Calcolo Numerico A.A Laboratorio 8 Integrazione numerica

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1 ESERCIZIO 1. Calcolo Numerico A.A Laboratorio 8 Integrazione numerica I = 5 e x 1 dx. 1. Si approssimi I con la formula del punto medio semplice. Si stimi l errore commesso. 2. Si consideri ora la formula del punto medio composito. Si trovi il minimo numero di sottointervalli M per approssimare I con un errore assoluto minore di 1 4. Soluzione 1. Analiticamente, abbiamo che I = e x 1 5 = e 4 e La formula del punto medio semplice è I P M = (b a)f((a + b)/2). >>IPM=(5-)*exp((+5)/2-1) IPM =

2 Quindi, l errore I IP M = Nel caso della formula del punto medio composito abbiamo I I C P M = b a 24 h2 f (ξ). Quindi dobbiamo scegliere h tale che 5 24 h2 max f (x) 1 4 x [,5] 5 24 h2 e h e 4 Verifichiamo in Matlab implementando la formula del punto medio composito: >>h=sqrt((1e-4*24)/(5*exp(4))) h = >> x=[:h:5]; >> inline( exp(x-1), x ); >> dim=length(x); >> for i=1:dim-1 xm(i)=(x(i)+x(i+1))/2; end; >> ym=f(xm); 2

3 >> IPMC=; >> for i=1:dim-1 IPMC=IPMC+h*ym(i); end; >>IPMC IPMC = Quindi I IP MC = = = > 1 4. Cosa non quadra? Il valore di h calcolato può essere affetto da errori di arrotondamento. Procediamo alternativamente calcolando quanti intervalli M abbiamo bisogno per avere un errore minore di 1e 4. Abbiamo che h = b a M = M = b a h = Prendiamo allora M = 1687 e h = e rifacciamo i conti. Si ottiene IPMC= , e in questo caso l errore è I IP MC e 5 < 1 4. = M >

4 ESERCIZIO 2. Si consideri il calcolo del seguente integrale I = x m 1 (1 x) n 1 dx, dove n e m sono due valori interi entrambi maggiori o uguali a 1. a) Si scrivano i metodi del punto medio, del trapezio e di Simpson semplici per l approssimazione di I. b) Per quali valori di n e m la formula del punto medio semplice fornisce il valore esatto dell integrale? E il metodo di Simpson semplice? c) Si prenda ora m = 3 e n = 1. Si scriva l errore commesso utilizzando il metodo del trapezio semplice. Soluzione a) Le formule di quadratura richieste si scrivono come segue metodo del punto medio: I pm = (b a)f( a + b 2 ) = (1 ) (.5)m 1 (.5) n 1 metodo del trapezio: I tr = (b a)( f(a) + f(b) ) = (1 ) ( + ) = 2 4

5 metodo di Simpson I S = (b a)/6 (f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)) = 2/3 (.5) m 1 (.5) n 1 b) Il grado di precisione della formula del punto medio è r = 1, ovvero vengono integrate esattamente tutte le funzioni costanti e lineari. Quindi (m 1)+(n 1) 1 m+n 2 1 m+n 3, da cui, per i valori m = 1, n = 2 oppure m = 2, n = 1, il punto medio fornisce il valore esatto dell integrale. Per quanto riguarda il metodo di Simpson, abbiamo che il grado di esattezza è r = 3, da cui (m 1)+(n 1) 3 m+n 2 3 m+n 5. Le coppie di valori ammissibili sono dunque m = 1, n = 4, m = 2, n = 3, m = 3, n = 2, m = 4, n = 1. c) Per m = 2, n = 1, l integrale diventa I = x 2 dx L errore commesso utilizzando il metodo del trapezio semplice è I I tr (b a)3 12 max f (x) = 1 x [,1] 12 max 2x = 1 x [,1] 6. 5

6 ESERCIZIO 3. Si consideri la formula di quadratura Q(f) = α 1 f( 1 2 ) + α 2f ( 1 2 ), dove α 1 e α 2 sono due parametri reali. Si vuole usare Q(f) per approssimare l integrale I(f) = f(x) dx, dove f(x) è una funzione continua su [, 1]. 1. Si determinino α 1 e α 2 affinché Q(x) abbia grado di esattezza massimo. Che formula si ottiene? Si dia una stima teorica del massimo errore di quadratura commesso. 2. Si scelga ora f(x) = 3x 2 2x+1 e si calcoli numericamente l integrale utilizzando Q(f) (con α 1 e α 2 trovati al punto precedente). Quanto vale l errore di quadratura? 3. Si consideri ora la formula di Simpson semplice per approssimare I(f) e se ne scriva l espressione. Quanto vale in questo caso l errore di quadratura? Perché? Soluzione 1. f(x) = c = I(f) = cdx = c = Q(f) = α 1 f(1/2) + α 2 f (1/2) = α 1 c I(f) = Q(f) = α 1 = 1 6

7 2. f(x) = x = I(f) = = Q(f) = α α 2 I(f) = Q(f) = α 2 = I(f) = xdx = x2 2 1 = 1 2 x 2 2x + 1dx = x 3 x 2 + x 1 = 1 Q(f) = f(1/2) = I S = b a 6 Q(f) I(f) = 1 2 (f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)) = 1 Visto che il metodo di Simpson ha il grado di esattezza 3, il valore calcolato è esatto. EXERCIZIO 4. Si considerino le seguenti curve y 1 (t) = 3x 2 15x + 5, y 2 (t) = x 2 + x Come si calcola matematicamente l area compresa tra le due curve nell intervallo x [ 2, 2]? 7

8 2. Si proponga un metodo di quadratura numerica (fra quelli conosciuti) che permetta di risolvere il problema matematico individuato al punto precedente in modo esatto, giustificando la scelta. (Suggerimento. Si ragioni in base al grado di esattezza di ciascuna formula di quadratura). 3. Si applichi il metodo individuato sopra usando il codice Matlab opportuno e si verifichi la correttezza del risultato ottenuto. Soluzione Disegnamo le due curve: x=[-2:.1:2]; f1=inline( 3*x.^2-15*x+5, x ); f2=inline( x.^2+x-25, x ); y1=f1(x); y2=f2(x); plot(x,y1,x,y2) L area della regione compresa tra le due curve è data da x x 2 2 A = y 1 dx y 2 dx + y 2 dx y 1 dx 2 2 x x dove x è l intersezione della curva y 1 con l asse delle ascisse (si veda la Fig. 1). Determiniamo l ascissa x con il comando 8

9 y x * y 2 Figura 1: Curve y 1 e y 2. fzero (zero di una funzione, avremmo potuto anche fare il calcolo a mano!) >> xstar=fzero(f1,.1); Poiché si tratta di integrali di curve di secondo grado, il metodo di Simpson è in grado di calcolare in modo esatto il valore dell integrale. Possiamo ad esempio usare il comando Matlab quad che implementa il metodo di Simpson adattivo, oppure una versione artigianale del codice di Simpson: Area=abs(quad(f1,-2,xstar))+abs(quad(f2,-2,xstar))... -abs(quad(f1,xstar,2))+abs(quad(f2,xstar,2))