Analisi Numerica: quadratura

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1 Analisi Numerica: quadratura S. Maset Dipartimento di Matematica e Geoscienze, Università di Trieste

2 In situazioni come queste, si ricorrerà a metodi numerici come quelli che presenteremo per calcolare l integrale (1). Introduzione Introduzione La quadratura è il problema di calcolare gli integrali definiti b a f (x) dx. (1) Chiaramente, tale integrali possono essere calcolati come b dove F è una primitiva di f. a f (x) dx = F (b) F (a), Tuttavia, anche se f è esprimibile elementarmente, cioè ha un espressione ottenuta per mezzo delle operazioni aritmetiche e delle funzioni matematiche elementari non è garantito che F lo sia. Questo accade, ad esempio, per la funzione f (x) = e x2, x R.

3 Introduzione Introduciamo la funzione I : C ([a, b]) R data da I (f ) = b a f (x) dx, f C ([a, b]). Una funzione come I, che ha per dominio un insieme di funzioni e per codominio un insieme numerico, prende il nome di funzionale. Il funzionale I è detto funzionale integrale. Il funzionale integrale è lineare, cioè soddisfa le due proprietà seguenti: i) f, g C ([a, b]) : I (f + g) = I (f ) + I (g); ii) α R f C ([a, b]) : I (αf ) = α I (f ).

4 Le formule di quadrature interpolatorie Le formule di quadrature interpolatorie Sia n N. Data f C ([a, b]), l idea per approssimare l integrale I (f ) è quella di sostituire alla funzione integranda f il polinomio p n (f ) di interpolazione di f su n + 1 nodi x, x 1,..., x n [a, b]. Qui denotiamo il polinomio di interpolazione con p n (f ), mettendo in rilievo il fatto che esso dipende dalla funzione f. Il valore di tale polinomio nel punto x si scriverà allora p n (f, x). L integrale I (f ) viene approssimato con I n (f ) := I (p n (f )) = b a p n (f, x) dx. Nel seguito, i nodi di interpolazione saranno scritti come x i = a + c i (b a), i {, 1,..., n}, dove c i [, 1]. Il caso particolare dei nodi equidistanti si ottiene con c i = i n, i {, 1,..., n}.

5 Le formule di quadrature interpolatorie Teorema Per ogni f C ([a, b]) si ha I n (f ) = (b a) n A i f (x i ), i= dove A i = n j= j i c c j c i c j dc, i {, 1,..., n}. Dimostrazione. Sia f C ([a, b]). Esprimiamo il polinomio di interpolazione p n (f ) nella forma di Lagrange p n (f ) = n f (x i ) l i ( cioè p n (f, x) = i= n f (x i ) l i (x), x [a, b] ), i= dove gli l i sono i coefficienti di Lagrange relativi ai nodi x i.

6 Dimostrazione. Dalla linearità di I si ha Le formule di quadrature interpolatorie I n (f ) = I (p n (f )) = I( n f (x i ) l i ) = i= n f (x i ) I (l i ). Ora, per ogni i {, 1,..., n}, risulta, con x = a + c(b a), I (l i ) = = Per cui, n j= j i b a l i (x) dx = b a n j= j i x x j x i x j dx (a + c(b a)) (a + c j (b a)) 1 (b a)dc = (b a) (a + c i (b a)) (a + c j (b a)) i= n j= j i c c j c i c j dc. I n (f ) = n f (x i ) I (l i ) = i= n i= f (x i ) (b a) n j= j i c c j c i c j dc } {{ } =A = (b a) n A i f (x i ). i=

7 Le formule di quadrature interpolatorie Il funzionale I n : C ([a, b]) R definito da n I n (f ) = (b a) A i f (x i ), f C([a, b]), i= prende il nome di formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi. I punti x i e i numeri A i, i {, 1,..., n}, sono detti nodi e pesi, rispettivamente, della formula di quadratura. Per ogni f C ([a, b]), l integrale I (f ) è approssimato da I n (f ). Quindi, il funzionale integrale I è approssimato dalla formula di quadratura I n. Come il funzionale integrale I, anche il funzionale I n è lineare, cioè soddisfa le due proprietà: i) f, g C ([a, b]) : I n (f + g) = I n (f ) + I n (g); ii) α R f C ([a, b]) : I n (αf ) = α I n (f ). Esercizio. Provare che il funzionale I n è lineare.

