Laboratorio 2. Calcolo simbolico, limiti e derivate. Metodo di Newton.

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1 Anno Accademico Corso di Analisi 1 per Ingegneria Elettronica Laboratorio 2 Calcolo simbolico, limiti e derivate. Metodo di Newton. 1 Introduzione al Toolbox simbolico Con le routines del Symbolic Math Toolboxes è possibile utilizzare Matlab con una sintassi molto simile alla simbologia dell analisi. É possibile definire variabili simboliche con il comando sym: >>x=sym( x ) o anche specificando il tipo di variabile: >>x=sym( x, real ) Si possono usare, con lo stesso effetto, i comandi >>syms x >>syms x real Ora possiamo definire funzioni con queste variabili simboliche: >>f=xˆ2-2*x+1 Digitando whos osserviamo che abbiamo creato due sym object. Per ottenere una visualizzazione più leggibile delle funzioni inserite si può utilizzare il comando pretty: >>pretty(f) x 2-2x+ 1 Il comando subs serve per la sostituzione simbolica, cioè per assegnare un valore ad una variabile simbolica. Supponiamo di voler valutare la funzione f definita precedentemente per x = 1: possiamo utilizzare il comando subs in due modi >>subs(f,1) >>subs(f, x,1) 1

2 2 Grafici di funzioni, limiti, derivate Definiamo la variabile simbolica x e la seguente funzione: con i seguenti comandi: f(x) = 2x2 x 2 1 >>x=sym( x ;) >>f=2*xˆ2/(xˆ2-1) È possibile disegnare il grafico di questa funzione senza doverla valutare in un numero discreto di punti, usando il comando ezplot >>ezplot(f) che disegna la funzione sull intervallo standard [ 2π, 2π]; altrimenti si può specificare l intervallo: >>ezplot(f,[-5,5]) Dopo avere definito la variabile simbolica e una funzione possiamo calcolare i limiti con il comando limit. Definiamo f(x) = tan(x), e calcoliamo il limite per x π/2: >>limit(f,x,pi/2) Con Matlab possiamo calcolare il limite sinistro e destro: >>limit(f,x,pi/2, left ) ans= inf >>limit(f,x,pi/2, right ) ans= -inf e anche il limite per x, digitando limit(f,x,inf). Inoltre con il comando diff possiamo calcolare le derivate di funzioni, ad esempio possiamo calcolare la derivata della tangente, definita nell esercizio precedente: >>fx=diff(f,x) fx= 1+tan(x)ˆ2 3 Il metodo di Newton Il metodo di Newton è un metodo iterativo per la ricerca degli zeri di una funzione che costruisce una successione di valori x (n) approssimando localmente la funzione con la sua retta tangente: a partire da un valore iniziale x (0) si costruisce la retta tangente in quel punto, e si calcola il punto x (1) in cui tale retta interseca l asse y = 0, quindi si costruisce la retta tangente in x (1) e si itera. L espressione della retta tangente in un punto x (n) a f è la seguente: 2

3 Figura 1: Alcune iterazioni del metodo di Newton y(x) = f(x (n) ) + f (x (n) )(x x (n) ) (1) Cerchiamo il valore di x per cui la retta tangente interseca l asse y = 0, quindi poniamo y = 0 e otteniamo la successiva approssimazione della soluzione, x (n+1) : x (n+1) = x (n) f(x(n) ) f (x (n) ) (2) purchè f (x (n) ) 0. La 2 è l espressione di un iterazione generica del metodo di Newton. È necessario stabilire un criterio d arresto che decida quando la soluzione è stata approssimata con la precisione desiderata. Esistono diverse scelte: criterio basato sul residuo confronto fra due iterazioni successive Il criterio basato sul residuo arresta il metodo quando il modulo del residuo f(x (n) ) è inferiore ad una tolleranza fissata: f(x (n) ) toll Si può anche arrestare il metodo quando la distanza fra x (n+1) ed x (n) è inferiore ad una tolleranza fissata: x (n+1) x(n) toll Approfondimento: validità del criterio d arresto Osservando la figura 2 si nota che entrambi i criteri di arresto possono fallire. Nella situazione a) in cui f (x e ) << 1 il test sul residuo non è adeguato, infatti f(x (n) ) può essere molto basso con x (n) lontano dalla soluzione. Nella situazione b) in cui f (x e ) >> 1 invece due iterazioni successive possono essere vicine con f(x (n) ) ancora molto diverso da 0. 3

