Predizione stocastica di un campo di deformazioni. Ludovico Biagi, Politecnico di Milano 7 dicembre 2010

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1 Predizione stocastica di un campo di deformazioni Ludovico Biagi, Politecnico di Milano 7 dicembre 2010

2 La deformazione Le reti geodetiche Le serie temporali di coordinate I modelli nel tempo di singola stazione Velocità e spostamenti di singola stazione I moti comuni di una rete: la traslazione I moti comuni di una rete: traslazione e rotazione Il campo degli spostamenti Interpolazione spaziale e estrapolazione tridimensionale La deformazione in 2D Approssimazione infinitesimale

3 Analisi completa mediante decomposizioni I parametri invarianti: taglio e dilatazioni, autovalori e autovettori rappresentazione grafica, relazioni fondamentali

4 La deformazione di un solido Horizontal deformation on ellipsoidal surface t t Actual deformation is 3-dimensional

5 Le reti geodetiche: alla scala globale International GNSS Service: 400 Stazioni Permanenti

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8 Le reti geodetiche: alla scala locale Un esempio di rete locale; vettori di spostamento 2005 di una sottorete della rete permanente giapponese: 1400 SP

9 Le reti geodetiche: alla scala (molto) locale controllo frane, controllo strutture,... La rete non permanente in Umbria e Marche per il monitoraggio postsismico dell evento del punti misurati in campagne periodiche dal 1999.

10 Le reti geodetiche: alla scala (molto) locale controllo frane, controllo strutture,...

11 Dalle misure alle coordinate di singola epoca Il rilievo di una rete geodetica fornisce osservazioni relative a una singola epoca 2 y1() t σ11() t σ12() t... σ1m () t 2 y2() t σ21() t σ22() t... σ2m () t 2 y() t =, C() t = = σ 0 () t Q () t ym () t σm1() t σm2() t... σmm() t Si vogliono determinare le coordinate dei punti della rete: N( Pi, t) ϕ( Pi, t) X( Pi, t) N( Pi, t) x ( Pt i, ) [ hpt ( i, )],, EPt ( i, ) λ( Pt i, ) YPt (, ) i EPt ( i, ) hpt ( i, ) hpt ( i, ) ZPt ( i, )

12 La compensazione ai Minimi Quadrati delle osservazioni fornisce le coordinate e le covarianze dei punti della rete x( P, t), x( P, t),... x( P, t) 1 2 N x i () t Cx ( 1( t), x1( t)),... Cx ( 1( t), x2( t)), Cx ( 2( t), x2( t)),... C() t = Cx ( 1( t), x3( t)), Cx ( 2( t), x3( t)), Cx ( 3( t), x3( t)),...,... Cx ( 1( t), xn( t)), Cx ( 2( t), xn( t)), Cx ( 2( t), xn( t)),..., Cx ( N( t), xn( t)) { C } ij t C() t = () i, j= 1,..., N T, C ( t) = C ( t) ij ji

13 Le serie temporali di coordinate: il caso continuo

14 Le serie temporali di coordinate: le campagne discrete nel tempo

15 Le quantità stimabili dalle serie temporali 1. Spostamenti di singoli punti, eventuale stima di discontinuità. 2. Moti non deformativi di rete, ovvero stime di spostamenti comuni a un insieme di punti. 3. Deformazioni

16 I modelli nel tempo di singola stazione I dati in ingresso: serie temporali di coordinate di tutti i punti monitorati di una rete: x ( t ), x ( t ),..., x ( t ), x ( t ),..., x ( t ) N N T Covarianze delle stime di rete per ogni epoca: Cxx ( t 1 1 i) Cxx ( t 1 2 i)... Cxx ( t ) 1 N i T C ( t ) ( )... ( ) 1 2 i t 2 2 i t 2 N i ( t1),..., ( tt), ( ti) xx Cxx Cxx C xx Cxx Cxx = T T Cx ( t ) ( )... ( ) Nx1 i Cx t Nx2 i Cx t NxN i Usualmente le serie dei punti vengono analizzate singolarmente.

