Fattorizzazione LU (lu)

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1 Fattorizzazione LU (lu) Pivoting Esercizio Si consideri la matrice d A = / d d / d = LU; dove d è un parametro reale non nullo. Si utilizzi la fattorizzazione di A per risolvere il sistema Ax = b, con b = (+ d ; ) T la cui soluzione esatta è il vettore x = (; ) T. Si considerino i valori di d = -, -4, -6,, -8 e si commenti la precisione della soluzione ottenuta, tabulando per ciascun valore di d le componenti x(); x(). Come si comporta invece la soluzione approssimata quando si scambino opportunamente la prima e la seconda riga del sistema? Esempio. Si considerino le seguenti matrici: A = magic(4) + 4 * eye(4) e 4 A = Per ciascuna di esse: si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi >> [L,U, P] = lu(a i ) osserviamo che per entrambe le matrici A e A la matrice di permutazione P è l identità. Questo significa che nel processo di fattorizzazione LU non `e stato effettuato il pivoting, infatti A è a dominanza diagonale stretta e A è simmetrica definita positiva. a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu si scrivano e si risolvano con il comando \ i due sistemi triangolari che devono essere risolti per calcolare la

2 soluzione del sistema lineare A i x = b (si prenda b = A i *ones(n, ) con n dimensione di A i, in modo da imporre una soluzione esatta x = ones(n, )). Osserviamo che poichè A i = LU, la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari Ly = b Ux = y Esempio (pivoting). Si consideri la seguente matrice: A = si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi [L,U, P] = lu(a) osserviamo che la matrice di permutazione P NON è l identità, il che significa che è stato effettuato il pivoting. a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu si scrivano e si risolvano con il comando \ i due sistemi triangolari che devono essere risolti per calcolare la soluzione del sistema lineare Ax = b (si prenda b = A *ones(n, ) con n dimensione di A, in modo da imporre una soluzione esatta x = ones(n, )). Osserviamo che poiché PA = LU, la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari Ly = Pb Ux = y

3 Matrici simmetriche definite positive - Metodo di Cholesky (chol). Scrivere una function che, ricevuta in input una matrice, stabilisca a. se sia simmetrica; b. tramite il criterio di Sylvester, se essa sia definita positiva Testare la function sulle matrici di Hilbert, di Pascal, sulle casuali, sulle magiche, su A A con A matrice qualsiasi.. Sia A una delle matrici considerate al punto risultata simmetrica definita positiva. Si risolva il sistema lineare Ax = b con b = A*ones(n,) dove n è la dimensione della matrice (in questo modo la soluzione esatta x sarà un vettore i cui elementi sono tutti uguali a ) utilizzando il metodo di fattorizzazione di Cholesky. Fattorizzazione di Matrici Tridiagonali Solo se è possibile evitare il pivoting: A = a c b a c = L U = bn an cn b N an N N c c N c N N Dove: α = a, β i = b i / α i-, α i = a i - β i c i-, i =, 3,, N

4 Risoluzione del sistema: A x = f Ly f Ux y L y = f sostituzione in avanti y = f y i = f i - β i y i-, i =, 3,, N Ux = y sostituzione all indietro x N = y N / α N x i = (y i c i y i+ ) / α i, i = N-, N-,, N.B. In fase implementativa non è necessario creare il vettore y Esercizio Creare le seguenti funzioni: trifat.m input: vettori a,b,c, output: vettori alfa e beta triris.m input: vettori alfa, beta, c e termine noto f output: vettore soluzione x testarle sul sistema lineare Ax = b dove b corrisponda alla soluzione con componenti tutte uguali a e A sia la matrice delle differenze divise....

5 Il fenomeno del fill-in (spy) Per ognuna delle seguenti matrici calcolare la fattorizzazione LU, controllare l esecuzione o meno del pivoting giustificando il risultato e verificare il fenomeno del fill-in mediante il comando spy applicato ad L e U: A x = B x = C x = D 7x7 = Osserviamo che la matrice A è a banda, non viene effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U mantengono la struttura a banda. la matrice B è a banda, viene però effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U perdono la struttura a banda. Calcolare la diversa percentuale di elementi non nulli prima e dopo la fattorizzazione. le matrici C e D sono sparse, ma le matrici L ed U sono piene; calcolare la diversa percentuale di elementi non nulli prima e dopo la fattorizzazione.

6 Test del Residuo Consideriamo il sistema lineare x la cui soluzione esatta è approssimata xapp = x. Calcolare il residuo fornito dalla soluzione.99 e giustificare il risultato. 487