Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari

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1 Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari N Del Buono 1 Introduzione Consideriamo un sistema di n equazioni in n incognite a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n, (1) con x i incognite del sistema, a ij coefficienti del sistema, b i termini noti Utilizzando la notazione matriciale il sistem si scrive come Ax = b Sappiamo che il sistema ammette una ed una sola soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti (A) ha determinante diverso da zero (è non singolare) La soluzione x del problema puo essere calcolata utilizzando la Regola di Cramer, che permette di determinare le componenti del vettore x mediante la seguente formula: x i = det A i det A i = 1,, n, (2) essendo A i è la matrice ottenuta da A sostituendo la sua i-esima colonna con il termine noto b Dalla (2) è evidente che per ottenere una componente della soluzione è necessario il calcolo di n + 1 determinanti di ordine n Si può facilmente dedurre che il numero di operazioni necessarie per il calcolo del determinate di una matrice di ordine n è circa n!, quindi questa strada non permette di poter determinare velocemente la soluzione del nostro sistema 1

2 11 Sistemi triangolari Prima di affrontare la soluzione algoritmica di un sistema lineare vediamo qualche particolare sistema che può essere agevolmente risolto Consideriamo un sistema con matrice dei coefficienti triangolare superiore: a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1i x i +a 1n x n = b 1 a 22 x 2 +a 2i x i +a 2n x n = b 2 a ii x i +a in x n = b i a nn x n = b n con a ii 0 per ogni i In questo caso la soluzione x è immediatamente calcolabile Infatti: x n = b n a nn n (4) b i a ij x j j=i+1 x i = i = n 1,, 1 a ii Il metodo (4) prende il nome di metodo di sostituzione all indietro, poichè il vettore x viene calcolato partendo dall ultima componente Consideriamo ora un sistema triangolare inferiore: a 11 x 1 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 a i1 x 1 +a i2 x 2 +a ii x i = b i a n1 x 1 +a n2 x 2 +a ni x i +a nn x n = b n In questo la soluzione viene calcolata con il metodo di sostituzione in avanti: x 1 = b 1 a 11 i 1 (6) b i a ij x j j=1 x i = i = 2,, n 1 a ii (3) (5) 2

3 12 Aspetti implementativi del metodo delle sostituzioni Osserviamo che l i-simo passo dell algoritmo di sostituzione in avanti (6) richiede il calcolo del prodotto scalare fra il vettore riga A(i, 1 : i 1) ed il vettore colonna x(1 : i 1) (si noti che è stata utilizzata la notazione Matlab) L accesso alla matrice A è fatto dunque per righe e per questomotivo l algoritmo di sostituzione in avanti viene chiamato orientato per righe La sua codifica in linguaggio Matlab è di seguito descritta: % Codifica Matlab: Dati di input A, b, dati di output x function [x]=forwardrow(a,b) % aggiungere controllo sulle dimensioni della matrice A % aggiungere controllo sulle dimensioni del vettore b n=size(b,1) x(1)=b(1)/a(1,1) for i=2:n end x=x x(i)=1/a(i,i)*( b(i)-a(i,1:i-1)*(x(1:i-1) ) ) Il numero delle moltiplicazioni e divisioni necessarie per eseguire l algoritmo è n(n + 1)/2, mentre il numero di addizioni e sottrazioni è n(n 1)/2: quindi il costo totale in termini di flops (floating point operations) è n 2 flops Analogamente si puo ricavare il costo computazionale dell algoritmo all indietro, la cui codifica Matlab è la seguente: % Codifica Matlab: Dati di input A, b, dati di output b % in questo caso la soluzione è sovrascritta al vettore b function [b]=backwordrow(a,b) % aggiungere controllo sulle dimensioni della matrice A % aggiungere controllo sulle dimensioni del vettore b n=size(b,1) for j=n:-1:2 b(j)=b(j)/a(j,j) b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*a(1:j-1,j) 3