17 I modelli nel tempo di singola stazione Nel caso continuo i prodotti di elaborazione sono la stima di modelli descrittivi del moto del singolo punto: x () t = f( a,) t i i ove, tipicamente: f è una funzione scelta a priori, a è un vettore di parametri da stimare per ogni punto. i a i tipicamente viene stimato mediante Minimi Quadrati: aˆ i ; oltre ad aˆ i MQ forniscono le stime della covarianza: C. i aa

18 Analisi del caso continuo: approccio completo 1. Confronto (funzioni di decisione) fra differenti modelli descrittivi e adozione del modello che massimizza la funzione di decisione: d( f ( t), C ) d( f ( t), C )? j jj k kk 2. Identificazione di discontinuità nel tempo x f = (), t t t' 1 () t, Pi f2(), t t > t' f f, 1 2

19 In pratica: Interpolazione lineare Si adotta il modello lineare: x () t = x + tv i 0i i Mediante MQ si stimano coordinate iniziali, velocità e relative covarianze x, v, C, C, C 0 v. 0i i 0 0 vv i i i i i i Interpolazione lineare

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21 Le discontinuità Serie di una SP giapponese interessata da terremoto La singola interpolazione lineare non ha senso: il modello è clamorosamente sbagliato.

22 Esistono anche discontinuità strumentali... (cambio di antenna in Como nella GPSW 1352)

23 ...e discontinuità dovute al cambio di sistema di riferimento. (passaggio da ITRF2000 a ITRF2005 nella GPSW 1399)

24 Le discontinuità In caso di dubbi di discontinuità ad un'epoca si introduce e si stima il modello t ' x i () t x0i + tvi, t t' = x1i + ( t t') v1 i = x0i + t' v1 i + δxi + ( t t') vi + ( t t') δvi, t > t' Si può poi sottoporre a verifica di significatività δx, δv i i

25 IL + discontinuità

26 Modelli più completi: IL + presenza di fenomeni periodici

27 I modelli nel tempo di singola stazione Nel caso discreto nel tempo, si stimano gli spostamenti fra campagne successive: δx ( t, t ) = x ( t ) x ( t ) i j k i k i j Si stimano anche le covarianze degli spostamenti (HP: epoche indipendenti) C C C δ = x x + x x jk k k j j Nota: anche nel caso continuo, dal modello nel tempo si possono stimare spostamenti fra due epoche qualsivoglia.

28 I moti non deformativi di una rete Definiti i modelli di singola stazione, per una rete di punti si possono stimare i moti non deformativi. casi 1D, 2D e 3D: concettualmente il problema è identico, formalmente bisogna scindere i diversi casi. Definiamo x() t x x 1 () t () t 2 =... xn () t

29 Una deformazione di un solido è un cambio di forma: alterazione degli angoli reciproci fra i vertici della rete. Horizontal deformation on ellipsoidal surface t t Actual deformation is 3-dimensional Convenzionalmente anche cambio del volume della rete.

30 Un banale esempio 2D di deformazione

31 Analiticamente un moto di rete è non deformativo quando: Caso 1D (altimetria), si ha una traslazione nel tempo comune a tutti i punti h1() t h + h() t =... h( t) = h0 + h( t) i h () t h + h() t N 0N

32 Casi 2D & 3D, si ha una rototraslazione nel tempo comune a tutti i punti R() t t() t x1() t = t() t + R() t x01 0 R() t... 0 t() t... x( t) = x xn () t = t() t + R() t x0n R( t) t( t) ove (caso 3D, vedi dispense Monitoraggio geodetico) tx() t rx() t t() t = ty() t, R() t = R( r()), t r = ry() t tz() t rz() t

33 Quindi, prima dell analisi di deformazione è opportuno stimare e analizzare i moti non deformativi della rete. L analisi dei risultati verifica di significatività dei moti di rete stimati: ht ( ) 0?, t( t) 0?, r( t) 0? eventuale stima di modelli descrittivi dei moti di rete, eventuale verifica di significatività dei parametri dei modelli descrittivi.

34 Original displacements Tisserand displacements

35 L analisi di deformazione fra due epoche Dati gli spostamenti e le relative covarianze per ogni punto δx1 1 2 δx δx 1 2 C C C δ ( t, t ), ( t, t ),..., (, );,,..., N t t δ1δ1 δ1δ2 δ N N Si cerca una funzione modello che descriva spazialmente gli spostamenti al meglio nelle coordinate xi in ogni punto P i della rete, ovvero δx ( t, t ) u( x, t, t ) δx ( t, t ), i = 1,2,..., N i i 1 2

36 Primo excursus di due: da 3D a 2D Horizontal deformation on ellipsoidal surface t t Actual deformation is 3-dimensional

37 t t But we can observe only on 2-dimensional earth surface! t t Interpolation Extrapolation Why not 3D deformation? 3D deformation: interpolation and extrapolation. Extrapolation from surface geodetic data is not reliable if no additional geophysical data are available.