8 Le formule di quadrature interpolatorie Esercizio. Determinare l espressione di una formula di quadratura interpolatoria a un solo nodo x = a + c (b a), dove c [, 1]. Volendo usare il teorema precedente, si usi il fatto che una produttoria con zero fattori è uguale a uno, oppure, senza usare il teorema precedente, si determini il polinomio di interpolazione di f relativo al nodo x e poi lo si sostituisca alla funzione integranda. Esercizio. Determinare l espressione della formula di quadratura interpolatoria con nodi x = a e x 1 = a + 3 (b a). 4

9 Le formule di quadrature interpolatorie Sopra, come approssimazione del funzionale integrale, sono state definite le formule di quadrature interpolatorie a n + 1 nodi. Più in generale, sempre come approssimazione del funzionale integrale, possiamo definire formula di quadratura a n + 1 nodi un funzionale I n : C ([a, b]) R della forma I n (f ) = (b a) n A i f (x i ), f C([a, b]), i= dove x, x 1,..., x n, i nodi, sono punti distinti dell intervallo [a, b] e A, A 1,..., A n, i pesi, sono numeri qualsiasi, non necessariamente correlati con i nodi come accade per le forme di quadratura interpolatorie. Le formule di quadratura interpolatorie sono particolari formula di quadratura costruite con l idea di sostituire alla funzione integranda un suo polinomio di interpolazione.

10 Le formule di quadrature interpolatorie Una formula di quadratura a n + 1 nodi è essenzialmente definita dagli n + 1 numeri in [, 1] e dagli n + 1 numeri c i, i {, 1,..., n}. A i, i {, 1,..., n}. Dati questi numeri la formula di quadratura può essere definita per ogni intervallo di integrazione [a, b]: n I n (f ) = (b a) A i f ( x i ), f C([a, b]). }{{} i= =a+c i (b a) Nelle formule di quadratura interpolatorie gli A i sono determinati dai c i tramite A i = n j= j i c c j c i c j dc, i {, 1,..., n}.

11 Formule di quadratura di Newton-Cotes Formule di quadratura di Newton-Cotes Nel caso in cui i nodi di interpolazione siano i nodi equidistanti x i = a + ih = a + i b a (b a), i {, 1,..., n} e h = n n la formula di quadratura interpolatoria I n prende il nome di formula di quadratura di Newton-Cotes a n + 1 nodi. In tal caso, i pesi A i, i {, 1,..., n}. diventano, con s = nc, dove A i = n c j n dc = j= j i i n j n W i = n n j= j i n j= j i nc j dc = 1 n i j n n j= j i s j ds, i {, 1,..., n}, i j s j i j ds = W i n sono detti numeri di Cotes. La formula di quadratura di Newton-Cotes a n + 1 nodi è n n W i n I n(f ) = (b a) A i f (x i ) = (b a) n f (x i) = h W i f (x i ), f C([a, b]). i= i= i=

12 Formule di quadratura di Newton-Cotes Per n = 1, i numeri di Cotes sono W = = W 1 = 1 j= j ds 1 j= j 1 s j 1 j ds = s 1 1 ds = sds = = 1 2 s j 1 1 j ds = s 1 ds = (1 s) ds sds = 1 2. La formula di quadratura di Newton-Cotes a 2 nodi è quindi ( 1 I T (f ) := I 1 (f ) = h 2 f (x ) + 1 ) 2 f (x 1) = b a (f (a) + f (b)) 2 f C ([a, b]).

13 Formule di quadratura di Newton-Cotes Tale formula di quadratura prende il nome di formula dei trapezi: l area sotto la curva y = f (x) viene approssimata con l area b a (f (a) + f (b)) = altezza 2 2 del trapezio sotto la retta y = p 1 (f, x). somma delle basi

14 Formule di quadratura di Newton-Cotes Per n = 2, i numeri di Cotes sono W = W 1 = 2 = = 2 j= j 2 2 j= j 1 2 s j 2 j ds = s 2 ds s j 2 1 j ds = s 2 ds s 1 1 s 2 2 ds = 1 2 sds ( ) s 2 3s + 2 ds ds = = = 1 3 s 1 s ds = sds = = ( ) s 2 2s ds W 2 = 2 = j= j 2 2 s j 2 2 j ds = s 2 ds s 2 s ds = sds = = 1 3. ( ) s 2 s ds

