SISTEMI LINEARI. Metodi diretti. Calcolo numerico 07/08 p. 1/1

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1 SISTEMI LINEARI Metodi diretti Calcolo numerico 07/08 p. 1/1

2 Sistemi lineari Ax = b, A R n n, b R n b INPUT x OUTPUT A relazione funzionale non ambigua det(a) 0 ( un unica soluzione) (Esercizio 1) Se det (A) = 0 rank(a) = rank(a b) infinite soluzioni Se rank(a) rank(a b) nessuna soluzione. Calcolo numerico 07/08 p. 2/1

3 Condizionamento Cosa accade quando i dati di ingresso (A e/o b) del problema sono affetti da errore? Caso piu semplice (per la teoria): errore nel termine noto b b = b + δb, Ax = b A x = b La soluzione non è più x ma x = x + δx. Si dimostra che, scelta una norma, δx x δb b δx x A A 1 δb b errore relativo sulla soluzione (errore propagato) errore relativo sui dati iniziali (errore inerente) K(A) = A A 1 indice di condizionamento Calcolo numerico 07/08 p. 3/1

4 Condizionamento Più in generale, se à = A + δa b = b + δb si ha che l errore relativo sulla soluzione è ( δx δa 2 A A 1 + δb ) x A b Esempio» A=[1 1; ]; b=[2 ;1.999]; x=a\b perturbiamo la matrice e calcoliamo la soluzione del sistema perturbato»da= *[1 1; -1-1]; B=A+dA ; x1=b\b Calcoliamo l errore relativo sui dati e sulla soluzione»errdati=norm(da,inf)/norm(a,inf)»errsol=norm(x-x1,inf)/norm(x,inf) A un errore iniziale del 0.024% corrisponde un errore del 95.9% sulla soluzione (esercizi 2,3) Calcolo numerico 07/08 p. 4/1

5 Condizionamento Comandi utili Calcolare il rango di una matrice» rank(a) Calcolare una norma di matrice o vettore» norm(a,tipo) tipo=2,1,inf calcolo dell inversa di A» inv(a) calcolo dell indice di condizionamento in norma 2 di A» cond(a) Calcolo numerico 07/08 p. 5/1

6 Esempi di matrici malcondizionate matrici di Hilbert: H =»H=hilb(n) ( ) a i,j, a i,j = 1 i + j 1, i, j = 1,..., n Calcolare l indice di condizionamento delle matrici di Hilbert di ordine 4 e 10 Calcolo numerico 07/08 p. 6/1

7 Esempi di matrici malcondizionate matrice di Vandermond associata a un vettore v = [x 1,, x n ] V = x n 1 1 x n 2 1. x 1 1 x n 1 2 x n 2 2. x x n 2 n. x n 1 x n 1 n V i,j = v n j i, i, j = 1,, n»vander(v) Calcolare l indice di condizionamento in norma infinito delle matrici di Vandermond associate ai vettori v 1 = [2,3,4] e v 2 = [2,2.05,4] Calcolo numerico 07/08 p. 7/1

8 Metodi diretti Si usano per matrici piene Metodo di eliminazione gaussiana A = U = Il metodo si arresta quando ci sono elementi pivotali nulli Il metodo è instabile. E necessaria una strategia pivotale per renderlo stabile (esercizi 4,5) Calcolo numerico 07/08 p. 8/1

9 Metodi diretti Pivoting parziale pivoting totale Il pivoting parziale risulta poco costoso e fornisce generalmente una soluzione soddisfacente (in termini di stabilità) Il pivoting totale e più costoso ma assicura la stabilità Il metodo di eliminazione gaussiana senza pivoting, è numericamente stabile per matrici simmetriche a diagonale dominante e per matrici simmetriche definite positive Costo computazionale O( n3 3 ) Calcolo numerico 07/08 p. 9/1

10 Metodi diretti: fattorizzazione LU Il metodo di Gauss (con pivoting parziale) è una successione finita di trasformazioni della matrice A e del vettore b. A U PA = LU P matrice che tiene conto degli scambi di righe L matrice triangolare inferiore: contiene i moltiplicatori Ax = b PAx = Pb LUx = Pb Ly = Pb Ux = y Fattorizzazione LU è utile quando si devono risolvere tanti sistemi con la stessa matrice A e termini noti diversi: faccio la decomposizione una sola volta (è la parte più costosa!) e poi risolvo tanti sistemi triangolari...(es: calcolo dell inversa di A, esercizio 6) Calcolo numerico 07/08 p. 10/1

