Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio

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Geraldina Orlandi
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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio Vettori in Matlab Assegnazione di un vettore riga: >> w=[1 2 3] w = Assegnazione di un vettore colonna: >> v=[1; 2; 3] w = Altri modi di generare vettori riga: >> v=[1:8] v = >> v=[1:.5:3] v =

2 La sintassi generale è v=[valore iniz:passo:valore finale]. Il passo può essere anche negativo, ad es. v=[10:-.5:1]; Il valore finale può non essere un elemento del vettore >> v=[1:0.7:5] v = Il comando linspace(valore iniziale, valore finale, N) genera N valori equispaziati fra valore iniziale e valore finale (estremi compresi). Ad esempio >> v=linspace(0,1,5) Ricordando che N punti equispaziati suddividono un intervallo [a,b] in N 1 sottointervalli di uguale ampiezza h = b a N 1, per generare l ultimo vettore si può anche scrivere h=1/4; >> v=[0:h:1] v =

3 Il comando zeros(n,1)( zeros(1,n)) produce un vettore colonna (riga) di lunghezza n con elementi tutti nulli. Il comando ones(n,1) (ones(1,n)) genera un vettore colonna (riga) con tutte le componenti pari a 1. Per conoscere la lunghezza di un vettore v: >> length(v) 5 Per controllare la dimensione di una variabile v: >> size(v) 1 5 Accedere alle componenti di un vettore Per accedere ad una singola componente di un vettore: >> v(3) 0.5 Attenzione: in Matlab l indicizzazione inizia da 1 e non da 0! Matlab produce un messaggio di errore quando si cerchi di accedere ad una componente non definita, ad esempio: 3

4 >> z=v(0)??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. Nota: esiste in Matlab la parola chiave end per accedere all ultimo elemento di un vettore. Ad es., se v ha dieci elementi, v(end) equivale a v(10). Per accedere a più componenti dello stesso vettore posso utilizzare un vettore di indici: >> x=[-2, 4, 6, -3, 0, 1]; >> x(1:3) >> x([4,2,1]) >> x(1:2:5)

5 Alcune operazioni su vettori Dati i vettori v=[ ] e w=ones(1,4). Trasposizione: >> u=v u = Somma (sottrazione) algebrica tra vettori di ugual dimensioni >> v+w >> v-w Prodotto o divisione per uno scalare. >> 2*v >> v/

6 Somma o sottrazione di uno scalare. >> v Operazioni su vettori componente per componente. Consideriamo i vettori di ugual dimensione a=[ ], b=[ ]. il prodotto componente per componente genera il vettore: (a 1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3,a 4 b 4 ) >> a.*b la divisione componente per componente genera il vettore: (a 1 /b 1,a 2 /b 2,a 3 /b 3,a 4 /b 4 ) >> a./b

7 l elevamento a potenza componente per componente genera il vettore: (a b 1 1,a b 2 2,a b 3 3,a b 4 4 ) >> a.^b Le stesse operazioni possono essere applicate a vettori colonna (o a matrici come vedremo in seguito). È necessario però che gli operandi abbiano la stessa dimensione, fa eccezione il caso in cui uno dei due è una costante: >> a.^ Funzioni matematiche valutate in vettori Le funzioni matematiche ammettono come argomento non solo gli scalari, ma anche vettori (più avanti vedremo anche matrici). Un esempio: >> x= [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi]; >> sin(x)

8 Se invece avessi voluto calcolare il valore, nelle componenti del vettore x, della funzione xsinx avrei scritto: >> x.*sin(x) Esercizio 1 generare gli interi da 28 a 80 con passo 1 generare gli interi da 22 a -10 con passo -4 generare 125 punti equispaziati tra -1 e 5 assegnati i vettori u = [1,0,2, 3] e v = [3;0;2;1] calcolare i vettori colonna z, w, y definiti, componente per componente, da z i = u i v i, w i = u v i i, y i = z i /w i generato il vettore contenente 11 punti equispaziati tra 1 e 2, valutare nei suoi elementi le funzioni xlogx e x 3 cosx 8

9 Manipolazione di sottoblocchi di vettori e concatenazione Siano v=[ ] e w=[ ]. Per sostituire alle ultime due componenti di v le componenti di w: >> v=[ ]; w=[ ]; >> v(end-1:end)=w v= Pereliminaredavlaterzaelaquartacomponenteusiamoilvettore vuoto []: >> v=[ ]; >> v(3:4)=[]; v= Per concatenare i due vettori: >> z=[v w] z=

10 Altre funzioni predefinite sui vettori >> v=[1,5,3]; >> sum(v) 9 >> prod(v) 15 >> max(v) 5 >> min(v) 1 >> sort(v) >> diff(v) % => [v(2)-v(1), v(3)-v(2),...v(end)-v(end-1)]

11 Esercizio 2 Sia x = [ 3,5,8,0,1,5, 2,4]: - imporre 6 elemento =100 - togliere 4 elemento - aggiungere in testa = [1,2,3] Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = sin(n 2 )con n 1. Si calcolino il più grande e più piccolo numero tra i primi 10 elementi della successione. Suggerimento: Sieseguanooperazionisulvettore[1,2,3,...,10]. (Soluzioni: max = , min = ) Verificare le seguenti uguaglianze 10 i=1 i = 55; 10 i=1 i 2 = 385 Suggerimento: Sieseguanooperazionisulvettore[1,2,3,...,10]. Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = 1/n,n 1. - Calcolare la somma dei primi 100 termini della successione. - Calcolare il vettore b di componenti b n = a n+1 a n con n = everificarechelasommadellesuecomponenti è uguale ad a N.B. Si risolva l esercizio eseguendo operazioni vettoriali. 11

12 Operazioni su vettori Dati i vettori v=[ ] e w=ones(1,4) possiamo calcolare: Il prodotto scalare (v,w) = (v 1 w 1 +v 2 w v n w n ). >> v*w (se v e w sono vettori riga) oppure >>dot(v,w) 10 La norma euclidea v = n i=1 v2 i : >> norm(v,2) (oppure >> norm(v)) La norma infinito v = max v i : >> v=[ ] >> norm(v,inf) 5 Esercizio 3 Assegnati i vettori u = [1,0,2, 3] e v = [3;0;2;1] calcolare il prodotto scalare dei due vettori e le norme euclidee di ciascun vettore. Cosa fornisce il prodotto v u? 12

13 Esercizi di riepilogo: 1. Calcolare: y = e 2x cos(3x) 3 x+1 con x = 3, (R = ) a = e2 cos(π/6)+1, (R = 1,4512) 4+ln(3) 2. generare gli interi da -13 a 75 con passo 2 generare i punti tra -2.7 a 8.3 con passo 1.5 (cosa si osserva?) generare 150 punti equispaziati tra -2 e 3 3. Sia x = [ 1,2,3,8,10,5, 4,3]: imporre 1,2,3 elemento = [5,6,7] aggiungere in coda = [10,11,12] eliminare, con un comando,gli elementi dal 4 al Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = 1/n,n 1. - Calcolare il prodotto dei primi 10 termini di indice dispari della successione. (Sol.: e-09) - Considerare i primi 20 termini della successione e calcolare: 19 a n+1 B1 =, B2 = 20 (a n +a 1 ) a n n=1 ( Soluzioni: B1 = , B2 = ) n=2 13

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