MATLAB:Metodi Numerici per zeri di funzioni.

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1 1 Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Università di Bari MATLAB:Metodi Numerici per zeri di funzioni Metodo delle successive bisezioni Sappiamo che la procedura definita dal metodo delle bisezioni determina una sequenza di intervalli ciascuno dei quali è contenuto nel precedente [a n, b n ] [a n 1, b n 1 ] [a 1, b 1 ] [a 0, b 0 ]; il generico intervallo ha ampiezza pari alla metà di quella dell intervallo precedentemente determinato e contiene lo zero α di f(x) Generalizzando, la procedura costruisce la successione dei punti medi c n = a n 1 + b n 1 2 n 1 e se f(c n ) 0, definisce i nuovi intervalli nel modo seguente [a n, b n ] = { [cn, b n 1 ] se f(c n ) f(b n 1 ) < 0 [a n 1, c n ] se f(a n 1 ) f(c n ) < 0 Vediamo come costruire una funzione Matlab che ci permette di risolvere il problema della ricerca degli zeri di una funzione mediante il metodo delle bisezioni: Innanzitutto definiamo una funzione in un file Matlab che chiamiamo f1m:

2 2 function y=f1(x) y=exp(x)-(2*x)^2; Ora costruiamo la funzione bisezionim in cui viene implementato il metodo delle successive bisezioni: METODO DELLE SUCCESSIVE BISEZIONI PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI function [root,nit] = bisezioni(funz,a,b,tol,nmax) DATI DI INPUT: funz = stringa contenente il nome della funzione a,b = estremi dell intervallo in cui si cerca la radice di funz tol = tolleranza nmax = numero massimo di iterate DATI DI OUTPUT: root = soluzione nit = numero di iterate function [root,nit,errv] = bisezioni(funz,a,b,tol,nmax) L istruzione feval ci permette di calcolare il valore della funzione in un punto fa = feval(funz,a); fb = feval(funz,b); if fa*fb > 0 error( ERRORE: la funzione non cambia di segno agli estremi ) end err = 1/eps; nit = 0

3 3 while (err > tol) & (nit <= nmax) c = (a+b)*05; fc = feval(funz,c); if (fc*fa < 0) b = c; fb = fc; else a = c; fa = fc; end nit = nit+1; err = abs(b-a)/max(1,min([abs(a),abs(b)])); errv(nit) = err; end root = c; Eseguiamo la funzione: >> a=-1; >> b=0; >> tol=1e-10; >> nmax=100; >> [root,nit]=bisezioni( f1,a,b,tol,nmax) root = e-01 nit = 36 Possiamo fare altri esempi:

4 4 >> >> a=0; >> b=1; >> [root,nit]=bisezioni( f1,a,b,tol,nmax) root = 71481e-01 nit = 34 >> a=4; >> b=45; >> [root,nit]=bisezioni( f1,a,b,tol,nmax) root = 43066e+00 nit = 37 Ordine di convergenza Il metodo delle bisezioni converge linearmente ad α ed ha costante asintotica pari ad 1, risultando con ciò molto lento 2 Teorema Se le successioni convergono con la stessa velocità, ovvero a 0 < n lim n α <, (1) b n α allora lim n b n+1 α b n α = 1 2

5 In particolare applicando il metodo al calcolo degli zeri di una data funzione, si può osservare che ad ogni iterata si guadagna una cifra binaria e quindi dopo 33 iterate circa si guadagnerà una cifra decimale esatta, essendo 33 log 2 10 Quindi tenendo conto della seguente relazione c n α c c n 1 α possiamo valutare l ordine di convergenza del metodo delle bisezioni nel seguente modo: 5 >> [root,nit,errv]=bisezioni( f1,a,b,tol,nmax) root = e-01 nit = 36 >> p=errv(2:nit)/errv(1:nit-1) p = Columns 1 through e e e e-01 Columns 5 through e e e e-01

6 6 Columns 33 through e e e-01 Il Metodo di Newton Supponiamo che la funzione f(x) abbia derivata non nulla; la funzione iteratrice φ(x) = x f(x)/f (x) definisce il procedimento iterativo x n+1 = x n f(x n) f (x n ) detto metodo di Newton Per costruire una funzione Matlab che ci permette di risolvere il problema della ricerca degli zeri di una funzione mediante il metodo di Newton, innanzitutto definiamo una funzione in un file Matlab che chiamiamo f4m, e poi definiamo anche la derivata prima di f4(x) nel file fj4m: function y=fj4(x) y=tan(x) + 1/(1+x^2); Ora costruiamo la funzione newtm in cui viene implementato il metodo di Newton: METODO DI NEWTON PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI function [x0, nit, errv] = newt(funz,jfunz,x0,tol,nmax) DATI DI INPUT funz = stringa contenente il nome della funzione jfunz = stringa contentente il nome della derivata prima x0 = punto iniziale della successione