11 Metodi diretti: fattorizzazione LU la funzione MATLAB che esegue la fattorizzazione LU (con pivoting parziale) è»[l,u,p]=lu(a) Divisione a sinistra L operatore \ calcola automaticamente la soluzione x del sistema Ax = b con il metodo di eliminazione gaussiana»x=a\ b La function "divisione a sinistra e molto sofisticata...leggere l help (mldivide \, mrdivide / ) Per esempio nei casi particolari di sistemi con matrice A triangolare inferiore o superiore risolve con il metodo di sostituzione in avanti o all indietro rispettivamente... Calcolo numerico 07/08 p. 11/1

12 Metodi diretti: fattorizzazione di Cholesky Se A è simmetrica definita positiva L matrice triangolare inferiore A = L L T Il comando matlab che fornisce la fattorizzazione di Cholesky è»l=chol(a) costo computazionale O( n3 6 ) Calcolo numerico 07/08 p. 12/1

13 Raffinamento iterativo Ax = b Ā x = b Ā, x, b rappresentazioni macchina di A, b, x. Sappiamo che detta x 0 la soluzione ottenuta con il metodo di Gauss si ha r 0 = b Āx0 Āe0 = r 0 dove e 0 = x x 0 Quindi x 1 = x 0 + e 0 dovrebbe essere più vicina a x (se il sistema è ben condizionato). Posso iterare il procedimento iterativo. Questo converge rapidamente a x che è la massima precisione raggiungibile partendo con i dati Ā e b. Calcolo numerico 07/08 p. 13/1

14 Raffinamento iterativo Il raffinamento iterativo può essere utile per depurare l approssimazione x 0, ottenuta con Gauss, dagli errori introdotti dal metodo stesso dovuti a una non perfetta stabilità. Attenzione: per non perdere cifre significative, il residuo DEVE essere calcolato con una precisione doppia. (Svantaggio: aggravio dei costi computazionali) Si rivela molto utile quando si lavora in precisione singola Matlab lavora in precisione doppia. È possibile definire le variabili in singola precisione con il comando single»a=single([ ; ; ; ]);»b=single([23;32;33;31]) Tutte le operazioni fatte su A e b saranno fatte in singola precisione. Per convertire una variabile dalla precisione singola alla doppia si usa il comando double» b1=double(b) Calcolo numerico 07/08 p. 14/1

15 Raffinamento iterativo Come fare con matlab a calcolare il residuo con una precisione doppia, ovvero con 32 cifre? Si può usare il comando vpa variable-precision arithmetic per calcolare una espressione con d cifre decimali. Ogni elemento del risultato è una espressione simbolica»digits(32)»vpa( b Ā x0 ) Attenzione, tornare alle 16 cifre impostando»digits(16) Esercizio. Applicare il procedimento di raffinamento al sistema = Fare 3 iterazioni (la soluzione esatta è [1,1,1,1]) Calcolo numerico 07/08 p. 15/1

16 Matrici sparse: effetto Fill in Consideriamo una matrice A sparsa ovvero con un 70% 80% di elementi nulli. Cosa accade quando calcoliamo la fattorizzazione LU di A? Le matrici L e U sono molto piu piene di A : si perdono i vantaggi della sparsità avendo una occupazione maggiore di memoria (esercizio 8) nz = nz = 5198 Calcolo numerico 07/08 p. 16/1

17 Matrici sparse Se una matrice è sparsa, si deve EVITARE di memorizzare tutta la matrice: si memorizzano solo gli elementi diversi da zero si usa il formato sparse di matlab» S=sparse(A) il comando full converte il formato sparso nel formato pieno»a=full(s) Comandi per generare matrici sparse»r=sprand(m,n,density) genera una matrice m n sparsa con density*m*n elementi diversi da zero distribuiti uniformemente nella matrice Calcolo numerico 07/08 p. 17/1

18 Matrici sparse Il comando spdiags»a=spdiags(b,d,m,n) crea una matrice sparsa m n prendendo le colonne di B e mettendole al posto delle diagonali specificate nel vettore d Esempio»n=100»e=ones(n,1);» b=[e, -e, 6*e, -e, 2*e];» d=[-n/ n/2];» a=spdiags(b,d,n,n); Per visulalizzare graficamente la matrice si puo usare il comando spy che evidenzia solo gli elementi diversi da zero»spy(a) Calcolo numerico 07/08 p. 18/1