INTRODUZIONE A MATLAB

Transcript

1 INTRODUZIONE A MATLAB M.R. Russo Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata A.A. 2008/2009

2 INDICE Funzioni per l'algebra lineare Manipolare vettori Manipolare matrici Matrici particolari Funzioni predefinite Esempi

3 Algebra Lineare Una delle caratteristiche principali di MATLAB è la sua abilità nell operare con matrici. Le operazioni matematiche definite sulle matrici sono il soggetto dell algebra lineare. MatLab è stato sviluppato originariamente come supporto ai corsi di algebra lineare, esistono quindi una grande quantità di funzioni in questo campo della matematica.

4 Manipolare vettori e matrici >>x=[] % crea una vettore vuoto. >> length(x) 0 % length fornisce la lunghezza di un vettore >> x = [1:3]; >> length(x) 3 >> size(x) % size fornisce le dimensioni di un array 1 3 righe colonne

5 Comandi per operare su vettori max(x); min(x); sum(x); prod(x); mean(x); % elemento massimo del vettore x % elemento minimo del vettore x % somma degli elementi del vettore x % prodotto degli elementi del vettore x % media aritmetica degli elementi del vettore x rem(x,y); % resto della divisione intera tra x e y fix(x); % parte intera di un numero reale round(x); % arrotondamento all'intero più vicino a x floor(x); % intero immediatamente inferiore a x ceil(x); % intero immediatamente superiore a x sign(x); % +1 se x>0, 0 se x=0, -1 se x<0

6 Comandi per operare su vettori Altri comandi per operare sui vettori

7 Costruzione e manipolazione di matrici >>x=[1:3]; % se x è un vettore il comando diag costruisce una matrice quadrata diagonale con x come diagonale principale. >>A=diag(x) A = >>A= [1 2 3; 4 5 6;7 8 9]; % se A è una matrice, produce un vettore contenente la diagonale principale di A. >> x=diag(a)' x = 1 5 9

8 Manipolare vettori e matrici >>A=[] >>A= [1 2 3; 4 5 6]; >>size(a) 2 3 % crea una matrice vuota, dimensioni 0x0 Il comando length(a) applicato ad una matrice A non vuota equivale a calcolare max(size(a)) >>length(a) 3

9 Funzioni per manipolare matrici

10 Costruire e manipolare matrici >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = >>A(:,1) >>A(2,:) % per estrarre colonne % per estrarre righe

11 Manipolare matrici >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = >>A(2,2:3) 5 6 >>A(1:2,2:3) % per estrarre parti di matrici

12 Manipolare matrici >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] >>A(1,:)=[2:2:6] % per modificare righe e colonne di matrici A = >>A(:,1)=[] % per rimuovere righe e colonne di matrici A =

13 Manipolare matrici >> A=[1 2; 3 4], B=[5 6; 7 8]; >>C=[A B] % per concatenare matrici C = % C non è un vettore di matrici ma una matrice composta dalle matrici A e B affiancate. x=[1:3], y=[4:6]; >>v=[x y] % per concatenare vettori v = % Se x e y sono vettori colonna, v sarà una matrice con x e y come prima e seconda colonna.

14 Matrici particolari >> eye(3) % matrice idenità di ordine >> ones(2,3) % matrice con tutti 1 di ordine (2x3) >> zeros(2,4) % matrice nulla di ordine (2x4)

15 Matrici particolari >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >>B=tril(A) B = >>B=triu(A) B= % triangolare inferiore (tri-low) % triangolare superiore (tri-upper)

16 Matrici particolari >>A=rand(2,3) A = % matrice 2x3 di elementi random in [0,1] con distribuzione uniforme >>A=randn(2,3) A = % matrice 2x3 di elementi random con distribuzione normale a media 0 e varianza 1

17 Matrici particolari La funzione magic costruisce un quadrato magico di Durer >>A=magic(n) % genera una matrice quadrata di ordine n (n>2) % contenente interi tra 1 e n² tale che la somma degli % elementi su una riga o su una colonna è uguale. >> B=magic(4) B =

18 Matrici particolari >> sum(b) >> sum(b') >> sum(diag(b)) 34

19 Esempi >> X=10*(rand(1,5)) X = >> fix(x) % fix arrotonda al valore intero per difetto >> round(x) % round arrotonda al valore intero più vicino

20 Funzioni predefinite >>A=[2 1 0; ; 0-1 2]; >>d=det(a); % Per matrici quadrate calcola il determinante d= 4 Se il determinante di una matrice quadrata è non nullo, si può definire l inversa della matrice. >> B=inv(A) % Calcola l'inversa di A quadrata B = non singolare

21 Funzioni predefinite >> A=magic(4) A = % Durer matrix square n= >> d=det(a) % è una matrice singolare d = 0 >> X=inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-017.

