Programma del corso di: Laboratorio di Programmazione e Calcolo Corso di laurea in Matematica a.a Proff. B. Paternoster, D.

Transcript

1 Programma del corso di: Laboratorio di Programmazione e Calcolo Corso di laurea in Matematica a.a Proff. B. Paternoster, D. Conte Risoluzione di un problema con il calcolatore: dal problema reale al metodo, all algoritmo, alla codifica, all analisi dei risultati. Sorgenti e propagazione degli errori: nel modello, nel metodo, nella risoluzione col calcolatore. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. Linguaggi e strutture algoritmiche. Input e l output, assegnazione, selezione, cicli. Sistemi di numerazione; sistema binario. Rappresentazione delle informazioni in memoria. Numeri interi e overflow. Rappresentazione di numeri reali: fied point, floating point. Insieme dei numeri macchina: errore di arrotondamento, precisione di macchina, minimo numero rappresentabile. Aritmetica floating point. Cancellazione numerica. Valutazione di un algoritmo: complessità di spazio e di tempo. Esempi: memorizzazione di matrici Sparse, algoritmo di Horner, calcolo del determinante. Richiami sugli spazi vettoriali. Vettori e matrici, norme. Matrici di tipo particolare. Matrici simmetriche definite positive: criterio di Sylvester. Risoluzione di sistemi lineari; metodi diretti e iterativi. Indice di condizionamento di sistemi lineari. Risoluzione di sistemi triangolari, metodi di sostituzione in avanti e all indietro, complessità computazionale. Metodo di eliminazione di Gauss e calcolo della sua complessità; pivoting parziale, scaling e pivoting totale. Fattorizzazione LU e PLU. Fattorizzazione di matrici tridiagonali: metodo di Thomas. Fattorizzazione di matrici a banda. Fattorizzazione di matrici simmetriche definite positive: teorema di Cholesky. Metodi iterativi per Sistemi Lineari: Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Metodi iterativi in forma matriciale, matrice di iterazione. Convergenza, velocità di convergenza. Casi particolari: le matrici tridiagonali. Complessità computazionale dei metodi iterativi. Il metodo SOR. Algoritmi basati su metodi iterativi: stima dell errore e criteri d arresto. Memorizzazione di matrici sparse. Radici reali di equazioni non lineari. Metodi iterativi. Metodo di bisezione. Metodi di linearizzazione locale. Metodo delle secanti, metodo delle tangenti (Newton-Raphson). Teoremi di convergenza locale e globale, ordine di convergenza. Metodo di Newton per equazioni con radici multiple. Iterazioni di punto fisso, teorema di convergenza. Aspetti computazionali: test di convergenza, velocità di convergenza. Calcolo numerico delle radici di polinomi: condizionamento del problema, metodo di Newton Horner. Algoritmo e codifica in C di programmi basati sui principali metodi trattati. Testi consigliati: G. Monegato Fondamenti di Calcolo Numerico Ed. Clut A. Murli, G. Giunta, G. Laccetti, M. Rizzardi - Laboratorio di Programmazione I, Liguori Editore V. Comincioli - Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni - Ed. Mc Graw Hill