4 end b(1)=b(1)/a(1,1) Si osservi che in codici che devono risolvere sistemi triangolari di grandi dimensioni si avrà un risparmio di memoria memorizzando solo la porzione triangolare salla matrice dei coefficienti 2 Metodo di Eliminazione di Gauss Il metodo di eliminazione di Gauss ci permette di calcolare la soluzione del sistema Ax = b trasformando il sistema asseganto in uno equivalente, ma più semplice DEF: Due sistemi si dicono equavalenti quando ammettono lo stesso insieme di soluzioni, nel nostro caso quando hanno la stessa soluzione Il processo di eliminazione di Gauss si basa su tre semplici operazioni che trasformano il sistema in uno equivalente Per descrivere queste operazioni indichiamo con E k la k-ima equazione: E k : a k1 x 1 + a k2 x 2 + a k3 x a kn x n = b k, Utilizzando la precedente notazione, il sistem si può scrivere nel seguente modo: E 1 E 2 S = E n Il sistema S può essere trasformato in un sistema equivalente S mediante le seguenti operazioni elementari: 1 scambianto la i-sima equazione con la j-sima; 2 sostituendo all i-sima equazione un suo multiplo (moltiplicato per uno scalare diverso da zero); 3 sostituendo alle j-sima equazione, una combinazione lineare di se stessa con la i-sima equazione 4

5 Ricordando l esempio numerico svolto a lezione andiamo a scrivere le equazioni che permettono di aggiornare la matrice dei coefficienti del nostro sistema e che costituiscono il metodo di eleminazione di Gauss Poichè il metodo prevede un certo numero di passi successivi (n 1) indichiamo con ij,b(1) i, gli elementi della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti al primo passo Cioè riscriviamo il sistema del seguente modo: 11 x x x n x n = b (1) 1, 21 x x x n x n = b (1) 2, (7) n1 x 1 + n2 x 2 + n3 x nnx n = b (1) n Dobbiamo trasformare il sistema in uno equivalente triangolare superiore azzerando gli elementi delle colonne Passo 1 Supponiamo che l elemento pivotale al primo passo sia diverso da zero, cioè che risulti 11 0 Introduciamo i seguenti moltiplicatori: m i1 = a(1) i1 11, i = 2,, n Per eliminare l incognita x 1 da tutte le righe successive alla prima, sottraiamo alla generica i-sima equazione la prima equazione moltiplicata per m i1 (utilizziamo l operazione elementare: E i m i1 E 1 ) Operando in questo modo, otterremo un nuovo sistema equivalente, avente la seguente forma: 11 x x x n x n = b (1) 1, a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x a (2) 2n x n = b (2) 2, (8) a (2) n2 x 2 + a (2) n3 x a (2) nnx n = b (2) n, in cui i coefficienti della matrice e i termini noti sono dati dalle seguenti formule: a (2) ij = ij m i1 1j i, j = 2,, n, b (2) i = b (1) i m i1 b (1) 1, i = 2,, n 5

6 Proseguendo in modo analogo possiamo trasformare il sistema in modo da eliminare la variabile x 2,x 3, ecc Passo k Supponiamo di aver effettuato k passi (quindi supponiamo che tutti gli elementi pivotali a (j) ii per j = 1,, k 1 siano diversi da zero) Il sistema si presenterà nella forma: 11 x x x k x k + 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x 2+ a (2) 23 x 3 + +a (2) 2k x k +a (2) 2n x n = b (2) 2, a (3) 33 x 3 + +a (3) 3k x k +a (3) 3n x n = b (3) 3, +a (k) kk x k +a (k) k,k+1 x k+1 +a (k) kn x n = b (k) k, +a (k) k+1k x k +a (k) k+1,k+1 x k+1 +a (k) k+1n x n = b (k) k+1, +a (k) nk x k +a (k) n,k+1 x k+1 +a (k) n,nx n = b (k) n, Le formule che ci permettono di trasformare il sistema dal passo k al passo k + 1 (cioè di eliminare la variabile x k dalla k + 1-sima equazione in poi sono le seguenti: se a (k) kk 0, consideriamo i moltiplicatori m ik = a(k) ik a (k) kk, i = k + 1,, n e aggiorniamo gli elementi della matrice dei coefficienti ed i termini noti come segue: a (k+1) ij b (k+1) i = a (k) ij = b (k) i m ik a (k) kj i, j = k + 1,, n, m ik b (k) k, i = k + 1,, n Alla fine del processo (dopo n 1 passi) otteniamo un sistema triangolare 6

