Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 11 - Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 11 - Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie Cosideriamo il seguente Problema di Cauchy: Trovare una funzione y : I R, y C 1 (I) tale che { y (t) = f(t, y(t)) t I, y(t 0 ) = dove I = [t 0, t max ] R, R ed f : I R R funzione assegnata. Per approssimare la soluzione di un tale problema con un metodo numerico suddividiamo I in piccoli sottointervalli, scegliamo t 0 t 1 t N t max e ci limitiamo ad approssimare il valore della soluzione y(t) nei nodi t n, per n = 0,... N. Chiamiamo y n y(t n ) tale valore approssimato. Un metodo numerico fornisce le approssimazioni, y 1,..., y N della soluzione nei nodi t 0, t 1,..., t N Matlab fornisce alcune funzioni predefinite a tale scopo tra cui ode23 e d ode45

2 Sintassi: [T,Y] = ode23(fun,tspan,y0), [T,Y] = ode45(fun,tspan,y0) tspan = [t 0, t max ] = I intervallo dato Y = [, y 1,..., y N ] vettore colonna della soluzione approssimata agli istanti in T Si considerino i seguenti problemi di Cauchy di riferimento: { y (t) = 2ty 2 (t) t [0, 2], Sol: y(t) = 1 y(0) = t 2 { y (t) = 25 y t [0, 2], y(0) = 1 Sol: y(t) = e 25t Esercizio 1 Si realizzi uno script file al fine di approssimare la soluzione del primo problema di Cauchy negli esempi di riferimento utilizzando le function ode23 e ode45 di Matlab. Si disegnino nello stesso grafico la soluzione esatta e quella approssimata, si calcoli la norma 2

3 infinito della differenza tra la soluzione esatta ed approssimata agli istanti di approssimazione. Si confrontino i risultati ottenuti con le due funzioni Matlab. Esercizio 2 Una volta calcolata la soluzione del primo problema di Cauchy negli esempi di riferimento utilizzando la funzione ode45 di Matlab, vogliamo utilizzare i valori calcolati, y 1,..., y N per i seguenti scopi: fornire un approssimazione della soluzione in punti differenti dagli istanti di approssimazione t 0, t 1,..., t N, ovvero approssimare i valori assunti dalla soluzione agli istanti definiti dal vettore z=[0.025:0.05:1.975]. A tal fine calcoliamo la spline lineare che interpola i dati [T,Y] ottenuti con ode45 e la valutiamo nei punti del vettore z; indichiamo con ỹ(z i ), i = 1... length(z) le approssimazioni così ottenute. Calcoliamo quindi l errore commesso err = max z i y(z i ) ỹ(z i ). Calcolare un valore approsimato Ĩ dell integrale I = 2 0 y(t)dt = arctg(2) con la formula di quadratura dei trapezi composita, valutando infine l errore commesso I Ĩ. 3

4 Scegliamo d ora in poi di suddividere I in sottointervalli di uguale ampiezza h > 0 piccolo, e consideriamo i punti t n = t 0 + n h per n = 0,... N con t N t max che individuano tale discretizzazione dell intervallo I. Metodo di Eulero esplicito A partire da calcoliamo y 1,..., y N attraverso la relazione y n+1 = y n + h f(t n, y n ) Esercizio Si scriva una funzione che implementi il metodo di Eulero esplicito. Sintassi: [T,Y] = eulero(fun,t,y0), T = [t 0, t 1,... t N ] vettore riga dei tempi Y = [, y 1,..., y N ] vettore colonna della soluzione approssimata agli istanti in T 4

5 Esercizio 3 Si approssimi la soluzione di ciascun problema di riferimento con il metodo di Eulero esplicito per diversi valori del passso uniforme h = 0.1, 0.01, Si disegni il grafico della soluzione approssimata a confronto con quella esatta. Sia y n la soluzione approssimata agli istanti t n = t 0 + nh, si calcoli il massimo errore di approssimazione commesso nei nodi di approssimazione: e = e si compili la seguente tabella: max y(t n) y n n=0,...,n h Errore Si stimi l ordine del metodo. Metodo di Eulero implicito A partire da calcoliamo y 1,..., y N attraverso la relazione y n+1 = y n + h f(t n+1, y n+1 ) Si noti che ad ogni passo occorre risolvere una equazione non lineare in y n+1 utilizzando a tale scopo un opportuno metodo numerico. 5

6 Esercizio Si scriva una funzione che implementi il metodo di Eulero implicito, utilizzando il metodo di Newton per risolvere l equazione non lineare ad ogni passo. Sintassi: [T,Y] = eulimp(fun,t,y0,dfy,toll,nitmax), T = [t 0, t 1,... t N ] vettore riga dei tempi dfy derivata di f rispetto ad y toll tolleranza per l arresto di Newton nitmax numero massimo di iterazioni di Newton Y = [, y 1,..., y N ] vettore colonna della soluzione approssimata agli istanti in T Esercizio 4 Si ripeta quanto richiesto nell Esercizio 3 utilizzando il metodo di Eulero implicito. 6

7 Metodo dei Trapezi o di Crank-Nicolson A partire da si calcolino y 1,..., y N attraverso la relazione y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] Il metodo dei trapezi è implicito infatti ad ogni passo occorre risolvere una equazione non lineare in y n+1 utilizzando a tale scopo un opportuno metodo numerico. Esercizio Si scriva una funzione che implementi il metodo dei trapezi, utilizzando il metodo di Newton per risolvere l equazione non lineare ad ogni passo. Sintassi: [T,Y] = trapezi(fun,t,y0,dfy,toll,nitmax), T = [t 0, t 1,... t N ] vettore riga dei tempi dfy derivata di f rispetto ad y toll tolleranza per l arresto di Newton nitmax numero massimo di iterazioni di Newton 7

8 Y = [, y 1,..., y N ] vettore colonna della soluzione approssimata agli istanti in T Esercizio 5 Si ripeta quanto richiesto nell Esercizio 3 utilizzando il metodo dei trapezi e scegliendo i valori del passo uniforme nel modo seguente: h = 2 k, per k = 6, 7, 8, 9. Metodo di Heun A partire da calcoliamo y 1,..., y N attraverso la relazione y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n + hf(t n, y n ))] Il metodo di Heun è esplicito. Esercizio Si scriva una funzione che implementi il metodo di Heun. Sintassi: [T,Y] = heun (fun,t,y0), T = [t 0, t 1,... t N ] vettore riga dei tempi Y = [, y 1,..., y N ] vettore colonna della soluzione approssimata agli istanti in T 8

9 Esercizio 6 Si ripeta quanto richiesto nell Esercizio 3 utilizzando il metodo di Heun. 9