Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Polinomi e vettori

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Polinomi e vettori Consideriamo particolari funzioni di una variabile reale che siano polinomi, ovvero del tipo p(x) = 3x 4 +2x 3 +x 5, q(x) = x 5 2x 2 +x, h(x) = x 1 Matlab non prevede un oggetto particolare di tipo polinomio, ma rappresenta i polinomi attraverso vettori che contengono i coefficienti della rappresentazione del polinomio stesso nella base {1, x, x 2,...} ordinati partendo dal coefficiente del termine di grado maggiore (detto anche coefficiente direttivo) fino ad arrivare al coefficiente del termine di grado minore (detto anche termine noto). Poichè un polinomio di grado n ha n+1 coefficienti, ad un polinomio di grado n si associa un vettore di lunghezza n+1. Per esempio i polinomi p,q ed h sopra definiti sono univocamente determinati dai vettori >> p=[ ]; >> q=[ ]; >> h=[1-1]; Attenzione a non dimenticare gli zeri quando non compaiono nel polinomio tutte le potenze di x tra 0 e quella massima!

2 Matlab offre diverse funzioni per lavorare con i polinomi (per un elenco completo help polyfun). valutazione di un polinomio in uno o più punti: sia x un qualsiasi valore in memoria, scalare oppure vettoriale e p il vettore dei coefficienti di un polinomio p, per esempio se p =[1 1-1] rappresentailpolinomiop(x) = x 2 +x 1, edx= 2calcoliamo w = p(2) = w = polyval(p,2) oppure se x=[0 4 5] w = polyval(p,x) w = (p(0),p(4),p(5)) Siano p(x) e h(x) due polinomi e p, h i vettori contenenti i loro coefficienti. Le consuete operazioni tra polinomi si traducono, in termini di vettori contenenti i coefficienti, nel modo seguente: prodotto o divisione per uno scalare: sia a una variabile contenente un numero reale z(x) = ap(x) z = a p z(x) = p(x) a a 0 z = p/a ad esempio dato p(x) = 4x 2 + 2x + 1 per calcolare 3p(x) scriveremo in matlab: >> p=[4 2 1]; >> 3*p ans =

3 somma (o differenza) tra polinomi z(x) = p(x) + q(x) può essere effettuata semplicemente sommando (o sottraendo) i due vettori dei coefficienti SOLO se i due polinomi hanno lo stesso grado (e quindi i due vettori ugual lunghezza) altrimenti si deve avere l accortezza di allungare con degli zeri il vettore del polinomio di grado minore in modo che i due vettori siano di lunghezza uguale. Esercizio Scrivere la funzione polysum, che ricevuti in ingresso i coefficienti di due polinomi di grado qualsiasi, fornisca in uscita i coefficienti del polinomio somma z(x) = p(x) + q(x) z= polysum(p,q) prodotto tra polinomi s(x) = p(x) q(x) s = conv(p, q) ad esempio dati p(x) = 4x 2 + 2x + 1 e q(x) = x + 1 per calcolare p(x)q(x) = 4x 3 +6x 2 +3x+1 scriveremo in matlab: >> p=[4 2 1] >> q=[1 1] >> conv(p,q) ans = Si noti che il prodotto z=p*q non si può fare trattandosi di 2 vettori riga ed inoltre l operatore * non ha nulla a che fare con il prodotto di polinomi. 3

4 divisione tra polinomi Assegnati due polinomi v(x) ed u(x) si vuole determinare il quoziente q(x) ed il resto r(x) della divisione di v per u ovvero q ed r tali che v(x) = q(x) u(x) + r(x) [q,r] = deconv(v,u) >> v=[ ]; >> u=[1 2 3]; >> [q,r]=deconv(v,u) q = r = >> conv(q,u)+r ans = derivata di un polinomio s(x) = p (x) s = polyder(p) >> p=[4 2 1]; >> s=polyder(p) ans = 8 2 primitiva di un polinomio s(x) = p(x)dx s = polyint(p) (tra le infinite primitive fornisce quella con termine noto nullo) 4

