Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria Ing. Informatica e Automatica Ing. delle Telecomunicazioni Teledidattica

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1 Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria Ing. Informatica e Automatica Ing. delle Telecomunicazioni Teledidattica ANALISI NUMERICA TEMA B (Prof. A. M. Perdon) Ancona, giugno 006 PARTE II - SOLUZIONE Si chiede allo studente di risolvere i problemi seguenti e di dare la risposta più completa possibile.. Risolvere, utilizzando la decomposizione LU il sistema Ax=b, con A = Scrivere tutti i passaggi b = utilizzando la decomposizione LU con permutazione tale che PA=L U. si scrive la matrice di partenza: i Si calcolano le matrici L, U, P: i L= Si calcola la matrice U: i U= Si calcola la matrice di permutazione P: i0 0 P= Si calcola per sostituzione all avanti il vettore dall equazione L=Pb, ottenendo Il vettore (scrivere i passaggi) /7

2 Si calcola per sostituzione all indietro il vettore x dall equazione Ux=, otteniamo Vettore x: (scrivere i passaggi) x =.4 x x =.5 = 0.5 /7

3 . Data la matrice A A = determinare l autovalore di modulo massimo ed il corrispondente autovettore con il metodo delle potenze. Fare almeno 5 passi (λ=., v=.). Scegliendo come vettore arbitrario di partenza z 0 = implementando il metodo delle potenze dirette z 0 = vettore arbitrario K=0,,.. α = z σ z = z α = A + T = z+ si ottengono i seguenti valori per =0,...,5 /7

4 z + σ i0.5 i i i i i i i i i i i L autovalore di modulo minimo di A è λ maxa =σ 4 = Il cui autovettore corrispondente è paria a i v.57 λmin = /7

5 . Data la funzione x f(x) Determinare il polinomio di grado due che meglio approssima f(x), nel senso dei minimi quadrati. Scrivere tutti i passaggi. Il grafico dei punti da elaborare è il seguente Per determinare la parabola (polinomio di grado due del tipo a 0 x + ax+ a ) che approssima f(x) nel senso dei minimi quadrati bisogna determinare la soluzione ai minimi quadrati del sistema sovradeterminato Ax=b in cui 0 ( x ) ( ) ( ) x x 0 ( x) ( x) ( x) 0 ( x) ( x) ( x) ( ) ( ) ( ) 0 x x x A = 4 4 in questo caso risulta: 4 f ( x) f ( x ) b = x i = valori di x su cui si calcolano f(x i ) f ( x ) f ( x4 ) A= b= i i Ricordando che un sistema sovradeterminato Ax=b si può risolvere o con le equazioni normali A t Ax=A t b o con la decomposizione QR del tipo Rx=Q t b 5/7

6 a) metodo delle equazioni normali: i A t A= i.6 A t b= Risolvendo il sistema A t Ax=A t b rispetto a x si ottiene: x =a = -.84 x =a = 6.50 x =a 0 = b) metodo QR: i Q= R= i i Q t b= Risolvendo il sistema Rx=Q t b rispetto a x si ottiene: x =a = -.84 x =a = 6.50 x =a 0 = che coincide esattamente con il risultato ottenuto col metodo precedente pertanto risulta p(z)=a 0 x +a x+a =-0.586x +6.50x-.84 l interpolazione ai minimi quadrati dei punti della funzione da il seguente risultato /7

7 Facoltativo: Stimare f (.5) dove f è la funzione definita dalla seguente tabella : x f(x) Usando le differenze finite centrali si stima la derivata prima con accuratezza di ordine, ovvero f (x)=δf h (x) + a h + o(h 4 ) DIFFERENZE CENTRALI: x 0 =.5 h=0.6 per f(h)=f(0.6) f ( x+ h) f ( x h) f (4.) f (.9) δf h (,5) = = = h. per f(h)=f(.) f ( x+ h) f ( x h) f (4.7) f (.) δf h (,5) = = = (h).4 mediante estrapolazione di Richardson l errore che si commette approssimando f (x 0 ) con f ( h) f (h) δf h (x 0 ) è descritto dalla funzione dove p= ordine del metodo (p= per p l operatore alle differenze centrali). In tale caso la stima ottenuta per f (x 0 ) è f ( h) f (h) = p f (0.6) f (.) = Pertanto f '(.5) f ( h) f (h) f (0.6) f (.) f ( h) + = = p con almeno un decimale esatto 7/7