Analisi Numerica (2 moduli, 12 crediti, 96 ore, a.a )

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1 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica (2 moduli, 12 crediti, 96 ore, a.a ) 1

2 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Scopo dell Analisi Numerica? trovare gli algoritmi che risolvono un problema matematico nel minor tempo possibile e la massima accuratezza 2

3 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 definizione del problema reale costruzione del modello verifica che la soluzione trovata risolve il problema reale analisi della soluzione trovata formulazione del problema matematico risoluzione del problema matematico Analisi numerica 3

4 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Quanto impiego per raggiungere in auto Sassari da Cagliari? Ipotesi: Distanza: S=km 220 velocità media: v m =km 80 h verifica che la soluzione trovata risolve il problema reale T=2,75 h T=2 ore, 45 minuti Spazio=velocità*tempo s=v m *t L incognita è il tempo T T=S/v m Analisi numerica 4

5 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Dati i problemi: Obiettivo del corso risolvere un sistema di equazioni lineari approssimare una funzione reale calcolo di un integrale definito risoluzione di sistemi di equazioni non lineari calcolo di autovalori ed auto vettori risoluzione di equazioni differenziali 5

6 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Obiettivo del corso Lo studente dovrà essere in grado di conoscere i risultati teorici conoscere i metodi per la loro soluzione. scrivere ed implementare gli algoritmi conseguenti trovare le soluzioni numeriche valutare l affidabilità delle soluzioni 6

7 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Il modo di operare Presentazione dei risultati teorici (esistenza e unicità della soluzione) Studio dei metodi che possono risolvere i problemi (spesso iterativi). 7

8 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Traduzione dei metodi in algoritmi ovvero in una successione finita di passi o istruzioni (in cui ogni operazione è eseguibile e definita in modo non ambiguo). Studio della convergenza nel caso in cui tutti i calcoli vengono eseguiti esattamente. 8

9 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Analisi del comportamento degli algoritmi in presenza di errori di arrotondamento (Ciò accade usualmente allorché un algoritmo è implementato su di un calcolatore). Presentazione del software commerciale più diffuso per la risoluzione di problemi numerici. Apprendimento di un linguaggio di programmazione 9

10 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Il corso consiste in 48 ore di lezioni teoriche 48 ore di attività di laboratorio (in cui allo studente sono assegnati dei problemi da risolvere o con programmi già disponibili o con codici da mettere a punto. 10

11 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Programma del corso 1 modulo Richiami e nozioni preliminari. Spazi metrici e normati. Norme in R n e norme di matrici. Spazi a dimensione infinita. Trasformazioni e operatori. 11

12 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Classificazione problemi computazionali. Analisi degli errori. Sorgenti di errore. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore. Propagazione degli errori. Complessità computazionale. 12

13 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Sistemi lineari Metodi diretti Metodi iterativi Approssimazione di funzioni Interpolazione Migliore approssimazione 13

14 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Principale testo di riferimento V.Comincioli, Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, srl, Milano

15 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Altri testi di riferimento F.Fontanella, A. Pasquali, Calcolo Numerico, Metodi ed Algoritmi, Ed. Pitagora, Bologna. J.Stoer, R. Burlisch, Introduzione all'analisi Numerica, Ed. Zanichelli. E.Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical Methods, John Wiley, New York. G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Ed. Bologna. 15

16 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Testi di riferimento per il laboratorio W.J Palm III, Matlab 6, Mc Graw-Hill. W.H. Press et alii., Numerical Recipes, The art of Scientific Computing, Cambridge Press. 16

17 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Modalità dell esame del 1 modulo prove scritte 1 prova prova orale 1 prova finale per la verifica dell attività di laboratorio e della parte teorica. 17

18 Analisi Numerica 1 mod, a.a , Lezione, n.1 Informazioni utili Gli schemi delle lezioni e i problemi assegnati nel laboratorio saranno disponibili nel sito del Corso di Laurea. 18

19 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica (1 mod., 6 crediti, 48 ore, a.a , lez.2) 19

20 Spazio lineare (definizione) Per gli insiemi X={x,y, } e K={a,b,... }, X insieme di elementi di natura qualsiasi, K un campo di scalari siano definite le operazioni somma: x+y, x, yx prodotto: a*x, ak 20

21 (proprietà) 1) xx, yx x+y X 2) xx, ak axx 3) x+y=y+x 4) (x+y)+z=x+(y+z) 5) esiste un elemento 0X, tale che x+0=x xx 21

22 6) xx esiste l opposto x tale che x+(-x)=0 7) a(bx)=(ab)x 8) a(x+y)=ax+ay 9) (a+b)x=ax+bx 10) 1x=x Allora X è detto uno spazio lineare su K 22

23 In Analisi Numerica usualmente K è l insieme dei numeri reali e X è detto Spazio Lineare Reale 23

24 Perché questa definizione? I matematici costruiscono teorie il più generale possibile che siano valide per il maggior numero di situazioni (teorie astratte o generali) 24