15 Formule di quadratura di Newton-Cotes La formula di quadratura di Newton-Cotes a 3 nodi è quindi ( 1 I CS (f ) := I 2 (f ) = h 3 f (x ) f (x 1) + 1 ) 3 f (x 2) = b a (f (a) + 4f (m) + f (b)), f C ([a, b]), 6 dove m è il punto medio tra a e b. Essa prende il nome di formula di Cavalieri-Simpson: l area sotto la curva y = f (x) viene approssimata con l area sotto la parabola y = p 2 (f, x).

16 Studio dell errore delle formule di quadratura Studio dell errore delle formule di quadratura Studiamo ora l errore che si commette quando si approssima il funzionale integrale I con una formula di quadratura I n a n + 1 nodi. A tal fine, introduciamo il funzionale errore E n : C ([a, b]) R dato da E n (f ) = I n (f ) I (f ), f C ([a, b]). Per ogni f C ([a, b]), E n (f ) è l errore nell approssimare b l integrale I (f ) = f (x)dx con I n (f ). a Dalla linearità dei funzionali I n e I segue la linearità del funzionale E n. Esercizio. Provare questo fatto. La qualità di una formula di quadratura come approssimazione del funzionale integrale è legata alla seguente nozione.

17 Definizione Studio dell errore delle formule di quadratura Sia k un intero non negativo. Una formula di quadratura I n a n + 1 nodi si dice di ordine polinomiale k se E n (q) = per ogni polinomio q di grado k, cioè se la formula di quadratura fornisce il valore esatto dell integrale quando è applicata ad un qualsiasi polinomio di grado k. Teorema Una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi ha ordine polinomiale n. Dimostrazione. Si ha I n (f ) = I (p n (f )), f C ([a, b]), dove p n (f ) è il polinomio di interpolazione di f relativo ai nodi x i, i {, 1,..., n}. Nel caso in cui f sia un polinomio di grado n, si ha p n (f ) = f. Per cui, per ogni polinomio di grado q di grado n, si ha E (q) = I n (q) I (q) = I (p n (q)) I (q) = I (q) I (q) =.

18 Studio dell errore delle formule di quadratura Esercizio. Provare che una formula di quadratura di ordine polinomiale k, ha ordine polinomiale s per ogni intero non negativo s tale che s k. Teorema Una formula di quadratura a n + 1 nodi non ha ordine polinomiale 2n + 2. Dimostrazione. Si consideri il polinomio di grado 2n + 2 q (x) = n (x x j ) 2, x [a, b]. j= Essendo q una funzione continua non negativa e diversa dalla funzione nulla, si ha I (q) = b a q (x) dx >

19 Studio dell errore delle formule di quadratura Dimostrazione. mentre I n (q) = (b a) n i= A i q (x i ) =. }{{} = Per cui, una formula di quadratura a n + 1 nodi ha un massimo ordine polinomiale che è 2n + 1. Esiste una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi, detta formula di quadratura gaussiana, che ha ordine polinomiale 2n + 1.

20 Studio dell errore delle formule di quadratura Il prossimo teorema fornisce un espressione per il funzionale errore. Nel teorema si fa uso della seguente notazione: per ogni t R e k intero non negativo, sia { t+ k t := k se t se t <. In questa notazione + = = 1.

21 Studio dell errore delle formule di quadratura Teorema Se una formula di quadratura I n (f ) = (b a) n A i f (x i ), f C ([a, b]), i= a n + 1 nodi x i = a + c i (b a), i {, 1,..., n}, ha ordine polinomiale k, allora, per ogni f C k+1 ([a, b]), si ha E n (f ) = (b a)k+2 k! K k (c) f (k+1) (a + c(b a)) dc dove la funzione K k : [, 1] R, detta nucleo di Peano, è definita da K k (c) = n i= 1 A i (c i c) k + (γ c) k + dγ, c [, 1].