7 superiore equivalente a quello di partenza: n 0 a (2) 22 a (2) 2n 0 0 a (n 1) n 1 n 1 a (n 1) n 1 n a (n) nn x 1 x 2 x n 1 x n = b (1) 1 b (2) 2 b (n 1) n 1 b (n) n la cui soluzione, come abbiamo visto, si ottiene facilmente con il metodo di sostituzione all indietro DEF: Gli elementi a (k) kk eleminazione di Gauss si dicono elementi pivotati del metodo di Nell eseguire il metodo di Gauss abbiamo ipotizzato che gli elementi pivotali a (k) kk siano non nulli per ogni k = 1, 2,, n 1 Questa ipotesi non è limitante in quanto la non singolarità della matrice A permette, con un opportuno scambio di righe in A (k), di ricondursi a questo caso Osserviamo che scambiare due righe in A (k) significa sostanzialmente scambiare due equazioni nel sistema A (k) x = b (k) e ciò non altera la natura del sistema stesso (lo scambio di due righe in un sistema lineare è una operazione elementare che non modifica la soluzione del sistema stesso) Proprietà Se la matrice A dei coefficienti del sistema lineare è non singolare (det(a) 0) e se per un certo k l elemento pivotale a (k) kk = 0 allora esiste i {k + 1, k + 2,, n} tale che a (k) ik 0 (cioè esiste un elemento nella k-esima colonna diverso da zero) Dimostrazione: Consideriamo la matrice A (k) e supponiamo a (k) kk = 0 Supponiamo per assurdo che a (k) ik = 0 per ogni i = k + 1,, n, allora A(k) avrebbe la seguente struttura: 11 1,k 1 1k 1,k+1 1n A (k) a (k 1) k 1,k 1 a (k 1) k 1,k a (k 1) k 1,k+1 a (k 1) k 1,n = 0 a (k) k,k+1 a (k) kn 0 0 a (k) n,k+1 a (k) nn 7

8 Partizioniamo A (k) nel seguente modo ( A (k) Tk 1 = 0 ˆTn k+1 ) Allora det(a (k) ) = det(t k 1 ) det( ˆT n k+1 ) = det(t k 1 ) 0 = 0 Conseguentemente dovrebbe essere anche det(a) = 0 e questo contrasta con l ipotesi fatta Quindi possiamo concludere che se a (k) kk = 0 e det A 0 deve necessariamente esistere un elemento a (k) ik 0, con i {k + 1, k + 2,, n} 21 Strategie di Pivoting nel metodo di eliminazione di Gauss Le strategie di pivoting nel metodo di Gauss hanno principalmente lo scopo di evitare gli elementi pivotali nulli Infatti al k-esimo passo la matrice A (k) si presenta nella forma: 11 1,k 1 a (k 1) k 1,k 1 1k 1n a (k 1) k 1,k a (k 1) k 1,n 0 a (k) kk a (k) kn 0 a (k) nk a (k) nn Il passo successivo consiste nell azzerare gli elementi al di sotto dell elemento a (k) kk situati nella k-esima colonna La strategia di Pivoting parziale prevede che prima di azzerare gli elementi al di sotto dell ele- mento a (k) kk, si ricerchi l elemento di massimo modulo tra gli elementi a (k) kk, a(k) k+1,k,, a(k) nk e si scambi la riga in cui si trova questo elemento con la k-esima qualora esso sia diverso da a (k) kk In altri termini il pivoting parziale richiede le seguenti operazioni: 1 determinare l elemento a (k) rk tale che a (k) rk = max k i n a(k) ik ; 8

9 2 effettuare lo scambio tra la r-esima e la k-esima riga In alternativa alla strategia di pivoting parziale si può effettuare la strategia di Pivoting totale che costa un po di più ma che rende più stabile il metodo di Gauss La strategia di pivoting totale è la seguente: 1 determinare gli indici r, s tali che a (k) rs = max k i,j n a(k) ij ; 2 effettuare lo scambio tra la r-esima e la k-esima riga e tra la s-esima e la k-esima colonna 22 Classi di matrici che non necessitano di Pivoting Tra le classi di matrici che non hanno bisogno di alcuna strategia di pivoting è opportuno citare le matrici a predominanza per colonne e le matrici simmetriche e definite positive DEF: Una matrice A di ordine n si dice a predominanza diagonale per colonne se: n a ii a ij, i = 1, 2,, n j=1,j i Infatti è possibile dimostrare che la predominanza diagonale è invariante sotto trasformazioni elementari di Gauss, cioè le sottomatrici trasformate ad ogni passo sono pure a predominanza diagonale per colonne di conseguenza non è necessario utilizzare alcuna strategia di pivoting DEF: Una matrice quadrata A di ordine n, simmetrica (cioè A T = A), si dice definita positiva se e solo se: x T Ax > 0 per ogni x IR n, x 0 Uno dei criteri possibili per determinare se una matrice è definita positiva è fornito dal criterio di Sylvester che stabilisce che una matrice A simmetrica di ordine n è definita positiva se e solo se det(a k ) > 0 per k = 1, 2,, n, dove A k è la sottomatrice principale di testa di ordine k 9