7 7 tol = tolleranza nmax = numero massimo di iterate DATI DI OUTPUT x0 = soluzione nit = numero di iterate errv = vettore con l errore stimato ad ogni iterata function [x0, nit, errv] = newt(funz,jfunz,x0,tol,nmax) procedimento iterativo nit = 0; err = 1/eps; F = 1/eps; while (err > tol) & ( nit <= nmax) & (norm(f) > tol) xk = x0; JF = feval(jfunz,xk); F = feval(funz,xk); d = -JF\F; x0 = xk + d; err = norm(d)/max([1,min([norm(x0),norm(xk)])]); nit = nit + 1; disp([err nit]) errv(nit) = err; end >> x0=-1; >> tol=1e-10; >> nmax=100; >> [root,nit,errv]=newt( f1, fj1,x0,tol,nmax) 43406e e+00

8 e e e e e e e e e e+00 root = e-01 nit = 6 errv = 43406e e e e e e-15 Ora vediamo come possiamo costruire un formula che ci permette di valutare l ordine di convergenza del metodo di Newton Sappiamo che: e x i+1 x i c x i x i 1 p x i x i 1 c x i 1 x i 2 p Facendo il rapporto tra queste due relazioni e quindi il logaritmo di entrambi i membri otteniamo che: log( x i+1 x i x i x i 1 ) p log( x i x i 1 x i 1 x i 2 )

9 Quindi possiamo valutare l ordine di convergenza del metodo di Newton con la seguente formula: 9 >> p=log2(errv(3:nit)/errv(2:nit-1))/log2(errv(2:nit-1)/errv(1:nit-2)) p = 18192e e e e+00 ESERCIZIO: Determinare gli altri zeri di f1 partendo dai punti iniziali x0 = 1 e x0 = 4 Valutare l ordine di convergenza del metodo Definire le funzioni f2(x) = (x 1) 3 e f3(x) = exp(x 2 ) 1 con relative derivate prime, e determinarne gli zeri con il metodo di Newton Usare diversi punti iniziali, e valutare la bonta dell approssimazione ottenuta Scrivere un programma per il metodo della direzione costante con una semplice modifica di newtm Testarlo Ricordiamo che nel metodo della direzione costante la funzione iteratrice è data da: x n+1 = x n f(x n) g dove g rappresenta il valore della direzione costante Il metodo delle secanti x n+1 = x n x n x n 1 f(x n ) f(x n 1 ) f(x n) f(x n)x n 1 f(x n 1 )x n f(x n ) f(x n 1 ) Questo procedimento iterativo non rientra nella classe dei procedimenti x n+1 = φ(x n ), ma il nuovo punto dipende da due punti precedenti, cioè: x n+1 = φ(x n 1, x n ) e necessita, per poter partire, di due punti iniziali Vediamo come costruire una funzione Matlab che ci permette di risolvere il problema della ricerca degli zeri di una funzione mediante il metodo delle secanti Chiameremo tale funzione secantim:

10 10 METODO DELLE SECANTI PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI function [x0, nit, errv] = secanti(funz,x0,x1,tol,nmax) DATI DI INPUT funz = stringa contenente il nome della funzione x0 = punto iniziale della successione x1 = secondo punto iniziale tol = tolleranza nmax = numero massimo di iterate DATI DI OUTPUT x0 = soluzione nit = numero di iterate errv = vettore con l errore stimato ad ogni iterata function [x0, nit, errv] = secanti(funz,x0,x1,tol,nmax) procedimento iterativo nit = 0; err = 1/eps; F0 = feval(funz,x0); while (err > tol) & ( nit <= nmax) & (norm(f0) > tol) xk = x1; x1 = x0; F1 = F0; F0 = feval(funz,xk); x0 = xk - ((xk-x1)/(f0-f1))*f0; err = norm(xk-x0)/max([1,min([norm(x0),norm(xk)])] nit = nit + 1; disp([err nit]) errv(nit) = err; end

11 11 Ora eseguiamo la funzione: >> x0=0; >> x1=x0-f1(x0)/fj1(x0) x1 = -1 >> tol=1e-10; >> namx=100; >> [root,nit,errv]=secanti( f1,x0,x1,tol,nmax) 78412e e e e e e e e e e e e+01 root = e-01

12 12 nit = 37 errv = Columns 1 through e e e e e e-01 Columns 7 through e e e e e e-03 Columns 31 through e e e e e e-07 Column e-11 ESERCIZIO: Determinare gli altri zeri di f1 con x0 = 1 e x0 = 4 Confrontare il numero di iterazioni eseguite con gli altri due metodi