5 >> q=[1 1]; >> polyint(q) ans = radici di un polinomio: il comando z=roots(p) restituisce un vettore z contenente tutte le radici del polinomio p. Adesempiosep(x) = (x+3)(x 2)(x+5) = x 3 +6x 2 x 30: >> p=[ ] >> roots(p) ans = ricostruire un polinomio a partire dalle sue radici: Date le radici x 1,...x n determinare il polinomio p(x) = (x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) con coefficiente direttivo 1 utilizzando il comando p=poly(x). Il comando poly esegue l operazione inversa di roots >> p=[ ]; >> x=roots(p); >> q= poly(x) >> q =

6 Esercizi 1. Dati p(x) = x 3 x 2 +4x 1 e q(x) = x 2 3x 1, si calcoli p q, 3p+5q, pq, 2p 2 3q 3 il quoziente e il resto della divisione di p per q la derivata p il valore p(3) q(3) 2. Disegnare il grafico dei seguenti polinomi: x 3 x+4 in [ 2,1] x 5 x 2 +4x 3 in [ 5,3] e trovarne le radici verificando i risultati sul grafico. 3. Calcolare i seguenti integrali 3 0 (x 2 2x 1)dx 7 1 (4x 5 +5x 4 +5x 3 x)dx 4. Calcolare le radici r 1,r 2 (r 1 < r 2 ) di p(x) = x 2 7x+12, fare il grafico di p in [r 1,r 2 ] e calcolare l integrale r2 r 1 p(x)dx, 5. Calcolare i massimi ed i minimi relativi dei seguenti polinomi: 3x 3 x 2 15x+5 x 5 4x 4 10x 3 +26x 2 11x+30 6

7 Interpolazione polinomiale Il comando che, in Matlab, permette di associare ad un insieme di punti nel piano il polinomio che li interpola ( polinomio interpolatore = polinomio che passa per punti assegnati) è polyfit Sintassi: p = polyfit(x,y,n) input: output: x ascisse dei punti assegnati y ordinate dei punti assegnati n grado del polinomio voluto p vettore dei coefficienti del polinomio voluto Istruzioni per l uso: poichè il comando polyfit, a seconda del grado n richiesto, fornisce anche altri polinomi approssimanti e non solo il polinomio interpolatore, affinchè il polinomio ottenuto sia proprio quello interpolante è ASSOLUTAMENTE NECESSARIO impostare il grado n come il numero dei dati meno uno, ossia n = length(x) -1 7

8 dove x sono le ascisse dei dati assegnati che si vogliono interpolare, oppure, se n è il grado assegnato del polinomio, utilizzare n + 1 dati. Quindi ad esempio x=linspace(a,b,n+1) p=polyfit(x,f(x),n) se si richiede il polinomio interpolatore di grado n che interpola i valori assunti da una funzione f in nodi equispaziati in un intervallo [a,b] Esercizi 1. Calcolare i polinomi che interpolano le seguenti tabelle di punti; farne un grafico che metta in evidenza i punti utilizzati disegnandoli con un cerchietto: x y x y

9 2. Data la funzione f(x) = e x sin(x), x [ 1,1] calcolare il polinomio p che interpola f in n + 1 nodi equispaziati nell intervallo [ 1, 1]. Disegnaresullostessograficof,peinodiusatiperl interpolazione segnandoli con un cerchietto. Provare per n = 2,4,8,16 ed osservare come cambia il polinomio d interpolazione. 3. Ripetere quanto svolto all esercizio precedente per le seguenti funzioni nell intervallo di definizione [a, b] indicato. Stimare inoltre l errore di approssimazione commesso valutando f e p in 1000 punti equispaziati in [a,b] e calcolando il massimo modulo della differenza dei vettori così generati. Si considerino i seguenti casi: a) f(x) = (x2 5x+6)log(x) x, [a,b] = [1,4]; provare per n = 5,10,15,20 e controllare l andamento dell errore; b) fx) = 1 1+x 2, [a,b] = [ 5,5]; provarepern = 4,6,8,10,12,14,16econtrollarel andamento dell errore. 9