4 Figura 2: Confronto fra i criteri d arresto Figura 3: Algoritmo Scriviamo una funzione che implementi il metodo di Newton sfruttando le funzioni del Toolbox simbolico di Matlab. Deve ricevere in ingresso f, x 0, la tolleranza per l arresto, e un numero massimo di iterazioni per cui arrestare il metodo anche se la soluzione non è stata trovata. Vogliamo che restituisca la soluzione ed il numero di iterazioni effettuate. 4

5 function [sol,nit]=newton(f,x0,toll,maxit); % -newton fx=diff(f); % calcolo la derivata nit=maxit; % nit: numero di iterazioni effettuate; lo cambio quando esco dal ciclo sol=x0; % inizializzo la soluzione k=0; %contatore while (k maxit) % itero fino a raggiungere maxit ff=subs(f,sol); %valuto il residuo if (abs(ff) toll) %se minore di toll nit=k; %salvo il numero di iterazioni break; %ed esco end ffx=subs(fx,sol); %valuto la derivata nel punto sol=sol-ff/ffx; %aggiorno la soluzione k=k+1; %aggiorno il contatore end disp( Sol Newton ) sol disp( Iterazioni Newton ) nit Utilizziamo la funzione scritta per calcolare lo zero di f = x cos(x). Disegnando il grafico, ad esempio con ezplot vediamo che la soluzione esatta si trova fra 0 e π; scegliamo il punto x 0 di conseguenza. >>syms x; >>f=x-cos(x); >>[sol,nit]=newton(f,0,10ˆ-8,200); Otteniamo la soluzione sol= con solo 4 iterazioni. Verifichiamo la soluzione sostituendola nella funzione e osservando che otteniamo (circa) zero: >>subs(f,sol). Se diminuiamo la tolleranza fino a otteniamo la soluzione con 5 iterazioni. Consideriamo ora un altra funzione: g(x) = e x 2x 2. Questa funzione ha tre zeri, uno negativo vicino a -0.5, e due positivi. Osserviamo che partendo da valori diversi di x 0 il metodo converge a soluzioni diverse: con x 0 = 0.3 troviamo con x 0 = 0.4 troviamo

6 con x 0 = 0.7 troviamo con x 0 = 2.2 troviamo , ma con x 0 = 2.1 troviamo di nuovo ! Questo comportamento dipende dal fatto che abbiamo cambi di segno della derivata prima e seconda nell intervallo che contiene le tre soluzioni. Esercizi 1 Introduzione al Toolbox simbolico Dichiarare le variabili simboliche necessarie e definire le seguenti funzioni: a) f(x) = x 2 1 b) g(x) = x 1 x + 2 c) s(t) = 1 + vt at2 Visualizzare le funzioni con il comando pretty. Valutarle nei seguenti punti: a) x = 2 b) x = 2 c) t = 2, a = 9.81, v = 1 (Suggerimento: usare la sintassi subs(f,[t a v],[ ])) Osservare che è possibile valutare le funzioni anche su un vettore di punti ad esempio con il comando >>ff=subs(f,[0:0.1:2]) 2 Grafici di funzioni, limiti, derivate 2.1 Definire la funzione f(x) = 2x 1 x + 2 Disegnarne il grafico, quindi calcolarne il limite destro e sinistro per x 2 ed il limite per x. Utilizzando la funzione retta tangente calcolare e disegnare la retta tangente nel punto x 0 = 0. 6

7 2.2 Definire il rapporto incrementale cos(x + h) cos(x) h dopo avere dichiarato le variabile simboliche x e h. Utilizzarlo per calcolare la derivata di cos(x) attraverso il comando limit. Verificare il risultato ottenuto utilizzando diff. 2.3 Differenziare la funzione f(y) = x 2 sin(y) rispetto a y. 3 Il metodo di Newton 3.1 Costruire un grafico del modulo del residuo corrispondente ad ogni iterazione per la ricerca dello zero della funzione x cos(x) a partire da x 0 = 0, con una tolleranza di Modificare la funzione newton utilizzando come criterio di arresto invece del test sul residuo la distanza fra due iterazioni successive. Rappresentare in un grafico l andamento di questa quantità per ogni iterazione per la funzione dell esercizio precedente. 3.3 Sia data la funzione f = e x 2x 2 ; calcolare i due zeri della sua derivata prima ed utilizzarli come valori iniziali x 0 nella ricerca degli zeri di f. Cosa succede? Perché? 7