Corso di laurea in Matematica Laboratorio di Programmazione e Calcolo Prof. A. Murli. Esercizi di riepilogo - LABORATORIO

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1 Cognome: Nome: 1 Matricola: Corso di laurea in Matematica Laboratorio di Programmazione e Calcolo Prof. A. Murli Esercizi di riepilogo - LABORATORIO Creare una directory nominata cognome nome dove cognome è il cognome del candidato e nome è il nome del candidato; in essa copiare il programma chiamante, le subroutine e gli esempi d uso relativi ai quesiti.... Il candidato svolga i seguenti esercizi: 1. Assegnata la seguente matrice quadrata U triangolare superiore: U = sfruttando elementi di software eventualmente già realizzati, calcolare l inversa U 1 di U e scrivere il risultato. Descrivere brevemente l algoritmo implementato al passo precedente, per il calcolo dell inversa di una matrice quadrata, di dimensione n, triangolare superiore. Stimare la complessità computazionale dell algoritmo implementato.

2 2 Calcolare, specificando se si utilizza Matlab o un elemento di software sviluppato in laboratorio, l indice di condizionamento di U, secondo la formula µ (U) = U U 1. Si consideri un sistema di equazioni lineari avente U come matrice dei coefficienti; supponendo che il vettore dei termini noti, b, sia perturbato e che la sua approssimazione sia corretta a p cifre significative, ovvero b b 101 p (1) supponendo, inoltre, che i coefficienti della matrice U non siano affetti da errore, ( U = 0), rappresentare µ (U) in notazione floating point normalizzata, in un sistema aritmetico a precisione finita caratterizzato dai parametri seguenti: F = (β = 10, t = 4, emin = 4, emax = 4) In esprimere l errore relativo x x in funzione di µ (U) e della (1) e stimare il numero di cifre significative corrette nell approssimazione della soluzione del sistema. F = (β = 10, t = 4, emin = 4, emax = 4), la matrice U è mal condizionata? Giustificare la risposta in relazione al numero di cifre significative perse, nella risoluzione del sistema, assumendo che la

3 3 precisione del sistema sia il massimo numero di cifre significative corrette possibili per la soluzione. 2. Si supponga di dover approssimare l area della regione sottesa dal grafico della funzione integranda, nell integrale seguente: 1 0 x 2 dx (2) (a) Scrivere l espressione della formula trapezoidale composita su m = 4 sottointervalli, per il calcolo dell approssimazione dell integrale. (b) Calcolando il valore di I[f], in aritmetica a precisione infinita, stimare l errore commesso nell approssimare I[f] con T 4 [f]: E 4 [f] = I[f] T 4 [f] (c) Confrontare E 4 [f] con una stima calcolabile dell errore di discretizzazione della formula T 4 [f], sull intervallo [0, 1].

4 4 (d) Implementare una strategia di tipo adattativo. In particolare, se si implementa una strategia adattativa locale, assegnando, in input, una tolleranza tol = 10 5 ed un massimo numero di valutazioni uguale a 1000, riportare nella tabella seguente gli estremi dei primi 5 intervalli esaminati ed i corrispondenti valori numerici dell errore di discretizzazione E[f] e della tolleranza locale. Rappresentare i risultati arrotondati alle prime 5 cifre significative. intervallo E[f] tolleranza locale 3. Sia assegnato l insieme di dati: {(x i, y i )} i=1,...,5 (3) Rappresentare la spline cubica naturale interpolante i dati (3), in un intervallo del tipo [x i, x i+1 ], i = 1,...,4 utilizzando la formula di Newton per il polinomio interpolante di Hermite, e negli intervalli (, x 1 ], [x n, + ). Se - {(x i, y i )} i=1,...,5 = {( 2, 0), ( 1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0)}, (4) calcolare i coefficienti della spline cubica naturale interpolante, in almeno 2 intervalli, del tipo [x i, x i+1 ], sfruttando i risultati forniti da un elemento di software matematico già sviluppato in laboratorio.

5 5 - - Indicare, sul grafico riportato in Fig. 1, i valori della spline assunti in corrispondenza dei punti: z 1 = 1.5, z 2 = 0.5 z 3 = 0.5 z 4 = Figura 1: 4. La funzione ha uno zero nell intervallo f(x) = e 2x 1+x [0.3, 1.2]. Riportare sul grafico in Fig. 2 il valore numerico prodotto da un elemento di software matematico che implementi il metodo di Dekker-Brent per la ricerca degli zeri dell equazione non lineare e 2x 1+x = 0, nell intervallo [0.3, 1.2]; si assegni una tolleranza sulla convergenza della successione di approssimazioni, tolx = 10 3 ed una tolleranza sul valore della funzione, tolf = 10 4.

6 Figura 2: f(x) = e 2x 1 + x Quante iterazioni ha eseguito l implementazione del metodo? Quante valutazioni di funzione? Quante volte è stato applicato il metodo delle secanti e quante volte il metodo di bisezione? - - Cambiare i permessi alla cartella creata con il comando chmod 777 cognome nome creare un archivio della cartella cognome nome con il comando: tar cvfz cognome nome.tgz cognome nome ripetere il comando chmod 777 cognome nome.tgz inviare con il comando: cp cognome nome.tgz /home/dottorandi/rosacamp/esamegennaio07/