Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 5

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1 Laboratorio di Matematica Computazionale A.A. -8 Lab. Costruzione e Manipolazione di Matrici diag tril triu nnz find spy. Sia v il vettore colonna casuale di lunghezza. Calcolare: diag(v) diag (v) diag (v-) diag(v) diag(v-). Sia A la matrice magica. Calcolare: tril(a) tril(a ) tril(a -) tril(a ) tril(a -) triu(a) triu(a ) triu(a -) triu(a ) triu(a -) diag(a) diag (A ) diag (A -) diag (A ) diag(a -) diag(diag(a)) diag(diag(a )) diag(diag(a ) ) diag(diag(a) ). Costruire le seguenti matrici contarne gli elementi non nulli e visualizzarle con spy: A ; B ;

2 C : :. 9. ; D : 8. Sia A una matrice quadrata piena. La si trasformi in una matrice a banda con p sottodiagonali e q sopradiagonali con una combinazione dei comandi tril e triu. Provare con: A rand() p q ; A rand() p q ;. Sia A matrice casuale trovarne con il comando find tutti gli elementi >. e sostituirli con il valore sparse spdiags full 6. Costruire con il comando spdiags le matrici A e B dell esercizio convertirle con full e confrontarle con quelle già ottenute. Convertire con sparse le matrici A e B dell esercizio e confrontarle con quelle ottenute con spdiags.. Sia A la matrice nn... costruita con il comando diag e B la stessa matrice costruita con spdiags. Per n confrontare con il comando whos l occupazione di memoria di A e B.

3 Matrici di Permutazione. Siano A magic() P ; calcolare PA e AP e sottolineare la differenza.. Costruire le matrici di permutazione per righe e per colonne associate alle seguenti permutazioni: [ ] [ ] [ ]. Verificare che sono una la trasposta dell altra e verificarne l esattezza applicandole alla magic()).. Verificare sugli esempi costruiti nell esercizio precedente che per le matrici P di permutazione l inversa coincide con la trasposta. Risoluzione di sistemi lineari ( \ ). Dopo aver calcolato il determinante della matrice risolvere con \ i seguenti sistemi lineari: Risolvere i seguenti sistemi (confrontare i risultati con quelli ottenuti tramite il calcolo dell inversa): i. 6 ii. 8

4 Norme (norm) Dati i seguenti vettori e matrici: 6 8 [ ] 6 calcolarne con il comando norm e per conferma con l opportuna combinazione dei comandi abs ma sum eig la norma ; la norma ; verificare inoltre che per le matrici simmetriche ρ(a) A (per costruire una matrice simmetrica si ricordi che data una qualsiasi matrice A la matrice A + A T è simmetrica); la norma infinito Esercizio (dal tema d esame del /6/) Sia p il vostro numero di postazione. Sia N p+. Si costruisca la matrice sparsa A di dimensione NN avente: i cubi degli interi da a N sulla diagonale principale; - sulla terza e sulla seconda sottodiagonale; - sulla prima e sulla quarta sopradiagonale. Si calcoli il numero degli elementi non nulli. Sia a p p + Si calcoli la norma di z. Sia ba*z. / i. Sia z il vettore colonna lungo N di elementi z a Si risolva il sistema lineare A b. Si calcoli l errore relativo in norma tra la soluzione esatta z e il valore approssimato. i

5 Condizionamento (cond)... ; sostituire il termine noto b con bt e calcolare t. Confrontare l errore relativo in norma sul dato con l errore relativo sulla soluzione e giustificare il risultato ottenuto.. Risolvere il sistema lineare. ; risolvere poi il sistema avente stessa matrice ma termine noto.. Calcolare l errore relativo in norma tra i due termini noti e tra le due soluzioni e giustificare i risultati.. Come sopra con A matrice di Hilbert di ordine b ones() bt b + rand()*e-. Calcolare l indice di condizionamento delle matrici di Hilbert di ordine n per n.. Come l esercizio con A matrice di Van der Monde associata ad un qualsiasi vettore di lunghezza. Test del Residuo calcolare il residuo fornito dalla.99 soluzione approssimata app e giustificare il risultato.. 8

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