Calcolo Numerico - Prova Matlab 19 luglio 2013

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1 9 luglio 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse da Matlab ed il suo editor, pena l esclusione dalla prova () Si scriva una function Matlab che implementi il seguente metodo numerico (detto di Halley) per il calcolo degli zeri di funzione: f(x k )f 0 (x k ) x k+ = x k f 0 (x k ) f(x k )f 00 (x k ) La function deve ammettere come dati di input f, f 0, f 00, punto iniziale x 0, tolleranza tol e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output l approssimazione dello zero ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo Si testi la function calcolando le prime 0 cifre significative dello zero di f(x) =x ] [La soluzione è () Dato il sistema lineare Ax = b, A R n n, b R n, si consideri il seguente metodo iterativo per la soluzione dei sistemi lineari (detto metodo di Jacobi): Dx k+ = b Rx k, a a a n a a a n a a a n A = 5, D = 0 a 0 5, R = a 0 a n 5 a n a n a nn 0 0 a nn a n a n 0 [Si noti che A = D + R] Si scriva una function che implementi tale metodo La function deve ammettere come dati di input una matrice A, un vettore b, una tolleranza tol, vettore iniziale x 0 e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output la soluzione sol ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo in norma k k Non è consentito usare la function inv di Matlab Si risolvano i sistemi lineari facendo uso del comando backslash Si testi la function approssimando, con tolleranza tol=0 5, la soluzione del sistema lineare Ax = b con: A = , b = [La soluzione esatta è [ ] T Si suggerisce di scegliere x 0 =[ ] T ]

2 9 luglio 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse da Matlab ed il suo editor, pena l esclusione dalla prova () Si scriva una function MATLAB che implementi il seguente metodo numerico aduepassi(detto metodo di Traub) per il calcolo degli zeri di funzione Dato x k, per ogni k 0, si calcola: y k = x k f(x k ) f 0 (x k ), x k+ = y k f(y k ) f 0 (x k ) La function deve ammettere come dati di input f, f 0, punto iniziale x 0, tolleranza tol e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output l approssimazione dello zero ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo Si testi la function calcolando le prime 0 cifre significative dello zero di f(x) =x ] [La soluzione è () Si scriva una function MATLAB che implementi il seguente metodo, detto metodo delle potenze inverse, per il calcolo dell autovalore di minimo modulo di una matrice non-singolare Dati una matrice reale A ed un vettore x 0, per ogni k 0 si calcola: y k = x k kx k k, x k+ = A y k, µ k+ = y T k x k+ Al termine della procedura, l autovalore di minimo modulo sarà min =,µ end è l ultimo valore di µ end µ k calcolato La function deve ammettere come dati di input una matrice quadrata A, un vettore iniziale x 0, una tolleranza tol ed il numero massimo di iterate maxiter; come dati di output l autovalore di minimo modulo min ed il numero di iterate e ettuate numiter Per ciò che riguarda il controllo dell errore, si faccia uso del seguente criterio: µ k+ µ k < tol Si noti che sarà necessario e ettuare due iterate per poter implementare tale controllo Ad ogni iterata bisogna calcolare x k+ = A y k Non è consentito usare la function inv di Matlab Risolvere il sistema lineare equivalente Ax k+ = y k usando la fattorizzazione LU di A Si testi la function approssimando, con tolleranza tol=0, l autovalore di minimo modulo di A = Si scelga [La soluzione esatta è 5 0 ] x 0 = 5

3 luglio 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse da MATLAB ed il suo editor, pena l esclusione dalla prova () Si scriva una function Matlab che implementi il seguente metodo numerico (detto metodo di Schröder) per il calcolo degli zeri di funzione: y k = x k f(x k )f 0 (x k ) [f 0 (x k )] f(x k )f 00 (x k ) La function deve ammettere come dati di input f, f 0, f 00, punto iniziale x 0, tolleranza tol enumero massimo di iterate maxiter; come dati di output l approssimazione dello zero ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo x Si testi la function calcolando le prime 0 cifre significative dello zero di f(x) =sin(x) nell intervallo [ ] [La soluzione è ] () Siano f ed come al punto precedente Determinare numericamente, con precisione assoluta 0, il più grande intervallo I contenente tale che, per x 0 I, la successione x k generata dal metodo precedente converge ad [Si usi sempre la tolleranza relativa tol = 0 ]

4 giugno 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse da MATLAB ed il suo editor, pena l esclusione dalla prova () Si scriva una function Matlab che implementi il seguente metodo per la ricerca degli zeri di funzione: f(x k ) x k+ = x k h f(x k + h) f(x k h) La function deve ammettere come dati di input la funzione f, il parametro h, una tolleranza tol, punto iniziale x 0 e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output la soluzione sol ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo Si testi la function calcolando le prime 0 cifre significative dello zero di f(x) = cos(x) x nell intervallo [0 ] Si scelga h = 0 [La soluzione è 085 ] () Dato il sistema lineare Ax = b, A R n n, b R n, si consideri il seguente metodo iterativo per la soluzione dei sistemi lineari (detto metodo di Gauss-Seidel): Lx k+ = b Ux k, a a a n a a a n a a a n A = 5, L = a a 0 5, U = 0 0 a n 5 a n a n a nn a n a n a nn Si scriva una function che implementi tale metodo La function deve ammettere come dati di input una matrice A, un vettore b, una tolleranza tol, vettore iniziale x 0 e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output la soluzione sol ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo in norma matriciale k k Non è consentito usare la function inv di Matlab Si testi la function approssimando, con tolleranza tol=0 5, la soluzione del sistema lineare Ax = b con: 08 0 A = , b = [La soluzione esatta è [ ] T ]

5 giugno 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse da MATLAB ed il suo editor, pena l esclusione dalla prova () Si scriva una function Matlab che implementi il metodo delle secanti per il calcolo degli zeri di funzione: x k = x k f(x k )(x k x k ) f(x k ) f(x k ) La function deve ammettere come dati di input f, punti iniziali x 0 e x, tolleranza tol e numero massimo di iterate maxiter; come dati di output l approssimazione dello zero ed il numero di iterate e ettuate numiter Si faccia uso di un criterio di arresto basato sul controllo dell errore relativo Si testi la function calcolando le prime 0 cifre significative dello zero di f(x) = sin(x) x, e scegliendo x x 0 =ex =09 [La soluzione è 08 ] () Si scriva una function che implementi il seguente metodo numerico (detto dei trapezi) per il calcolo approssimato degli integrali definiti Dati una funzione a valori reali f definita l intervallo [a, b], n intero naturale, siano h =(b a)/n e x j = a + jh, per ogni j =0,,n Allora si ha Z b a f(x) dx I n, I n = h nx f(x 0 )+ f(x j )+f(x n ) 5 j= La function deve ammettere come dati di input funzione f, intervallo [a, b] e numero di sottointervalli n; come dati di output l approssimazione I n Si testi la function approssimando il valore di Z p x dx, 0 a meno di un errore assoluto inferiore a 0 [Suggerimento: raddoppiare progressivamente il valore di n, a partire da n =, fino a quando l errore sarà sceso sotto il valore indicato Il valore esatto dell integrale è / =085 ]