25 Esempio 1 insieme di tutte le coppie di numeri reali R 2 ={ (x 1,x 2 ) x 1,x 2 R} insieme di tutte le terne di numeri reali R 3 ={ (x 1,x 2, x 3 ) x 1,x 2, x 3 R} insieme di tutte le n-ple di numeri reali R n ={ (x 1,, x n ) x 1,, x n R} 25

26 Esempio 2 Insieme di tutte le matrici 22, M 22 M a a Insieme di tutte le matrici nn, M n n 1,1 2,1 a a 1,2 2,2 M a a 1,1... n, a a 1, n... n, n 26

27 Esempio 3 Insieme di tutti i polinomi di grado 2 P 2 (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Insieme di tutti i polinomi di grado n P n (x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n 27

28 Esempio 4 Insieme di tutte le funzioni continue nell intervallo [a,b] C[a,b] Insieme di tutte le funzioni con derivata 1 a continua nell intervallo [a,b] C (1) [a,b] Insieme di tutte le funzioni con derivate continue fino ad m nell intervallo [a,b] C (m) [a,b] 28

29 Esempio 5 Insieme L 1 (a,b) di tutte le funzioni reali per cui esiste l integrale b a f ( x) dx 29

30 Esempio 6 Insieme L p (a,b) di tutte le funzioni reali per cui esiste l integrale ( b a f ( x) p dx 1/ ) p 30

31 (definizione) Dati gli elementi x 1, x 2,,x n dello spazio lineare X la somma a 1 x 1 + a 2 x 2,,+ a n x n con a 1,a 2,, a n R si chiama combinazione lineare di x 1, x 2,,x n 31

32 (definizione) Dati gli elementi x 1, x 2,,x n dello spazio lineare) se a 1,a 2,, a n R vale l implicazione a 1 x 1 + a 2 x 2,,+ a n x n =0 implica a 1 a 2 =, =a n 0 allora x 1, x 2,,x n sono detti linearmente indipendenti 32

33 (definizione) Dati gli elementi x 1, x 2,,x n dello spazio lineare) se non sono linearmente indipendenti essi sono detti linearmente dipendenti 33

34 (definizione) Se in uno spazio lineare esistono n elementi linearmente indipendenti e ogni insieme di n+1 elementi è linearmente dipendente, si dice che X ha dimensione n 34

35 (definizione) Se in uno spazio lineare esistono n elementi x 1, x 2,,x n linearmente indipendenti tali che ogni elemento y di X può essere espresso come loro combinazione, cioè ya 1 x 1 + a 2 x 2,,+ a n x n con opportuni a 1, a 2,, a n R, allora si dice che gli elementi x 1, x 2,,x n costituiscono una base di X 35

36 Esempio 1 I vettori x 1 = (1,0) e x 2 =(0,1) costituiscono una base per R 2. Infatti, ogni copia (a 1,a 2 ) può essere espressa come (a 1,a 2 )= a 1 * (1,0) + a 2 *(0,1) 36

37 Esempio 2 I vettori x 1 = (1,0,0) e x 2 =(0,1,0) e x 3 =(0,0,1) costituiscono una base per R 3. Infatti, ogni tripletta (a 1,a 2, a 3 ) può essere espressa come (a 1,a 2,a 3 )= a 1 (1,0,0) + a 2 (0,1,0) +a 3 (0,0,1) 37

38 Esempio 3 I vettori x 1 = (1,0,,0), x 2 = (0,1,,0),, x n =(0,,1) costituiscono una base per R n. Infatti, ogni elemento (a 1,a 2,,a n ) può essere espressa come (a 1,a 2,,a n )= a 1 (1,0, 0) + a 2 (0,1,,0),, a n (0,0,,1) 38

39 39 Esempio 4 sono una base per qualsiasi matrice dello spazio M M M M M 1 2,2 2,1 1,2 1,1 a a a a M

40 Esempio 5 I polinomi p 0 (x)=1 e p 1 (x)= x sono una base per tutti i polinomi del tipo P(x)=a 0 +a 1 x 40

41 Esempio 6 I polinomi p 0 (x)=1, p 1 (x)= x e p 2 (x)=x 2 sono una base per tutti i polinomi del tipo P(x)=a 0 +a 1 x+ a 2 x 2 41

42 Esempio 7 I polinomi p 0 (x)=1, p 1 (x)= x,,p n (x)=x n sono una base per tutti i polinomi del tipo P(x)=a 0 +a 1 x+ a 2 x 2 + a n x n 42

43 Esempio 8 L insieme di tutte le funzioni continue nell intervallo [a,b] indicato da C[a,b] è uno spazio di dimensione infinita. (Non esiste un insieme finito di funzioni la cui combinazione lineare produce una qualsiasi funzione) 43