10 Poichè è noto che a (k) kk = det(a k) det(a k 1 ) k = 1,, n, det(a 0 ) = 1 essendo gli a (k) kk gli elementi pivotali nel metodo di Gauss Ad ogni passo l elemento pivotale è positivo quindi non è necessaria alcuna strategia di pivoting 3 Risoluzione di sistemi lineari mediante fattorizzazioni La semplicità e l efficienza degli algoritmi di risoluzione di sistemi particolari, suggerisce di trasformare un generico sistema di equazioni lineari in più sistemi del tipo analizzato (triangolare inferiore o superiore) Sia A la matrice dei coefficienti del sistema lineare, se esistono due matrici M, R, triangolari (o ortogonali) tali che: A = MR, allora il sistema di equazioni Ax = b si può riscrivere come: MRx = b Quindi ponendo y = Rx si calcola x mediante la risoluzione dei due sistemi: My Rx = b = y (9) La realizzazione della fattorizzazione (A = M R) assicura comunque che i due nuovi sistemi sono risolvibili Infatti essendo: det(a) = det(mr) = det(m) det(r), la non singolarità della matrice A di partenza (det(a) 0) assicura la non singolarità delle matrici fattori M ed N (quindi l esistenza di una unica soluzione dei sistemi (9) 4 Interpretazione del metodo di Gauss come fattorizzazione Il metodo di eliminazione di Gauss può essere interpretato come un metodo di fattorizzazione della matrice dei coefficienti A 10

11 DEF: Siano u, v IR n 1 due vettori colonna tali che v t u 1, allora la matrice M = I uv T si dice matrice elementare ed è tale che 1 M è nonsingolare; 2 la matrice inversa di M è M 1 = I uvt v T u 1 Si osservi che l inversa di una matrice elementare è ancora una matrice elementare Noi siamo interessati a determinare delle matrici elementari che effettuano le operazioni elementari (che permettono di trasformare un sistema in uno equivalente) di: 1 scambio di una riga (colonna) i con la riga j, 2 moltiplicazione di una riga (colonna) per un coefficiente α 0 3 somma di un multiplo di una riga i alla riga j Esempi di matrici elementari che effettuano le precedenti operazioni elemntari sono E 1 = I uu T = 1 0 0, essendo u = e 1 e E 2 = I (1 α)e 2 e T 2 = E 3 = I + αe 3 e T 1 = α α 0 1, essendo α 0, essendo α 0 (ricordando che e 1, e 2, e 3 rappresentano i vettori della base canonica di IR 3 ) Utilizzando delle matrici elementari come moltiplicatori a sinistra della matrice A dei coefficienti di un sistema lineare possiamo dimostrare che il metodo si eleminazione di Gauss è equivalente a fattorizzare la matrice A di partenza nel prodotto di due matrici A = LU con U = A (n) ed L triangolare inferiore Definiamo a tal fine le matrici elementari di eliminazione o di Gauss: sia m k = (0,, 0, m k+1,k, m k+2,k,, m n,k ) T IR n, con m j,k moltiplicatori 11

12 del metodo di eliminazione di Gauss al passo k e definiamo M k = 0 0 m k+1,k 1 0 = I n m k e T k 0 0 m k+2,k m n,k La matrice M k costruita è 1 una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali tutti uguali ad 1 (quindi det(m k ) 0); 2 una matrice invertibile 3 una matrice elementare, infatti M k = I m k e T k (e k indica il k-simo vettore della base canonica di IR n 4 la matrice inversa della M k è M 1 k = I + m k e T k ; ed infine soddisfa la seguente proprietà M k A (k) = A (k+1) Quindi nel caso in cui il processo di eliminazione di Gauss possa procedere, tutti gli elementi pivot non nulli, abbiamo la sequenza di trasformazioni di Gauss del sistema lineare: M n 1 M n 2 M 1 A (1) x = M n 1 M n 2 M 1 b Indicando con M il prodotto di tutte le matrici elementari di Gauss M = M n 1 M n 2 M 1, allora la matrice U = MA è una matrice triangolare superiore Inoltre la matrice M è il prodotto di matrici elementari di eliminazione e abbiamo osservato che è una matrice triangolare inferiore ed è invertibile Posto L = (M n 1 M n 2 M 1 ) 1 = M 1 1 M 1 2 M 1 n 1 L risulata una matrice triangolare inferiore, quindi MA = U A = M 1 U = LU Tale fattorizzazione come vedremo in seguito viene detta fattorizzazione LU della matrice A e si potrà calcolare attraverso una tecnica compatta 12

