Calcolo Numerico I - a.a Laboratorio 9 - Sistemi lineari

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1 Calcolo Numerico I - a.a Laboratorio 9 - Sistemi lineari Fattorizzazione di Cholesky Se A R n n è una matrice simmetrica definita positiva, allora esiste una matrice R R n n triangolare superiore tale che A = R T R. Tale fattorizzazione è detta fattorizzazione di Cholesky. Esercizio Verificare che la matrice A = è simmetrica definita positiva. Calcolare con il comando chol di Matlab la fattorizzazione di Cholesky di A. Dati quindi i termini noti b = 3, b 2 = si risolvano i sistemi lineari Ax i = b i per i =, 2 mediante la fattorizzazione di Cholesky di A e la risoluzione dei corrispondenti sistemi triangolari. Osserviamo che poichè A = R T R, la, 0 7

2 risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione Laboratorio di Calcolo Numerico in sequenza dei due sistemi triangolari A.A Lab.2 R T y = b Rx = y Metodi Iterativi per sistemi lineari Il metodo di Jacobi Dati una matrice A R N N non singolare e un vettore b R N, il metodo di Jacobi approssima la soluzione x R N del sistema lineare Ax = b applicando le iterazioni: x k+ i = b i A ii x 0 assegnato N j=,j i A ij x k j, i =,2,...,N dove l indice in alto rappresenta il numero di iterazioni e l indice in basso la componente del vettore. Assegnati il numero massimo per le iterazioi nitmax e la tolleranza toll il metodo si arresta se si verifica uno dei due casi seguenti: il numero di iterazioni raggiunge nitmax 2

3 la norma del residuo è sufficientemente piccola: r = Ax k b < toll. Il metodo di Gauss-Seidel Il metodo ha la stessa identica struttura del metodo di Jacobi, e cambia solamente come viene aggiornato il vettore delle soluzioni ad ogni passo: x k+ i = A ii x 0 assegnato. b i i j= A ij x k+ j N j=i+ Il metodo SOR A ij x k j, i =,2,...,N A partire dal metodo di Gauss-Seidel, introducendo un parametro di rilassamento ω si definisce il metodo SOR (Succesive Over Relaxation nel modo seguente: x k+ i = ω A ii b i i j= i =,2,...,N x 0 assegnato. A ij x k+ j N j=i+ A ij x k j +( ω)x k j, Si osservi che per ω = ritroviamo il metodo di Gauss-Seidel. 3

4 MEMO matrici di iterazione Decomponiamo la matrice A come A = D-E-F D + L + U, dove D è la matrice diagonale la cui diagonale principale corrisponde alla diagonale principale di A, -E L è la matrice triangolare inferiore che corrisponde alla parte triangolare inferiore di A e -F U è la matrice triangolare superiore che corrisponde alla parte triangolare superiore di A. Allora la matrice di iterazione di Jacobi è: B J = D (L+U) E F la matrice di iterazione di Gauss-Seidel è: B GS = (D+L) -E FU. la matrice di iterazione di SOR è: B ω = (I -+ωd L) E [( ω)i + ωd U]. F Esercizi Utilizzando le function matlab jacobi, gseidel e sor, scaricate dal sito della Prof. Zampieri, eseguire quanto richiesto ai punti seguenti:. Si considerino i sistemi lineari 3 3 della forma A i x = b i con b i calcolato in modo che la soluzione del sistema sia sempre il vettore unitario (cioè b i = A i ones(3,)) e le matrici A i date da A = , A 2 = ,

5 A 3 = , A = Si verifichi che per la matrice A il metodo di Jacobi diverge, mentre quello di Gauss-Seidel converge. Viceversa, nel caso della matrice A 2 è il metodo di Jacobi a convergere, mentre quello di Gauss-Seidel diverge. Nei due casi restanti il metodo di Jacobi converge più lentamente rispetto a Gauss-Seidel e viceversa. Si prenda x 0 = [0,0,0] T, toll = 0, nitmax = Stabilire quali tra le seguenti matrici soddisfano condizioni sufficienti a garantire la convergenza del metodo iterativo di Jacobi A = A 3 = , A 2 =, A = , Per quelle che non le soddisfano verificare la convergenza calcolando il raggio spettrale della matrice di iterazione. Per le matrici che risultano convergenti, si risolva il sistema lineare A i x = [,0, ] T prendendo x 0 = [0,0,0] T, toll = 0 6, nitmax = 200. Calcolare l errore relativo prendendo come 5

6 esatta la soluzione del sistema calcolata con il comando \ di Matlab e confrontare l errore con la tolleranza richiesta. 3. Si dica quali tra le seguenti matrici soddisfano condizioni sufficienti a garantire la convergenza del metodo iterativo di Gauss- Seidel: A = A 3 = , A 2 =, A = , Per quelle che non le soddisfano verificare la convergenza calcolando il raggio spettrale della matrice di iterazione. Per le matrici che risultano convergenti, si risolva il sistema lineare A i x = [,0, ] T prendendo x 0 = [0,0,0] T, toll = 0 6, nitmax = 200. Calcolare l errore relativo prendendo come esatta la soluzione del sistema calcolata con il comando \ di Matlab e confrontare l errore con la tolleranza richiesta.. Calcolare con il metodo SOR ed ω = 0.05 i, i =...39 la soluzione del sistema lineare Ax = b con 3 5 6

7 A = 0 8 b = Disegnare il grafico di ρ(b ω ) per ω (0,2). Disegnare il grafico del numero di iterazioni effettuate eseguendo il SOR a partire da x 0 = [0,0,0,0] T ed arrestando il processo quando il residuo è piu piccolo di e. Confrontare i grafici ottenuti con il valore di ω ott noto. 7