Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 9 Metodo di Eliminazione Gaussiana per sistemi lineari Siano A R n n una matrice quadrata non singolare (det(a) 0) e b R n un vettore assegnati, allora esiste un unico vettore x R n che risolve il sistema lineare Ax = b Per determinare x si può utilizzare il Metodo di Eliminazione Gaussiana, esso consiste nell eseguire n trasformazioni del sistema fino ad ottenerne uno equivalente A (n) x = b (n) in cui la matrice dei coefficienti A (n) è triangolare superiore. Questo sistema potrà essere risolto quindi per sostituzioni all indietro. A partire da A () = A e b () = b, al generico passo k si determinano la matrice A (k+) e il termine noto b (k+) da A (k) e b (k) attraverso le formule seguenti: i = k +,...ne j = k,...n m i,k = a (k) ik /a(k) kk a (k+) ij b (k+) i = a (k) ij m ik a (k) kj = b (k) i m ik b (k) k Si noti che il metodo così descritto richiede tutti gli elementi pivotali a (k) kk 0, per ovviare a questa limitazione piuttosto restrittiva si utilizza la tecnica del pivoting ovvero si effettuano scambi di righe e/o di colonne.

2 Nel caso di una matrice A generale non triangolare e non singolare l operatore \ di Matlab, calcola la soluzione del sistema con il metodo di eliminazione Gaussiana eventualmente combinato con pivoting parziale. >> x = A\b Esercizio Risolvere i seguenti sistemi lineari con il metodo di eliminazione di Gauss (operatore \) x = 4 x = /2 / /2 / /4 / /4 /5 x = x = 9 4 /2 /6 /2 Esercizio 2 (Matrici singolari) x = x = 0 0 Dopo aver calcolato determinante e rango della matrice del sistema e il rango della matrice orlata risolvere con \ i seguenti sistemi lineari, facendo molta attenzione ai messaggi d errore/warning. Nel secondo e terzo caso confrontare il valore del termine noto con quello del prodotto matrice-soluzione x =, x = 2, x =

3 FATTORIZZAZIONE LU Il metodo di Eliminazione Gaussiana( semplice senza pivoting) equivaleafattorizzarelamatriceanelprodottodiduematriciltriangolare inferiore ed U triangolare superiore t.c. A = LU. In particolare L ha elementi uguali ad sulla diagonale principale ed i moltiplicatori m ik sotto la diagonale, mentre U = A (n). Il metodo di Eliminazione Gaussiana(con pivoting parziale) equivale a fattorizzare la matrice permutata PA nel prodotto PA = LU, dove P è una opportuna matrice di permutazione che realizza gli scambi di righe. Il comando lu di Matlab calcola la fattorizzazione LU di una matrice o di una sua permutazione. Esempio. Si considerino le seguenti matrici: A = magic(4) + 40 * eye(4) e A 2 = Per ciascuna di esse: calcoliamo la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi >> [L,U,P]=lu(A) ad esempio per la matrice A. osserviamo che per entrambe le matrici A e A 2 la matrice di permutazione P è l identità. Questo significa che nel processo

4 di fattorizzazione LU non è stato effettuato il pivoting, infatti A è a dominanza diagonale stretta e A 2 è simmetrica definita positiva. perquantoappenaosservatovalea i = LU, i =,2. Scegliamo b = A i ones(n,) con n dimensione di A i, e consideriamo i due sistemi lineari A i x = b che avranno in tal modo soluzione esatta nota x = ones(n, ). Per risolvere ciascuno dei sistemi lineari assegnati a partire dai fattori L, U ottenuti con il comando Matlab lu sarà sufficiente risolvere in sequenza i due sistemi triangolari Ly = b Ux = y e quindi nel primo caso utilizzando il comando \. >> b=a*ones(4,); >> y=l\b; >> x=u\y Esercizio Data la matrice A = si calcoli l inversa A risolvendo i sistemi lineari Ax = e i, dove e i i =,..n denotano i vettori della base canonica di R n. La soluzione dell i-esimo sistema Ax = e i, fornisce infatti la colonna i-esima della matrice A. Poichè la matrice dei coefficienti di ciascun sistema è sempre A si calcoli una sola volta la fattorizzazione LU per ridurre i costi computazionali., 4

