Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 2010/11 Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 31 agosto 2011 Testo e soluzioni

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1 Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 21/11 Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 31 agosto 211 Testo e soluzioni L esame consiste di 4 domande aperte e 1 esercizi a risposta multipla. Per gli esercizi ci sono tre risposte etichettate con le lettere A, B, C. Riportare la correspondente lettera nella griglia finale. Non sono ammesse cancellazioni o correzioni alle risposte della griglia. Non è ammesso l uso di appunti, libri e qualsiasi tipo di calcolatrice e/o pc (incluso i cellulari che devono essere spenti e riposti sopra il tavolo. Tempo: 2 ore e 3 minuti. 1 Si dimostri che se una matrice A è diagonalmente dominante in senso stretto allora l associata matrice del metodo di Jacobi, J, è convergente. Risposta. Se A è diagonalmente dominante in senso stretto, l associata matrice J del metodo iterativo di Jacobi risulta avere il raggio spettrale minore di 1 (vedasi Teorema 7 e successiva osservazione pag. 92 delle dispense. 2 Si dia la definizione di stabilità di un metodo numerico e si fornisca almeno un esempio di metodo numerico stabile. Risposta. Un metodo numerico (formula, algoritmo si dice stabile se non propaga gli errori. Altrimenti si dice instabile. Un esempio è il calocolo delle radici di una equazione di secondo grado. Desideriamo risolvere l equazione ax 2 +bx+c =. Se a, le radici sono x 1,2 date dalla ben nota formula risolutiva. La cancellazione numerica, responsabile dell instabilità, si manifesta, ad esempio in x 1 quando b 2 4ac b Come ovviare a questo problemi? Prima si calcola x 2 dove il problema della cancellazione non sussiste quindi, usando le relazioni tra le radici x 1 e x 2 di un equazione di secondo grado, otteniamo x 1 = c/(ax 2. In maniera analoga opereremo nel caso la cancellazione si manifesti nel calcolo di x 2. 3 Una spline cubica quante condizioni richiede per essere univocamente costruita su una partizione di n nodi? Le 2 condizioni libere caratterizzano 3 differenti tipi di spline cubica. Quali sono? Risposta. Come descritto al paragrafo 5.7.3, le condizioni richieste sono 4(n 1. Le condizioni d interpolazione fino alla derivata seconda, danno 4n 6 condizioni. Le rimanenti 2 si determinano in 3 modi diversi come segue. s 1(x 1 = s n(x n =, in tal caso la spline viene detta naturale; 1

2 nel caso in cui siano noti i valori f (x 1 e f (x n s imporranno le condizioni s 1(x 1 = f (x 1 e s n(x n = f (x n, in tal caso la spline viene detta vincolata o completa; nel caso in cui siano f(x sia periodica di periodo x n x 1 = b a, ovvero f(x 1 = f(x n s imporranno le condizioni s 1(x 1 = s n(x n e s 1(x 1 = s n(x n, in tal caso la spline viene detta periodica. 4 Si scriva una function Matlab per implementare il metodo di bisezione per il calcolo delle radici reali di un equazione non lineare f(x =. La function richiede in ingresso la funzione f, gli estremi dell intervallo [a, b], una tolleranza prefissata tol mentre restituisce in uscita il valore della radice xi e il numero iter di iterazioni effettuate per approssimarla. function [xi,iter]=bisezione(f,a,b,tol % % Metodo di bisezione % La funzione fun.m descrive la % funzione di cui si cerca la radice % % Inputs % a,b : estremi dell intervallo % tol : tolleranza % Output % xi : la soluzione cercata % iter : numero d iterazioni fatte % if f(a*f(b > error( L intervallo non contiene alcuna radice ; elseif abs(f(a*f(b < tol error( Uno degli estremi e gia sulla radice else iter=; while abs(b-a>tol*abs(b, m=(a+b/2; if abs(f(m< tol xi=m; break; elseif f(m*f(a<, b=m; else a=m; iter=iter+1; xi=(a+b/2; return 1. Si voglia calcolare senza overflow il coefficiente binomiale ( n m, con n = 181 e m = n 1. Quale espressione dovremo usare per ottenere il risultato corretto, ovvero n? pagina 2 di 5