2 Modalita d esame L esame consiste in una prova orale, che comprenderà anche una discussione sul software matematico sviluppato in C, secondo le specifiche di seguito riportate. Consegnare un dischetto o CD con i codici C; può accadere che si proceda a verificarne il funzionamento in laboratorio, anche su sistemi differenti da quelli già utilizzati; la stampa su carta dei codici C sviluppati; la stampa su carta dei risultati ottenuti sugli esempi utilizzati (organizzati in tabelle); la stampa su carta della documentazione esterna dei programmi sviluppati. Documentazione esterna di una routine Scopo: Descrizione sintetica dello scopo della routine Specifiche d uso: testata della routine Descrizione: descrizione sintetica della routine e del metodo utilizzato Bibliografia: eventuali riferimenti bibliografici Parametri: descrizione dei parametri: nome variabile, tipo, funzione (in input e/o output) Routines ausiliarie: descrizione di eventuali routines ausiliarie Indicatori di errori: eventuali segnalatori di errori o anomalie Accuratezza: ordine di accuratezza assicurato all utente Complessità computazionale: ordine di complessità dell algoritmo utilizzato Esempio test: Esempio test, con dati ed risultati I Parte della Prova di Laboratorio Sviluppo, test e valutazione di codici in C per la risoluzione numerica di equazioni non lineari mediante il Metodo di Newton Metodo di Newton per radici multiple (facoltativo) Metodo di iterazione a punto fisso La correzione avverrà in Laboratorio. Test e valutazione del software: I metodi devono essere applicati a diverse equazioni non lineari, e, per quanto riguarda il metodo di punto fisso, con diverse scelte per la funzione g. Per ciascuna funzione g, verificare che lo schema di punto fisso =g() è equivalente ad f()=0. Dalla soluzione numerica ottenuta con il metodo di Newton, studiare, senza eseguire alcuna iterazione di punto fisso, quale, tra gli schemi di punto fisso scelti, converge e quale no, giustificando la risposta.

3 Richiedere accuratezze di 0-4, 0-6 e la massima accuratezza possibile, scegliendo l approssimazione iniziale in base al grafico della funzione (usare il comando fplot di MATLAB). Confrontare il numero di iterazioni impiegate da ciascun metodo a parità di accuratezza, e verificare se l accuratezza richiesta è stata realmente ottenuta, confrontando la stima dell errore con l errore vero commesso. Verificare l ordine di convergenza dei metodi applicati calcolandolo sperimentalmente (facoltativo). Riportare i risultati ottenuti in tabelle e commentarli. Alcuni esempi di equazioni non lineari: ) f ( ) log Per il metodo di punto fisso considerare le scelte log e 4 e ( log ) ) f ( ) cos 4 cos 4 Per il metodo di punto fisso considerare le scelte: cos 4 cos cos 4 cos cos 4 cos 4 g( ) 8 4 sin 4 cos cos sin cos 4 cos 4 g4( ) 8 4 sin 4cos cos sin ) f ( ) 0 cos, nell intervallo [-0 0], con diverse scelte dell approssimazione iniziale.

4 II Parte della Prova di Laboratorio Sviluppo, test e valutazione dei codici in C per la risoluzione numerica di sistemi di equazioni lineari mediante i metodi iterativi Metodo di Jacobi Metodo di Rilassamento Metodi precedenti adattati per matrici sparse (facoltativo). La correzione avverrà in Laboratorio. Suggerimenti per il test e la valutazione del software: I metodi vanno applicati a diversi sistemi lineari, tra cui anche sistemi con matrice dei coefficienti malcondizionate. Testare i metodi con diversi valori di tolleranza, tra cui almeno 0-6 e la precisione massima. Utilizzare diversi valori del parametro di rilassamento e determinare sperimentalmente un valore ottimale. Confrontare l accuratezza dei metodi implementati calcolando l errore vero commesso e confrontandolo con la stima dell errore. Calcolare a posteriori il raggio spettrale della matrice di iterazione, verificando la coerenza con i risultati sperimentali. Confrontare l efficienza dei metodi iterativi utilizzati (facoltativo). Riportare i risultati ottenuti in tabelle e commentarli. Risultati da riportare in tabella: tolleranza richiesta, soluzione approssimata ottenuta, numero di iterazioni impiegate, stima dell errore, errore vero, Alcuni esempi di sistemi lineari: A b con: ) 4 A 0 4 con b 5 8 ; ) 0 4 A 4 con b ; 50 ) - -6 / 0 A -4-8 con b 0 / / 00 / 00 / 00 / 00 ; 4) 4 A -9 0 con b ;

5 6 9 5) A con b ; 6) / -/ A con b / / / ; ) A con b 5 ; 8) 9) 0) 5 4 A con b A 4 0, b e-8 e-8 e-8 0 A e-8 e- 4e-8 con b e-8 5e-8.e- e 8. e.e 8 ; ; ; ) (facoltativo) Utilizzare per la matrice A uno schema di memorizzazione opportuno A b