FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 6 Laboratorio

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Brigida Fumagalli
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1 FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 6 Laboratorio Paolo Mazzucchelli mazzucch@elet.polimi.it Quantizzazione Il segnale y(t) non solo è campionato sull asse dei tempi, ma anche i valori di ordinata sono limitati all insieme rappresentabile dal numero di bit utilizzati (ad esempio, il formato cd-audio utilizza 16 bit per canale): questa operazione si definisce quantizzazione. Scriviamo quindi una funzione che permette di simulare in MATLAB la quantizzazione dell ordinata del segnale y(t): Yq=quantizza(Y,peak,livelli); (dove livelli è il numero di livelli utilizzabili (B bit= 2 B livelli) e peak rappresenta l ampiezza di picco rappresentabile, che deve essere superiore all ampiezza massima del segnale per evitare distorsione). function Yq=quantizza(Y,estr,livelli); % Quantizzazione del vettore Y, con N livelli, % e con ampiezza di soglia -estr...estr Yq=round((Y/estr)*(livelli/2-1))/(livelli/2-1)*estr; set=find(abs(yq)>estr); Yq(set)=estr*sign(Yq(set)); return, Si rappresenti la relazione (non lineare) tra il valore del segnale x(t) prima e dopo la quantizzazione (si rappresentino in ascissa i valori del segnale x(t), e in ordinata i corrispondenti valori quantizzati del segnale xq(t). Si assuma l ampiezza 3<x(t)<+3. Si confrontino i grafici per numero di livelli L=4,16,64,256. Qual è l errore massimo e(t)=x(t)-xq(t) introdotto dall operazione di quantizzazione? Con quanti bit si può rappresentare ogni campione del segnale quantizzato con L livelli? 1

formato cd-audio utilizza 16 bit per canale): questa operazione si definisce quantizzazione.

2 Errore di Quantizzazione Se il segnale in ingresso al quantizzatore ha distribuzione uniforme tra V e +V, l errore di quantizzazione e(t)=x(t)-xq(t) può essere visto come un processo casuale stazionario a valor medio nullo e potenza: P eq =σ 2 =V 2 /(3L 2 ) Si generi un processo x(t) (Il segnale è osservato per T=1 sec., con passo di campionamento dt=1 ms), con distribuzione uniforme tra 2 e +2. Si quantizzi x(t) con numero di bit B=2,4,6,8,12,16.. Qual è il numero di livelli corrispondenti? Si stimi la densità spettrale di potenza dell errore di quantizzazione e la si confronti con il risultato teorico noto. % Generazione del processo x(t) N=1000; dt=0.001; t=[0:n-1]*dt; y=4*rand(1,n)-2; % quantizzazione L=2^16; yq=quantizza(y,2,l); % potenza errore di quantizzazione E=var(y-yq); Et=2^2/(3*L^2); % visualizzazione plot(t,y,'b'); hold on, plot(t,yq,'.r'); plot(t,y-yq,'-g'); xlabel('tempo [sec.]'); title (['Quantiz. con ',num2str(l),' livelli; potenza errore:',num2str(e), (Teorico:,num2str(Et), ) ]); % Densità spettrale df=1/(n*dt); f=[-n/2+[0:n-1]]*df; % N è pari semilogy(f,fftshift(abs(fft(y)).^2)/n,'r',f,fftshift(abs(fft(yyq)).^2)/n,'b',f,ones(size(f))*e,'g'); grid xlabel('frequenza [Hz]'); Si rappresenti l andamento dell errore di quantizzazione, al variare del numero di bit B=2 24, per l esercizio precedente. Lo si confronti con il risultato teorico. Si mostrino le ampiezze in db. 2

, con passo di campionamento dt=1 ms), con distribuzione uniforme tra 2 e +2. Si quantizzi x(t) con numero di bit B=2,4,6,8,12,16.. Qual è il numero di livelli corrispondenti?

3 Si quantizzi una sinusoide di frequenza 5 Hz, e ampiezza A=2, con un numero di bit B=2,4,6,8,16... Il segnale è osservato per T=1 sec., con passo di campionamento dt=1 ms. Qual è il numero di livelli corrispondenti? Qual è la potenza relativa dell errore di quantizzazione? Si analizzi l effetto della distorsione (valore di picco del quantizzatore più piccolo dell ampiezza massima del segnale). Cosa succede invece se l ampiezza massima della sinusoide è molto più piccola del valore di picco del quantizzatore? N=1000; dt=0.001; t=[0:n-1]*dt; y=2*sin(2*pi*5*t); %quantizzazione L=2^4; yq=quantiz(y,2,l); E=var(y-yq)/var(y); % rappresentazione plot(t,y,'b'); hold on, plot(t,yq,'.r'); plot(t,y-yq,'-g'); xlabel('tempo [sec]') title (['Quantiz. con ',num2str(l),' livelli; errore relativo:',num2str(e)]); 3

Si analizzi l effetto della distorsione (valore di picco del quantizzatore più piccolo dell ampiezza massima del segnale).