13 5 Fattorizzazione LU Considerata la matrice dei coefficienti A di un sistema lineare di n equazioni in n incognite, DEF: Si dice fattorizzazione LU della matrice A, la scomposizione della matrice nel prodotto di due matrici L triangolare inferiore, ed U triangolare superiore, tali che: A = LU; cioè (in termini di componenti) a ij = n l i,k u k,j, per ogni i, j = 1,, n; tenendo conto che le matrici sono triangolare inferiore la prima, triangolare superiore la seconda, anche: a ij = min(i,j) l i,k u k,j, per ognii, j = 1,, n Osserviamo che per determinare la fattorizzazione LU di una matrice quadrata A di ordine n, dobbiamo determinare gli elementi incogniti l ij e u ij delle matrici L ed U Il numero degli elementi diversi da zero in una matrice triangolare (superiore o inferiore) è dato da n = n(n + 1) 2 Quindi il numero totale di elementi delle matrici L, U (incognite) da determinare per ottenere la fattorizzazione cercata, è 2 n(n+1) 2 = n(n+1) = n 2 +n Il numero delle equazioni a disposizione è n 2, cioè le condizioni da imporre affinchè LU = A, sono tante quanti gli elementi della matrice A Il sistema di equazioni nelle incognite l ij, u ij pur essendo non lineare e di dimensione maggiore di n è di semplice soluzione se si scelgono a-priori i valori degli elementi diagonali di L (che sono in totale n) In particolare si pone l ii = 1 per ogni i 13

14 Per determinare i valori delle incognite l ij, u ij, si dividono le equazioni in due gruppi i l ik u kj = a ij, per i j, 1 gruppo j l ik u kj = a ij, per j < i; 2 gruppo il calcolo delle incognite procede: determinando le componenti della prima riga di U utilizzando le equazione del primo gruppo, determinando le componenti della prima colonna di L utilizzando le equazioni del secondo gruppo iterando il procedimento in modo ricorsivo (cioè si passa al calcolo della riga succesiva di U e poi della colonna di L) Per esempio: per calcolare la prima riga di U si pone i = 1 nell equazioni del primo gruppo e si ha: 1 l 1k u kj = a 1j per 1 j Da l 11 = 1, ricaviamo u 1j = a 1j, per j = 1,, n per calcolare gli elementi della prima colonna di L si utilizzano le equazioni del secondo gruppo ponendo j = 1, 1 l ik u k1 = a i1, per 1 < i; da l i1 u 11 = a i1, per 1 < i, ricaviamo l i,1 = a i1 u 11, per i = 2,, n 14

15 In modo ricorsivo per (ij) = (22), (33), si ha: i l ik u kj = a ij, per i j i 1 l ik u kj + l ii u ij = a ij, i 1 u ij = a ij l ik u kj, per i j per j = i,, n e per gli elementi della matrice L j l ik u kj = a ij,, per j < i j 1 l ik u kj + l ij u jj = a ij, per j < i l ij = a ij j 1 l iku kj u jj, per i = j + 1,, n Osserviamo che nella formula per calcolare u ij intervengono soltanto quantità già calcolate sia per la matrice U che per la matrice L Il costo computazionale per ottenere la fattorizzazione LU della matrice A comprende: n 1 = (n 1)n 2 divisioni; il numero delle moltiplicazioni per ottenere gli elementi di U è pari a quello per calcolare gli elementi di L, e risulta: i 1 moltiplicazioni per u ij, (n + 1 i)(i 1) moltiplicazioni per calcolare una riga di U n i=1 (n + 1 i)(i 1) moltiplicazioni per tutte le righe Il costo computazionale complessivo è (n 1)n 2 n + 2 (n + 1 i)(i 1)= 1 3 n3 + O(n 2 ) i=1 15

