + Kr (9.37) ũ k = F x k (9.38) e dunque l ingresso ottimo si ottiene con lo schema visto ponendo F = F dove F risolve il problema LQ per (A,B) con i pesi dati. Il valore di K è scelto al solito per rendere unitario il guadagno in continua. La legge di controllo da applicare è definita allora da F = F ; K = 1 C(I (A + BF )) 1 B (9.39) Si osservi che se l impianto ha autovalori in z = 1, allora u k = ũ k, per cui il costo pesa effettivamente l energia del comando. Osservazione 9.2 È possibile utilizzare un criterio di tipo LQ anche per progettare i parametri F e K dello schema di controllo con azione integrale, risolvendo il problema per il sistema aumentato (con una matrice Q di ordine n + 1). Nel costo corrispondente, oltre alle variabili di stato del sistema, viene pesata anche la variabile aggiuntiva q k.

108 Bibliografia [1] K. J. Astrom and B. Wittenmark. Computer-controlled systems: theory and design. Prentice Hall, [2] P. Bolzern, R. Scattolini, and N. Schiavoni. Fondamenti di controlli automatici. McGraw-Hill, [3] C. Bonivento, C. Melchiorri, and R. Zanasi. Sistemi di controllo digitale. Ed. Progetto Leonardo, [4] S. Chiaverini, F. Caccavale, L. Villani, and L. Sciavicco. Fondamenti di sistemi dinamici. McGraw- Hill, 23. [5] M. L. Corradini and G. Orlando. Controllo digitale di sistemi dinamici. Franco Angeli, 25. [6] E. Fornasini and G. Marchesini. Teoria dei sistemi. Ed. Libreria Progetto, Padova, 199. [7] G. Franklin, D. Powell, and M. Workman. Digital control of dynamic systems. Addison Wesley Longman, [8] A. Giua and C. Seatzu. Analisi dei sistemi dinamici. Springer, 26. [9] G. Guardabassi. Elementi di controllo digitale. Ed. Città studi, 199.