Sistemi lineari: metodi diretti II

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1 Sistemi lineari: metodi diretti II Ana Alonso Dipartimento di Matematica - Università di Trento 8 ottobre 2015

2 Metodo di eliminazione di Gauss (senza pivotazione) U matrice triangolare superiore. for k = 1 : n 1 Ax = b Ux = c for i = k + 1 : n m i,k = a (k) i,k /a(k) k,k for j = k + 1 : n b (k+1) i a (k+1) i,j = b (k) i = a (k) i,j m i,k a (k) k,j m i,k b (k) k U = A (n) c = b (n).

3 Metodo di eliminazione di Gauss (senza pivotazione) function x=gauss0(a,b) x=zeros(size(b)); M=zeros(size(A)); n=length(b); for k=1:n-1 for i=k+1:n M(i,k)=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-M(i,k)*A(k,j); b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k); % Sostituzione all indietro. x(n)=b(n)/a(n,n); for i= n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-a(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/a(i,i); Nell implementazione non si azzerano gli elementi sotto la diagonale. Ma la sostituzione all indietro risolve [triu(a)]x = b.

4 Metodo di eliminazione di Gauss (senza pivotazione) Possiamo salvare i moltiplicatori sotto la diagonale. function x=gauss1(a,b) x=zeros(size(b)); n=length(b); for k=1:n-1 for i=k+1:n A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); % Moltiplicatori! for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k); % Sostituzione all indietro. x(n)=b(n)/a(n,n); for i= n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-a(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/a(i,i);

5 Metodo di eliminazione di Gauss (senza pivotazione) Possiamo sfruttare meglio le operazioni matriciali di Matlab. function x=gauss2(a,b) x=zeros(size(b)); n=length(b); for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n)- A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-a(k+1:n,k)*b(k); % Sostituzione all indietro. x(n)=b(n)/a(n,n); for i= n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-a(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/a(i,i);

6 Metodo di eliminazione di Gauss (senza pivotazione) Senza pivotazione il metodo di Gauss fornisce anche la fattorizzazione LU della matrice A. function [x,l,u]=gauss3(a,b) x=zeros(size(b)); n=length(b); for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n)- b(k+1:n)=b(k+1:n)-a(k+1:n,k)*b(k); % Sostituzione all indietro. x(n)=b(n)/a(n,n); for i= n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-a(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/a(i,i); L=tril(A,-1)+eye(n); U=triu(A); A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); % Elementi sotto la diagonale principale % ed elementi diagonali uguali a uno. % Parte triangolare superiore.

7 Pivotazione parziale per righe Nella colonna k-esima cerco una riga r con k r n tale che a r,k = max k i n a i,k ; r=k; q=abs(a(k,k)); for i=k+1:n aux=abs(a(i,k)); if aux > q q=aux; r=i; scambio le righe r e k della matrice e del termine noto. A([k,r],:)=A([r,k],:); b([k,r])=b([r,k]);

8 Pivotazione parziale per righe function [x,l,u,p]=gaussp(a,b) x=zeros(size(b)); n=length(b); P=1:n; % NEW!! for k=1:n-1 % Cerco l elemento pivot r=k; q=abs(a(k,k)); for i=k+1:n aux=abs(a(i,k)); if aux > q, q=aux; r=i; % Scambio le righe k e r in A e b A([k,r],:)=A([r,k],:); b([k,r])=b([r,k]); P([k,r])=P([r,k]); % NEW!! A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n)- A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-a(k+1:n,k)*b(k); % Sostituzione all indietro. x(n)=b(n)/a(n,n); for i= n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-a(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/a(i,i); L=tril(A,-1)+eye(n); % Matrice L. U=triu(A); % Matrice U.

9 Pivotazione parziale per righe Se si fa la pivotazione per righe LU A. Se P la matrice di permutazione corrispondente agli scambi fatti LU = PA. In linguaggio Matlab L U = A(P, :) esso P il vettore che indica gli scambi fatti.

10 Il comando lu e il comando chol [L,U,P]=lu(A) L U = P A L triangolare inferiore con gli elementi diagonali uguali a 1. U triangolare superiore. P matrice di permutazioni. [L,U]=lu(A) L U = A L non è triangolare inferiore ma una permutazione di righe la re triangolare inferiore con tutti gli elementi diagonali uguali a 1. U triangolare superiore. R=chol(A) A deve essere simmetrica definita positiva R T R = A R triangolare superiore con tutti gli elementi diagonali positivi.

11 Matrice di Hilbert hilb(n) calcola la matrice di Hilbert di dimensione n. h i,j = 1/(i + j 1). Esercizio: Sia A la matrice di Hilbert 8 8, sia b=a*ones(8,1) e c=b+1.e-10*rand(8,1). Usando i comandi di Matlab risolvere Ax = b e Ay = c. Calcolare x y x e confrontare con b c c. Calcolare il numero di condizionamento di A. Commentare i risultati.