16 L algoritmo per il calcolo della fattorizzazione LU della matrice A va a buon fine se gli elementi u k,k che compaiono al denominatore risultano diversi da zero Osserviamo che: u 11 = a 11 ; u 22 = a 22 l 21 u 12 dau 12 = a 12 e l 21 = a 21 /u 11 = a 12 /a 11 ricaviamo u 22 = a 11a 22 a 11 a 21 = 1 ( a11 a det 12 a 11 a 11 a 21 a 22 ) ; in modo analogo si può provare che le quantità u k,k si esprimono in termini dei minori principali di testa della matrice, e risultano diversi da zero se e solo se i minori principali sono non nulli Questo risultato ha validità generale Infatti si prova che: Teorema Data una matrice A, quadrata di ordine n, esiste la fattorizzazione LU di A se e solo se tutti i minori principali di testa di A sono diversi da zero La condizione che le quantità u kk debbano essere necessariamente diverse da zero è conseguenza del fatto che il determinante della matrice triangolare U è il prodotto dei suoi i elementi diagonali: det(a) = det(lu) = det(l) det(u) = 1 det(u) = n u kk L algoritmo ha validità generale, in quanto non introduce condizioni più restrittivi di quelle che assicurano la esistenza della fattorizzazione Poiché la condizione sui minori è più forte di quella del determinante, si pone il problema di trovare delle semplici condizioni, riscontrabili in problemi applicativi, che assicurano minori principali di testa diversi da zero DEF: Una matrice A si dice a predominanza in senso debole per righe se a ii j i a ij per ogni i esiste un indice i tale che a ii > j i a ij 16

17 DEF: Una matrice A si dice riducibile se esiste una matrice di permutazione P tale che: ( ) P AP T A11 0 = A 21 A 22 Una matrice si dice irriducibile altrimenti Esempi di matrici che soddisfano questa proprietà sono: matrici a predominanza diagonale per righe: matrici a predominanza diagonale per colonne: matrice a predominanza diagonale in senso debole per righe e irriducibili : matrici a predominanza diagonale per colonne in senso debole ed irriducibili; matrici simmetriche definite positive Gli esempi precedenti evidenziano una grande varietà di matrici con minori principali non nulli a cui è possibile applicare la fattorizzazione LU, senza, però, esaurire tutte le matrici non singolari 6 Analisi degli errori Qualunque algoritmo si utilizza per calcolare la soluzione di un sistema lineare mediante un computer, si otterrà una soluzione approssimata Infatti, in aritmetica finita (l aritmentica del computer) l uso dei numeri floatingpoint introduce un errore di arrotondamento ad ogni operazione Gli errori associati ad ogni operazione si propagano nel risultato finale, che può avere un errore accetabile o meno a seconda della sua grandezza Valutiamo la propagazione degli errori nella risoluzione del sistema lineare Ax = b Indichiamo con x la soluzione numerica formita da un algoritmo ( quindi x è l approssimazione della soluzione del problema) Una prima indicazione della qualità della approssimazione x è data grandezza del vettore residuo r : r = b A x 17

18 ed in particolare dalla quantità b A x b = r b ; detta residuo normalizzato Il residuo normalizzato è preso come un misura della bontà dell approssimazione della soluzione di un sistema lineare, e varia da algoritmo ad algoritmo Vediamo come il residuo normalizzato si lega all errore commesso; si ha: da cui ricaviamo r = b A x = Ax A x = A(x x) x x = A 1 r Quindi, passando alle norme: x x = A 1 r A 1 r Osserviamo inoltre che da cui ricaviamo Quindi l errore relativo b = Ax b = Ax A x x x x 1 x A b A A 1 r b La precedente relazione evidenzia come errore dovuto al calcolo della approsssimazione numerica in aritmetica finita dipende dal fattore: µ(a) = A A 1 chiamato numero di condizione della matrice A Osserviamo che µ(a) non dipende dal particolare algoritmo utilizzato per determinare l approssimazione x, mentre il residuo normalizzato r b dipende da esso Il numero di condizione di una matrice è definito utilizzando una norma; in generale, però, pur variando da norma a norma, il suo ordine di grandezza varia di poco in virtù della equivalenza di tutte le norme Il numero di condizione amplifica l errore nei dati del sistema riportandoli sul risultato 18