5 Esempio 2 (pivoting). Si consideri la seguente matrice: A = calcoliamo la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi >> [L,U,P]=lu(A) osserviamo che la matrice di permutazione P NON è l identità, il che significa che è stato effettuato il pivoting. Pertanto abbiamo P A = LU. a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu scriviamo e risolviamo con il comando \ i due sistemi triangolari che devono essere risolti per calcolare la soluzione del sistema lineare Ax = b (prendendo b = A ones(n,) con n dimensione di A, in modo che la soluzione esatta sia x = ones(n, )). Osserviamo che poichè P A = LU, ci conviene risolvere il sistema equivalente PAx = P b e la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta quindi la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari in Matlab: >> b=a*ones(,); >> y=l\(p*b); >> x=u\y Ly = Pb Ux = y 5

6 Esercizio 4 Si consideri il sistema lineare Ax = b con ( ) ( ) 0 A = b = esso ha come soluzione esatta il vettore x = (,) T. Si risolva il sistema utilizzando il metodo di Gauss con e senza pivoting parziale si confrontino i risultati ottenuti valutando gli errori commessi in norma infinito. Si osservi che il comando \ effettua il pivoting, pertanto per realizzare l eliminazione gaussiana semplice procediamo passo passo: m=-2/e-5 A(2,:)=A(2,:)-m*A(,:); b(2)=b(2)-m*b(); x=a\b Malgrado il sistema sia ben condizionato A A la soluzione ottenuta senza pivoting non è molto accurata, l algoritmo di Gauss è instabile, l uso del pivoting ha invece un effetto stabilizzante, evidenziato dalla migliore accuratezza della soluzione. 6

7 IL FENOMENO DEL FILL-IN Per ognuna delle seguenti matrici calcolare la fattorizzazione LU, controllare l esecuzione o meno del pivoting giustificando il risultato e verificare il fenomeno del fill-in mediante il comando spy applicato ad L e U: A 0 0 = B 0 0 = C 0 0 = D 7 7 = ed esempio >> A=4*diag(ones(0,))-diag(ones(9,),)-diag(ones(9,),-) >> [L U P]=lu(A) >> figure() >> spy(l) >> figure(2) >> spy(u) Osserviamo che 7

8 nz = nz = 9 la matrice A è a banda, non viene effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U mantengono la struttura a banda. la matrice B è a banda, viene però effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U perdono la struttura a banda. le matrici C e D sono sparse, ma le matrici L ed U sono piene. 8

9 FATTORIZZAZIONE DI CHOLESKY SeA R n n èunamatricesimmetrica definita positiva,alloraesiste una matrice R R n n triangolare superiore tale che A = R T R. Tale fattorizzazione è detta fattorizzazione di Cholesky. Il comando R = chol(a) di Matlab determina tale fattorizzazione. Esercizio 5 Verificare che la matrice A = è simmetrica definita positiva. Calcolare con il comando chol di Matlab la fattorizzazione di Cholesky di A. Dati quindi i termini noti b =, b 2 = sirisolvano isistemilineariax i = b i peri =, 2sfruttando lafattorizzazionecalcolata. OsserviamochepoichèA = R T R, larisoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari R T y = b Rx = y,

10 Esercizio. (punteggio: 2/2/2/). Sia n = 0 ed A la matrice di dimensione n n ottenuta sommando la matrice di Hilbert di ordine n con la matrice tridiagonale avente gli elementi diagonali tutti uguali a, e quelli sulla prima sottodiagonale e sopradiagonale pari a. Si calcolino il più grande ed il più piccolo autovalore della matrice A. Si riportino i valori in format short e: λ min =..., λ max = Si calcoli la fattorizzazione LU della matrice A assegnata al punto precedente utilizzando la funzione Matlab lu. Si calcoli inoltre L e U. Si riportino i valori in format short e: L =... U =.... Sia b il vettore colonna di lunghezza n e coefficienti tutti uguali ad. Sfruttando la fattorizzazione calcolata si determini la soluzione x del sistema lineare Ax = b. Sia y il termine noto del sistema lineare che occorrerà risolvere per sostituzione all indietro, si calcolino le seguenti norme e se ne riportino i valori in format short e. y =... e x = Si riporti il codice matlab utilizzato per eseguire quanto richiesto ai punti precedenti. 0