Esercizi di autovalutazione - Matlab Metodi Numerici con Elementi di Programmazione A.A

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1 Esercizi di autovalutazione - Matlab Metodi Numerici con Elementi di Programmazione A.A Scrivere la function Matlab myfun.m che valuti la funzione e la sua derivata in corrispondenza delle componenti di un vettore di numeri reali x. La function deve ricevere come input il vettore x e un numero reale α e restituire in ouput i valori della funzione e della sua derivata in corrispondenza di ogni elemento di x. Scrivere uno script che chieda in input x e α, richiami la function myfun e stampi una tabella di tre colonne: quella di sinistra contiene i valori degli elementi di x, quella centrale i valori corrispondenti della funzione e quella di destra i valori della derivata. 2. Scrivere la function Matlab myfun2.m che valuti la funzione La function deve ricevere in input x (variabile scalare, vettore o matrice) e k (numero intero positivo) e restituire in output la variabile v contenente il valore della funzione in x. Scrivere lo script esercizio.m che chiami la function myfun2 e ne disegni il grafico nell intervallo [ 2, 2], marcando con un pallino i punti di coordinate ( 1; 1) e (1; 1). Aggiungere il titolo del grafico ed etichettare opportunamente gli assi. Salvare i dati prodotti nel file datiscript.mat. 3. Scrivere uno script Matlab che disegni il grafico della funzione in corrispondenza di quattro valori distinti di n sulla stessa finestra grafica ma usando 4 sottofinestre distinte. I valori di n devono essere richiesti in input. Inserire opportuni controlli e messaggi di errore nel caso in cui i valori di n non siano numeri interi positivi distinti. 4. Scrivere la function Matlab matrici.m che riceva in input il parametro tipo di tipo stringa e restituisca come output la matrice di Hilbert se tipo = H, la matrice di Vandermonde se tipo = V, un messaggio di errore in tutti gli altri casi. Ricordando che,

2 la funzione deve prevedere come ulteriore input la dimensione n della matrice se tipo = H, un vettore x di lunghezza opportuna se tipo = V. La funzione deve salvare la matrice prodotta nel file hilbert_file.mat se tipo = H, nel file vander_file.mat se tipo = V. 5. Scrivere lo script Matlab esercizio.m che legga in input una funzione f; separi (per tabulazione) e approssimi almeno uno degli eventuali zeri positivi di f minori di 1 usando il metodo delle secanti. Lo script deve: 1. stampare la tabella dei valori usata per la separazione della radice e salvarla nel file tabella.mat; 2. stampare gli estremi dell intervallo di separazione 3. stampare l approssimazione dello zero di f ottenuta arrestando il procedimento iterativo quando la differenza tra due approssimazioni successive risulta minore di graficare l errore commesso ad ogni iterazione. 6. Scrivere la funzione Matlab sistema_diagdom.m che: a) riceva in input una matrice quadrata A e due vettori, B e X0; b) verifichi se la matrice A è diagonalmente dominante per righe o per colonne; c) se la condizione non è soddisfatta stampi il messaggio La matrice non è diagonalmente dominante, altrimenti approssimi la soluzione del sistema lineare AX=B con il metodo di Jacobi arrestando il procedimento iterativo quando l errore tra due approssimazioni successive, misurato in norma infinito, risulta minore di 10-8 e restituisca in output l approssimazione prodotta Xn e il numero di iterazioni eseguite niter. Nota: se la condizione di diagonale dominanza non è soddisfatta, assegnare a Xn il vettore vuoto e a niter il valore Si consideri la successione a n, n N, definita per ricorrenza nel modo seguente: a 0 = a, a n = f(a n-1 ), n 1, (*) con a un numero reale e f funzione di una variabile definita in R. Scrivere una funzione Matlab che riceva in input una funzione f, un numero reale a e un numero naturale N, e restituisca in output i primi N termini della successione definita in (*). Scrivere uno script Matlab che, usando la funzione precedente, grafichi su una stessa finestra grafica, ma usando sotto-finestre distinte, i primi N termini delle successioni definite per ricorrenza dalle seguenti funzioni f e valori iniziali a:

3 f(x) = (x 2 + 8)/6, a = 0 f(x) = (x 2 + 8)/6, a = 6 f(x) = 2/x 2, a = 1 f(x) = 1 +1/(x + 2), a = 2 8. Scrivere una funzione Matlab che riceva in input un numero naturale positivo a<9 e restituisca in output la cardinalità del seguente insieme S = {x N : y N : x = y 2 1, k N : x = a k, x T} La funzione deve chiedere all utente di inserire da tastiera il valore del numero naturale T. Se T non viene dato, ponga T = Si consideri la funzione definita per n=1 Scrivere la funzione Matlab esercizio.m che riceva in input un numero reale y e un numero naturale N 10 e restituisca in output: - la variabile S contenente il valore di F(y) ottenuto usando i primi N termini della serie; - il vettore C dei coefficienti f n usati. La funzione deve graficare le componenti del vettore C usando una linea continua rossa per i primi 10 elementi e un marcatore di punto a scelta di colore blu per i successivi elementi. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e legenda. 10. Scrivere la funzione Matlab successione.m che riceva in input un numero reale a e un intero positivo M. Se a >1, restituisca in output il vettore P contenente i primi M elementi della successione così definita , 2 altrimenti interrompa l esecuzione e richieda di inserire da tastiera un altro valore del parametro a, stampando il messaggio il modulo di a deve essere maggiore di 1. Se dopo tre tentativi il valore di a dato in input non è accettabile, la funzione stampi il messaggio gli input inseriti non sono corretti e interrompa l esecuzione. La funzione deve graficare il vettore P usando una linea solida nera e il vettore Q contenente gli elementi , 1,, usando una linea tratteggiata rossa. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e legenda. 11. Scrivere la funzione Matlab odelimiti_nl.m che:

4 - riceva in input cinque numeri a, b, alfa, beta, eps, due numeri interi positivi N, maxiter e tre funzioni f, dfy, dfz - risolva il seguente problema ai limiti usando uno schema alle differenze finite con N+2 nodi. Per la soluzione del sistema non lineare si usi il metodi di Newton eseguendo non più di maxiter iterazioni e arrestando le iterazioni quando l errore massimo tra due approssimazioni successive diventa inferiore a eps; - restituisca in output il vettore Y contenente l approssimazione della soluzione in corrispondenza dei nodi usati, il vettore X dei nodi e l errore commesso nell ultima iterazione del metodo di Newton. Utilizzare la funzione odelimiti_nl per risolvere un problema differenziale a scelta scegliendo eps= e maxiter= Si consideri il problema di Cauchy Scrivere la funzione Matlab eqdiff_cn.m che: riceva in input la funzione di due variabili f, il vettore C = [x0; y0], il parametro reale h e la variabile m che può assumere i valori E (ovvero Eulero esplicito) oppure H (ovvero Heun); restituisca in output la matrice P contenente la soluzione del problema di Cauchy descritto dalla funzione f e dalle condizioni iniziali C usando il metodo di Crank- Nicolson con passo h, scegliendo come predittore il metodo indicato in m; il correttore si arresta quando la soluzione ha almeno tre decimali esatti; restituisca come ulteriore output la variabile I contenente il numero medio di iterazioni eseguite dal correttore. 13. Scrivere la funzione Matlab solsistema_bencond.m che riceva in input una matrice quadrata A e due vettori colonna B e X0; calcoli il numero di condizionamento K di A. Se K > 100, interrompa l'esecuzione e stampi il messaggio "il problema è mal condizionato". Se K 100 e se possibile, approssimi con almeno 5 decimali esatti la soluzione del sistema lineare AX = B con il metodo di Jacobi e scegliendo X0 come vettore dell approssimazione iniziale, stampando un opportuno messaggio nel caso in cui il metodo non converga; se X0 non può essere scelto come vettore dell approssimazione iniziale, la funzione risolva il sistema lineare usando il metodo di eliminazione di Gauss. restituisca in output il numero di condizionamento K e il vettore soluzione X. Nei caso in cui non è possibile determinare X, assegni a X il vettore vuoto.

5 14. Scrivere la funzione Matlab CS_sistemi.m che legga in input una matrice quadrata C e un vettore Q che descrivono il procedimento iterativo X k = C X k-1 +Q; riceva inoltre in input il numero reale positivo N; stabilisca se il procedimento iterativo verifica le condizioni sufficienti per la convergenza in norma 1 e in norma infinito; restituisca in output la variabile K contenente il numero di iterazioni richieste per dare un approssimazione del limite della successione X k con almeno N decimali esatti quando si considera la norma rispetto alla quale è stata verificata la condizione sufficiente per la convergenza; K è un vettore di due elementi se il procedimento iterativo converge sia in norma 1 che in norma infinito; se non sono verificate le condizioni sufficienti per la convergenza né in norma 1 né in norma infinito, K contiene la velocità di convergenza del procedimento iterativo; se il procedimento non converge, K è il vettore vuoto. 15. Si consideri la successione di funzioni 1,!, Scrivere la funzione Matlab fun_esercizio15.m che: i) riceva in input un intero strettamente positivo M non superiore a 15, un numero reale x e un intero strettamente positivo T. ii) determini e restituisca in output la variabile N contenente il valore dell'indice n più piccolo in corrispondenza del quale F n (x) approssima cos(x) con almeno M decimali esatti; iii) se dopo T secondi non è stato determinato un valore dell'indice n che verifica la condizione descritta al punto precedente, assegni ad N il vettore vuoto; iv) se possibile, grafichi il vettore C contenente gli elementi della successione Fn(x) con n = 0,1,,N usando un pallino verde per gli elementi corrispondenti a un valore dell'indice n pari e un pallino rosso per quelli dispari; in caso contrario, stampi un opportuno messaggio. Il grafico deve essere completo di titolo, etichette per gli assi e legenda. 16. Scrivere la funzione Matlab fun_esercizio16.m che i) riceva in input una matrice quadrata A, un vettore B e un numero reale eps; ii) stabilisca se esiste una permutazione di righe per cui la matrice risulti a diagonale dominante per righe; iii) in caso di risposta affermativa, restituisca in output il vettore P contenente la permutazione degli indici di riga, applichi lo scambio di righe alla matrice A e al vettore B e restituisca in output il numero di iterazioni niter richieste dal metodo di Gauss-Seidel per dare una stima della soluzione del sistema con errore inferiore a eps e scegliendo il vettore nullo come approssimazione iniziale.