10 L esempio visto nella parte b) dell esercizio precedente è noto come CONTROESEMPIO DI RUNGE Mette in risalto come nell interpolazione con nodi equispaziati, all aumentare dei numero dei nodi, non sempre corrisponda una diminuzione dell errore ma al contrario una crescita. Una soluzione possibile per ovviare a questo effetto consiste nell effettuare una opportuna scelta di NODI NON EQUISPAZIATI. Esercizio 4. Ripetere quanto svolto all esercizio precedente nel caso b) utilizzando in luogo di n+1 nodi equispaziati in [ 5,5] gli n+1nodidichebyshevdefinitinelvettorexdaiseguenticomandi Matlab, una volta fissato un valore di n: ind=[1:n+1]; x=cos(pi*(2*ind-1)/(2*(n+1))); x=x*5; Come cambia l errore in questo caso al variare di n? 10

11 Interpolazione polinomiale composita: spline lineari Una seconda posssibile soluzione al problema evidenziato dal controesempio di Runge consiste nel considerare una partizione dell intervallo [a,b] in m sottointervalli I i = [x i,x i+1 ], i = 1,...m definitidaa = x 1 < x 2 <...x m+1 = bedutilizzarel interpolazione di Lagrange di grado n (piccolo) su ciascun sottointervallo. Il caso più semplice è rappresentato dall interpolazione lineare composita (n = 1) che consiste nel calcolare la funzione continua e polinomiale a tratti di grado 1 che interpola una funzione f nei nodi x i per i = 1,...m + 1. In questo caso si parla anche di spline lineare interpolante Pertanto dato un insieme di punti (x i,y i ), per i = 1,...,m + 1 e y i = f(x i ) Una spline lineare interpolante è una funzione del tipo: c 1,1 (x x 1 )+c 1,2 se x [x 1,x 2 ] c 2,1 (x x 2 )+c 2,2 se x [x 2,x 3 ] s(x) = (1) c m,1 (x x m )+c m,2 se x [x m,x m+1 ] tale che s(x i ) = y i. Per calcolarla possiamo utilizzare la funzione predefinitadimatlabinterp1checreaememorizzalasplineinun formato particolare raccogliendo in un unica struttura i diversi dati che compaiono nella definizione (1), la stessa funzione ci permette anche di valutare contemporaneamente il valore assunto dalla spline in un punto (o in un vettore di punti assegnati). 11

12 N.B. in alcune versioni Matlab x ed y devono essere vettori colonna. Esempio Assegnati i punti di coordinate >> x=[ ]; >> y=[ ]; si disegni la spline lineare interpolante ed i punti della tabella evidenziandoli con un cerchietto. A questo scopo utilizziamo la funzione interp1, e per disegnare il grafico un vettore di punti ausiliari z in cui valutiamo la spline. >> z=linspace(-1,5); >> s1z = interp1(x,y,z, linear ) >> plot(z,s1z); Esercizio 5. Approssimare con una spline interpolante lineare la funzione f(x) = 1 1+x 2 nell intervallo [ 5, 5] suddiviso in m sottointervalli di ampiezza H = 10/m. Definire punti equidistanti ausiliari in [ 5,5] e usarli: per disegnare sullo stesso grafico la funzione e la spline; per calcolare l errore di approssimazione(massimo modulo della differenza tra la funzione f e la spline). Riportare i risultati ottenuti nella sottostante tabella: 12

13 m H=10/m Errore Verificare che, per m che tende all infinito, l errore tende a zero come un O(H 2 ). Esercizio 6 (da un tema d esame) Si considerino i seguenti dati sperimentali x: y: ed il punto w = 12 [0,30] 1. Si calcoli il polinomio p(x) che interpola i dati assegnati(x,y). Sia p (x) la sua derivata calcolare tutte le radici reali di p. Si riporti in format short e il valore del coefficiente a del termine di grado massimo della rappresentazione di p(x) nella base {1,x,x 2,...}. Si riportino inoltre la più grande e la più piccola radice reale di p contenute nell intervallo [0,30]. a = r min = r max = 2. Sicalcoliilvaloreassuntonelpuntowdallasplinelinearesp(x) che interpola i dati assegnati (x,y). Si riporti il valore sp(w) in format short e. sp(w) = 13