4 Si stimi la densità spettrale di dell errore di quantizzazione per l esercizio precedente (si consideri la sinusoide con f=50 Hz), e la si confronti con l andamento dell errore di quantizzazione dell esercizio precedente. Che differenze si notano? Infine è possibile verificare l effetto della quantizzazione della sinusoide (oppure con segnali audio reali memorizzati con il formato *.wav). Si analizzi l help dei comandi wavplay(), wavread(), wavwrite(). Visualizzazione 3D in MatLab In MatLab è possibile, in modo molto semplice, visualizzare funzioni di 2 variabili f(x,y). In analogia alle funzioni di una variabile, dove l ordinata è un vettore, che rappresenta la funzione valutata per N punti dell ascissa, per funzioni bidimensionali l ordinata è una matrice, che rappresenta la funzione valutata per NxM punti delle due variabili indipendenti x e y. Alcuni comandi che permettono diversi tipi di visualizzazione tridimensionale sono: mesh(x,y,f) surf(x,y,f) pcolor(x,y,f) contour(x,y,f,levels) Si porta come esempio la visualizzazione della matrice ottenuta con il comando membrane(5) x=[-1:1/15:1]; y=[-1:1/15:1]; F=membrane(5); subplot(2,2,1); mesh(x,y,f) subplot(2,2,2); surf(x,y,f) subplot(2,2,3); pcolor(x,y,f) subplot(2,2,4); contour(x,y,f,15) 4

Si analizzi l help dei comandi wavplay(), wavread(), wavwrite(). Visualizzazione 3D in MatLab In MatLab è possibile, in modo molto semplice, visualizzare funzioni di 2 variabili f(x,y).

5 Processi Casuali Gaussiani: densità di probabilità congiunta La densità di probabilità di un processo gaussiano stazionario con valore medio µ=0 e varianza σ 2 è: p(a)=1/sqrt(2πσ 2 ) exp(-0.5 (a/σ) 2 ) La densità di probabilità congiunta tra due campioni del processo distanti m, ha espressione: p m (a,b)=1 / (2πσ 2 sqrt(1-ρ 2 [m]) ) exp(-0.5 (a 2 2ρ[m]ab+b 2 )/(σ2 (1-ρ 2 [m]) ) dove ρ[m] è il coefficiente di correlazione. Si vuole visualizzare la probabilità congiunta tra due campioni del processo casuale gaussiano con varianza σ 2 =100, al variare del coefficiente di correlazione. Si scelgano opportunamente i vettori x,y per rappresentare i valori possibili a partire dalla distribuzione gaussiana. Si verifichi che la densità di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle due densità di probabilità se ρ[m]=0. Si determini e si rappresenti la probabilità condizionata p(b a=10). % parametri del processo sigma2=100; rho=0.7; % assi indipendenti a,b 5

5 (a 2 2ρ[m]ab+b 2 )/(σ2 (1-ρ 2 [m]) ) dove ρ[m] è il coefficiente di correlazione.

6 a=[-1:.01:1]*4*sqrt(sigma2); b=[-1:.01:1]*4*sqrt(sigma2); A=repmat(a',1,length(b)); B=repmat(b,length(a),1); % densità di probabilità congiunta p=1/(2*pi*sigma2*sqrt(1-rho^2)) * exp(-.5* (A.^2-2*rho.*A.*B+B.^2) / (sigma2*(1-rho^2)) ); % visualizzazione contour(a,b,p,20); axis square; mesh(a,b,p); % probabilità conizionata at=10; [v,n]=min(abs((a-at))); pat=1/sqrt(2*pi*sigma2)*exp(-0.5*(a(n))^2/sigma2); % visualizzazione plot(b,p(n,:)/pat,'r',b,1/sqrt(2*pi*sigma2).*exp(0.5*(b).^2/sigma2),' hb'); 6

p=1/(2*pi*sigma2*sqrt(1-rho^2)) * exp(-.5* (A.^2-2*rho.*A.*B+B.

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