Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 6 - Minimi quadrati e spline APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI O DI DATI Consideriamo il problema di valutare una funzione nota soltanto attraverso le misurazioni sperimentali nella tabella seguente, in un punto diverso da quelli tabulati. x y Con il comando plot(x,y, * ) ottemiano il grafico dei dati Dal grafico vediamo che la relazione che intercorre tra x ed y è di tipo lineare ma nessuna retta passa esattamente per tutti i punti misurati, il che non stupisce se si tiene conto del fatto che le misurazioni sperimentali sono affette da inevitabili errori. In questo caso non è più così sensato richiedere cha la funzione approssimante passi esattamente per i punti dati, e quindi li interpoli. Un miglior approccio al problema sarebbe quello di cercare una retta che passi il più vicino possibile, in qualche senso, ai dati misurati 1

2 (si veda la figura seguente). In un caso come questo una buona soluzione è fornita dalla retta di regressione. Nella figura sotto a sinistra in rosso il polinomio interpolatore in quella a destra in blu la retta di regressione RETTA DI REGRESSIONE LINEARE Siano (x i,y i ), per i = 0,...,N, N + 1 coppie di dati di origine sperimentale o originati dal campionamento y i = f(x i ) di una funzione f(x). Ricordiamo che si chiama retta di regressione lineare, oppure retta che approssima i dati (x i,y i ) nel senso dei minimi quadrati, la retta y = p 1 (x) = mx + q, che minimizza lo scarto quadratico S = N y i p 1 (x i ) 2 = i=0 N y i (mx i +q) 2, cioè con coefficienti m e q che risolvono il sistema lineare [ N N i=0 x2 i i=0 x ]( ) ( i m N i=0 N i=0 x N i i=0 1 = x ) iy i q N i=0 y. i Tale sistema si ottiene imponendo a zero le derivate di S rispetto alle variabili m e q. In Matlab la retta di regressione si calcola con il comando i=0 polyfit(x,y,1) 2

3 Esercizio 1. Si considerino i dati x = [ ] y = [ ] e si calcoli la retta di regressione lineare con il comando polyfit con grado di approssimazione 1. Si disegni in un grafico la retta di regressione nell intervallo [ 1,11] con una linea nera e si evidenzino i punti (x i,y i ) mediante un cerchietto rosso. Esercizio 2. Si considerino le coppie di dati definiti come >> x=linspace(0,1,10); >> y=10*x+rand(size(x)); Si calcoli il polinomio p 9 (x) di grado 9 che interpola i dati assegnati Si calcoli inoltre la retta di regressione che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati. Si confrontino graficamente i polinomi calcolati rispetto ai dati assegnati. Se si ripete il calcolo dei dati, il vettore rand cambia e quindi anche i valori delle ordinate. Si commentino le proprietà rispettive dell approssimazione ai minimi quadrati e dell interpolazione di Lagrange in termini di sensibilità rispetto alle perturbazioni sui dati. Esercizio 3. Assegnati i punti di coordinate >> x=[ ]; >> y=[ ]; si calcoli la retta di regressione che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati e si disegni il grafico della retta calcolata e dei dati (x,y). Verificare che la retta di regressione lineare passa per il punto che ha per coordinate rispettivamente la media delle ascisse e la media delle ordinate dei dati in tabella. 3

4 SPLINE LINEARI Dato un insieme di punti (x i,y i ), per i = 0,...,N, una spline lineare interpolante è una funzione continua e lineare a tratti del tipo: e tale che c 1,1 (x x 0 )+c 1,2 se x [x 0,x 1 ] c 2,1 (x x 1 )+c 2,2 se x [x 1,x 2 ] s 1 (x) = c n,1 (x x n 1 )+c n,2 se x [x n 1,x n ] s 1 (x i ) = y i i = 0,...n, Come la calcolo con Matlab? Possiamo utilizzare la funzione predefinita di Matlab interp1 che crea e memorizza la spline in un formato particolare detto pp-form che raccoglie in un unica struttura i diversi dati che compaiono nella definizione (1). (N.B. in alcune versioni Matlab x ed y devono essere vettori colonna). Per vedere com è fatta una spline in formato pp-form : >> [x,c,m,k]=unmkpp(s1); le variabili restituite hanno i seguenti significati: (1) x = vettore dei nodi (x 0,x 1,...,x n ) C = matrice dei coefficienti dei polinomi di grado uno su ogni sottointervallo in (1) m = numero tratti della spline k = 2 grado delle funzioni polinomiali a tratti +1 In modo simile a come si fa per i polinomi una volta costruita la struttura della spline possiamo calcolare il valore assunto da quest ultima in uno o più punti assegnati x utilizzando un altra funzione predefinita chiamata ppval. 4

5 Esempio Assegnati i punti di coordinate >> x=[ ]; >> y=[ ]; disegnamo la spline lineare interpolante ed i punti della tabella evidenziandoli con un cerchietto. >> sp = interp1(x,y, linear, pp ) >> z=linspace(-1,5); >> s1z = ppval(sp,z); >> plot(z,s1z,x,y, o ); dove per disegnare il grafico della spline abbiamo definito un vettore di punti ausiliari z in cui la valutiamo. Esercizio 1. Approssimare con una spline interpolante lineare la funzione f(x) = 1 1+x 2 nell intervallo [ 5, 5] suddiviso in m sottointervalli di ampiezza H = 10/m. Definire punti equidistanti ausiliari in [ 5, 5] e usarli: per disegnare sullo stesso grafico la funzione e la spline; per calcolare l errore di approssimazione (massimo modulo della differenza tra la funzione f e la spline). Riportare i risultati ottenuti nella sottostante tabella: m H=10/m Errore 5