3 A exp ( Risposta A. log(n n m k=2 log k B n!/(m!(n m! C n k=n m+1 k. (n m! 2. Calcolare la norma euclidea del vettore v=[v 1, v 2 ] = [2 1 37, ]. Come calcolare il risultato esatto, in aritmetica a virgola mobile in doppia precisione? A v 2 = v v2 2 B v 2 = v (v2 /v 1 2 C v 2 = (v 1 + v 2 2 2v 1 v 2 Risposta B. 3. Dato la funzione f(x = e x x che in [2, 5/2] ha una radice α Si dica quale tra le seguenti 3 funzioni d iterazione converge con ordine almeno quadratico parto da x = 2 A g 1 (x = log(x 3 2 B g 2 (x = f(x + x C g 3 (x = (f(x/f (x x Risposta C. Infatti la C è il metodo di Newton. 4. Il polinomio di Taylor di grado n = 3 per la funzione f(x = x 3 x + 1 valutato in x = 2 da come risultato 7, per quale scelta di x? A x = 5 B x = 7 C x = 3. Risposta C. Il polinomio di Taylor di grado n = 3 è t n (x = f(x + (x x f (x + + (x x3 6 f (3 (x. Sostituo x = 2, l x richiesto è x = Data A = La matrice A A T è simmetrica definita positiva? Qual è una stima a 2 decimali dell autovalore di modulo massimo, λ M? A no B sì, λ M C sì, λ M.26. Risposta B. La matrice AA t è simmetrica definita positiva perchè ha autovalori che sono i quadrati degli autovalori di A. Il raggio spettrale risulta, arrotondato a 2 decimali, λ M Data la matrice A = Per questa matrice è applicabile la fattorizzazione LU? Qual è tr(u = 3 u ii (traccia di U? A sì, tr(u = 62/ /59 B no, det(a= C sì ma si deve usare una matrice di permutazione, tr(u = 216/59 62/11. Risposta A. La fattorizzazione LU è applicabile perchè tutti i minori principali di testa sono non nulli. La traccia di U è la somma degli elementi della diagonale. i=1 pagina 3 di 5

4 7. Dati i punti P = (,, P 1 = (1/3, 1/2, P 2 = (2/3, 2/3, P 3 = (1,. L algoritmo di de Casteljau consente di valutare la curva di Bèzier in t [, 1] mediante la ricorrenza b k(t = P k b r k(t = (1 tb r 1 k (t + tb r 1 (t, r = 1,..., n, k =,..., n r k+1 Calcolare il valore e la somma delle coordinate (con 2 decimali della curva di Bézier di grado n = 3 in t = 1/2. A b n (1/2 = (13/24, 7/16,.98 B b n (1/2 = (1/1, 1/1,.2 C b n (1/2 = (15/23, 5/23,.87 Risposta A. Basta fare i calcoli con la relazione di ricorrenza fornita fino ad n = Stimare l errore che si commette approssimando l integrale 1 e x dx con la formula di Newton Cotes su 4 nodi (n = 3, R 3 (f = 3 8 h5 f (4 (ξ. A B C Risposta B. 9. Trovare α 1 e x 2 cosicché la formula di quadratura a =, b = 1, n = 3, h = b a n = 1 3 R 3 (f = 3 8 h5 f (4 (ξ = 8( 3 1 5e ξ 3 R 3 (f max [,1] {ex } = e1 = e < abbia ordine di precisione 1. 1 f(xdx α 1 f( f(x 2 A 1 3, 2 3 B 1, 4 3 C 5 6, 1 Risposta C. Si determinano i parametri α 1, x 2 impono che la formula sia esatta per i polinomi fino a grado 1, quindi 1, x. Si ottengono allora le seguenti equazioni { α = 1 da cui le soluzioni 2 5 α x 2 = 1 2 α 1 = 5 6, x 2 = 1. pagina 4 di 5

5 1. Siano dati i seguenti nodi e valori di una funzione (1, 1 (2, 6 (3, 13 (4, Sia r(x la retta di regressione approssimante i dati nel senso dei minimi quadrati, trovare il valore r(3. A 2 B 7 C 5 Risposta C. Si deve determinare la funzione polinomiale di grado n = 1, g(x = a + a 1 x dove a ed a 1 sono le componenti della soluzione a = (a, a 1 T del sistema ai minimi quadrati con da cui A = A T A = A T A a = A T b ( Si ottiene pertanto il sistema lineare di ordine 2 ( , b = (, A T 18 b = 5 ( ( a 18 = a 1 5 che risolto fornisce a = 2, a 1 = 1 da cui la retta r(x = x + 2, e r(3 = A B C C B A A B C C pagina 5 di 5