22 Funzioni predefinite >> e=eig(a) % Calcola gli autovalori di A e = >> [X, D] =eig (A) % Produce una matrice diagonale D che contiene gli autovalori di A e la matrice X le cui colonne sono gli autovettori di A.

23 Funzioni predefinite >> [X, D] =eig (A) X = D =

24 Funzioni Predefinite Per un elenco completo delle Funzioni Predefinite che possono essere utili nella risoluzione di problemi di Algebra Lineare >>help matfun Matrix functions - numerical linear algebra Matrix analysis. norm - Matrix or vector norm. normest - Estimate the matrix 2-norm. rank - Matrix rank. det - Determinant. trace - Sum of diagonal elements...

25 Funzioni Predefinite Se confrontiamo due matrici A e B, MatLab confronta i singoli elementi di A e B quindi le matrici devono avere le stesse dimensioni; la risposta è una matrice che ha ancora le dimensioni di A e B i cui elementi sono zero o uno. >> A=[2 4 1 ;3 8 7]; >> B=[2 3 6 ;8 8 7]; >> A==B

26 Funzioni Predefinite Se A e B non hanno le stesse dimensioni, allora A == B è un errore. >> C=[2 4 1 ;3 8 7;1 2 3]; >> B=[2 3 6 ;8 8 7]; >> C==B??? Error using ==> == Matrix dimensions must agree. Il modo corretto per controllare l uguaglianza tra due matrici è quello di usare la funzione isequal.

27 Funzioni Predefinite >>isequal(a,b) 0 >>isequal(a,a) 1 restituisce 1 se A e B hanno le stesse dimensioni e tutte le componenti corrispondenti coincidono, 0 altrimenti. isequal può essere usata con matrici di dimensioni diverse, nel qual caso la risposta è sicuramente zero.

28 Funzioni Predefinite Esistono altre funzioni utili per ridurre i risultati di paragoni tra matrici e condizioni scalari con l uso dell IF: isempty % controlla se una matrice (vettore) è vuota all any find % controlla se una condizione è vera per almeno un elemento di un vettore % controlla se una condizione è vera per ogni elemento di un vettore % cerca una certa condizione vera in un vettore

29 Funzioni Predefinite Se x è un vettore >>any(x) restituisce il valore 1 (vero) se almeno uno degli elementi del vettore x è diverso da 0, altrimenti restituisce il valore 0 (falso). >>all(x) restituisce il valore 1 (vero) se tutti gli elementi di x sono diversi da 0, altrimenti restituisce il valore 0 (falso). Se l'argomento è una matrice, any e all trattano la matrice per colonne e restuiscono un vettore riga i cui elementi sono i risultati corrispondenti ad ogni colonna della matrice considerata.

30 Funzioni Predefinite Se x è un vettore >>find(x) restituisce un vettore riga contenente gli indici dei valori non nulli nel vettore. Se A è una matrice >>find(a) restituisce un vettore colonna contenente gli indici dei valori non nulli nella matrice.

31 Esempi Esempi: >> p=[ ]; >> any(p) 1 >> all(p) 0 >> find(p) 3 5

32 Funzioni Predefinite A =[0 3 3; ; 5 0 2] A = >> any(a) >> all(a) 0 0 1

33 Funzioni Predefinite >> any(a>2) >> all(a>=2) >> find(p<=1)

34 Esempi Esercizio 1. Creare una matrice A (3x3), con elementi scelti a caso. Stabilire quanti degli elementi di A² sono diversi da 0. >>A=[1 1 2 ; ; 0 0 4]; >>B=A*A; >>C=(B~=0); >>risposta=sum(sum(c))

35 Esempi Esercizio 2. Generare un vettore di numeri casuali e trovare la prima occorrenza di un elemento maggiore di 0.8. n = dimensione del vettore casuale da generare k = primo indice in x tale che x(k) > 0.8

36 Esempi L'esercizio può essere risolto con il seguente script: n = 100; x = rand(1,n); for k = 1 : n if x(k) > 0.8 break end end if k <= n fprintf('x(k)=%f for k = %d\n',x(k),k); end