6 Verificare che: per m che tende all infinito l errore tende a zero; l errore è un O(H 2 ). SPLINE CUBICHE Dati i vettori di punti x 0 < x 1 < x n y 0 < y 1 < y n una spline cubica che iterpola tali dati è una funzione s C 2 ([x 0,x n ]) polinomiale a tratti di grado 3 su ogni intervallino I i = [x i,x i+1 ] del tipo: c 1,1 (x x 0 ) 3 +c 1,2 (x x 0 ) 2 +c 1,3 (x x 0 )+c 1,4 ini 0 c 2,1 (x x 1 ) 3 +c 2,2 (x x 1 ) 2 +c 2,3 (x x 1 )+c 2,4 ini 1 s 1 (x) = c n,1 (x x n 1 ) 3 +c n,2 (x x n 1 ) 2 +c n,3 (x x n 1 )+c n,4 ini n e tale che s 1 (x i ) = y i i = 0,...n, Esistono diversi tipi di spline cubiche interpolanti a seconda della scelta delle due condizioni aggiuntive che si impongono per ottenere l unicità della spline (ad es. naturali, periodiche, not-a-knot). Con Matlab si calcolano facilmente le spline cubiche interpolanti not-a-knot con il comando: s3=spline(x,y) In modo analogo a quanto visto per le spline lineari, per valutare una spline cubica in uno o più punti x >> s1z=ppval(s3,z); 6

7 Esempio Assegnati i punti di coordinate x = [ 1,1,2,3,5], y = [0, 1,5,2,1] si disegni la spline cubica interpolante ed i punti della tabella evidenziati con un cerchietto. Per disegnarne il grafico utilizziamo un vettore di punti ausiliari z in cui valutiamo la spline >> x=[ ] >> y=[ ] >> s3=spline(x,y); >> z= linspace(-1,5); >> s3z=ppval(s3,z); >> plot(z,s3z, x,y, o ) Esercizio 1 Approssimare con una spline cubica interpolante la funzione f(x) = 1 1+x 2 nell intervallo [ 5, 5] suddiviso in m sottointervalli di ampiezza H = 10/m. Definire 2000 punti equidistanti ausiliari in [ 5, 5] e usarli: per disegnare sullo stesso grafico la funzione e la spline; per calcolare l errore di approssimazione (massimo modulo della differenza tra la funzione f e la spline). Riportare i risultati ottenuti nella sottostante tabella: m H=10/m Errore verificare che: 7

8 per m che tende all infinito l errore tende a zero; l errore è un O(H 4 ). Esercizio 2 Si ripeta quanto richiesto nell esercizio precedente per la funzione f(x) = x nell intervallo [0,1]. Si osservi l effetto della non derivabilità di f in 0 sulla velocità di convergenza. Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x) = sin(2πx), valutata in 21 nodi equispaziati nell intervallo [ 1, 1]. Si calcolino il polinomio interpolatore di Lagrange e la spline cubica interpolante e si confrontino graficamente le curve così ottenute con il grafico di f. Si sostituiscano alle valutazioni f(x i ) le seguenti valutazioni perturbate: f(x i )+( 1) i , e si ripeta il confronto. Si osserva che l approssimazione con funzioni spline è più stabile, ovvero meno sensibile alle piccole perturbazioni di quanto non sia l interpolazione polinomiale di Lagrange. Esercizio 4 Approssimare con una spline cubica interpolante la funzione f(x) = cos(4x)+5x nell intervallo [0,1] suddiviso in m sottointervalli di ampiezza H = 1/m. Calcolare le derivate prima, seconda e terza della spline cubica interpolante utilizzando la funzione predefinita di Matlab fnder. Per i seguenti valori di m = 5,50,500, utilizzando un vettore ausiliario z di 1000 punti equispaziati in [0, 1] disegnare nella stessa finestra il grafico della funzione e della spline cubica interpolante o della derivata della funzione e della derivata della spline. Calcolare infine gli errori di approssimazione commessi sia per f che per le sue derivate: f(z) s3(z), f (z) s3 (z), f (z) s3 (z), f (z) s3 (z). Si osservi che si ha convergenza anche per le derivate ma con velocità ridotta. Esercizio 5 Di seguito vengono riportate le variazioni medie della temperatura sulla terra a diverse latitudini in particolari condizioni. A partire dai dati (x i,y i ) memorizzati nei vettori >> x=[-55:10:55]; >> y=-[ ]; 8

9 eseguire quanto segue: calcolare il polinomio interpolatore calcolare la spline lineare interpolante, calcolare la spline cubica interpolante rappresentare graficamente il polinomio, le splines e i dati x e y che sono stati considerati. Quale tipo di approssimazione appare piú ragionevole quella polinomiale o quelle polinomiali a tratti? 9