38 Secondo excursus di due Interpolazione esatta: dato un insieme di osservazioni si stima una funzione che passa per esse. Interpolazione con filtraggio: dato un insieme di osservazioni si stima una funzione che le "approssima"

39 Dato il modello degli spostamenti intercorsi fra due epoche ux (,, t t ) 1 2 se ne può stimare lo Jacobiano ( ) Jx (, t1, t2) = du x ( t1, t2) dx ovvero Jx (, t, t ) 1 2 ( δx1( t1, t2)) ( δx1( t1, t2)) x1 x 2 = ( δx2( t1, t2)) ( δx2( t1, t2)) x1 x 2

40 Alcune corrispondenze La funzione degli spostamenti x( t ) x( t ) = δx( x, t, t ) u ( x, t, t ) La posizione alla seconda epoca, come funzione della posizione alla prima epoca x( t ) = x( t ) + δx( t, t ) x( t ) + u( x, t, t ) = f( x, t, t )

41 Semplificazione simbolica u( xt,, t) u( x), f( xt,, t) f( x) Relazione fra gli Jacobiani Fx ( ) = dfx ( )/ dx Fx ( ) = I+ dux ( )/ dx= I+ Jx) (

42 Tensore di Cauchy delle deformazioni T T C= F F = U ΛU cos( θ ) sin( θ ) T T U = R( θ ) =, = = sin( θ) cos( θ) U U UU I Λ 2 λ1 0 = 2 0 λ2 Approssimazione infinitesimale classica T T T T T C= F F = ( I+ J) ( I+ J) = ( I+ J J+ J + J) ( I+ J + J)

43 Il più semplice esempio 2D: campo locale lineare Siano date sue epoche t1, t2 localmente si adotta il modello lineare degli spostamenti in Est e Nord δ E( ENt,, 1, t2) = a00( t1, t2) + a10( t1, t2) Et ( 1) + a01( t1, t2) Nt ( 1), δ N( E, N, t, t ) = b ( t, t ) + b ( t, t ) E( t ) + b ( t, t ) N( t ) E( E, N, t ) = E( t ) + a ( t, t ) + a ( t, t ) E( t ) + a ( t, t ) N( t ) N( E, N, t ) = N( t ) + b ( t, t ) + b ( t, t ) E( t ) + b ( t, t ) N( t )

44 omettiamo gli indici di epoca ux ( ) δ EEN (, ) a00 a10 a01 E = δ N( E, N) = + b b b N a a Jx ( ) = b10 b 01 EEN (, ) E a00 a10 a01 E fx ( ) = N( E, N) = N + + b 00 b10 b 01 N, 1 0 a10 a01 Fx ( ) = b10 b 01

45 Prime generalità: decomposizioni semplici Fx = Ix

46 Fx = R( θ ) x, θ = 30

47 2 0 Fx = Λx, Λ = 0 0.5

48 Fx 1 γ = Γx, Γ =, γ =

49 Una deformazione completa e le sue interpretazioni: autovalori e rotazioni oppure shear, scala e rotazioni.

50 Autovalori e rotazioni Fx = R( θ ) x, θ = 30

51 2 0 Fx = ΛR( θ ) x, Λ = 0 0.5

52 Fx = R( ϕ) ΛR( θ) x, ϕ = 20

53 Fx = R( φ) x, φ = 33.43

54 Fx = ΓR(), φ x γ = 1.5

55 Fx = R( φ) ΓR( φ) x

56 Fx = sr( φ ) ΓR( φ) x, s= 1

57 Fx = sr( ψ) R( φ) ΓR( φ) x, ψ = 26.87

58 Derivazione finale dei parametri di deformazione λ λ 2 2 C11 + C22 C11 C = + + C C11 + C22 C11 C = + C12 tan 2θ = P C12 ( C C ), s = λ λ 1 2 C + C λ + γ λ λ = = = λ s λλ 1 2 λ1λ 2