22 Studio dell errore delle formule di quadratura Esercizio. Per ogni c [, 1] si ha K k (c) = E n (f c ) per una particolare f c C([a, b]). Quale? Esercizio. Mostrare che il nucleo di Peano K k non può essere nullo. Suggerimento: se lo fosse si avrebbe E n (f ) =... per ogni f C k+1 ([a, b]) e quindi il massimo ordine polinomiale della formula di quadratura sarebbe...

23 Teorema Studio dell errore delle formule di quadratura Se una formula di quadratura I n ha ordine polinomiale k, allora I n ha ordine polinomiale k + 1 se e solo se K k (u) du =. Dimostrazione. Sia I n di ordine polinomiale k. Osserviamo che I n ha ordine polinomiale k + 1 se e solo se E n (q) = per ogni polinomio q di grado k + 1. Sia q un polinomio di grado k + 1. Si ha q = cr + p dove c, r è il polinomio x k+1 e p è un polinomio di grado k. Dalla linearità del funzionale errore, si ha E n(q) = E n(cr + q) = ce n(r) + E n(q) = ce n(r). }{{} =

24 Studio dell errore delle formule di quadratura Dimostrazione. Dall espessione del funzionale errore con il nucleo di Peano risulta (b a)k+2 E n (q) = ce n(r) = c k! (b a)k+2 = c k! e si ha E n (q) = se e solo se K k (u) r (k+1) (a + ub a))du K k (u) (k + 1)!du = c(b a) k+2 (k + 1) K k (u) du K k (u) du =. Con questo teorema si conclude che se I n ha ordine polinomiale k e il nucleo di Peano K k non cambia segno in [, 1], allora I n non ha ordine polinomiale k + 1.

25 Studio dell errore delle formule di quadratura Infatti si ha 1 K k (u) du, dal momento che il nucleo di Peano non cambia segno e non è nullo (per il fatto che non sia nullo si veda un esercizio precedente). Esercizio. Si consideri una formula di quadratura interpolatoria ad un solo nodo x = a + c (b a). Come visto, tale formula di quadratura interpolatoria ha ordine polinomiale k = n =. Determinare il nucleo di Peano K k = K. Determinare poi K k (c)dc e trovare con quale c si ha tale integrale nullo. Applicando il precedende teorema si deduce che con questo c si ha ordine polinomiale 1. Questo è il massimo ordine polinomiale ottenibile per una formula di quadratura a 1 nodo. Quella trovata è la formula di quadratura gaussiana a 1 nodo detta formula del punto medio.

26 Studio dell errore delle formule di quadratura Osserviamo che se il nucleo di Peano K k non cambia segno in [, 1], allora dove ξ [a, b]. E n (f ) = (b a)k+2 k! K k (c) dc f (k+1) (ξ), Infatti, se K k non cambia segno in [, 1], allora si può applicare il teorema della media pesata (vedere Wikipedia) all integrale ottenendo K k (c) f (k+1) (a + c(b a)) dc K k (c) f (k+1) (a + c(b a)) dc = K k (c) dc f (k+1) (ξ).

27 Studio dell errore delle formule di quadratura Dall espressione del funzionale errore con il nucleo di Peano si ottiene, per una formula di quadratura a n + 1 nodi di ordine polinomiale k e per f C k+1 ([a, b]), dove Infatti, si ha E n (f ) = (b a) k+2 k! (b a)k+2 k! (b a)k+2 k! E n (f ) C k (b a) k+2 f (k+1) [a,b], C k = 1 k! K k (c) dc. K k (c) f (k+1) (a + c(b a)) dc K k (c) f (k+1) (a + c(b a)) dc K k (c) f (k+1) [a,b] dc = C k (b a) k+2 f (k+1) [a,b].

28 Studio dell errore delle formule di quadratura Se il nucleo di Peano K k non cambia segno in [, 1], allora dove e ξ [a, b]. Infatti, si ha E n (f ) = sign (K k ) C k (b a) k+2 f (k+1) (ξ), sign (K k ) = E n (f ) = = 1 k! { 1 se Kk è non negativo in [, 1] 1 se K k è non positivo in [, 1] (b a)k+2 k! K k (c) dc f (k+1) (ξ) sign (K k ) K k (c) dc (b a) k+2 f (k+1) (ξ) = sign (K k ) C k (b a) k+2 f (k+1) (ξ).

29 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Vediamo ora quale ordine polinomiale hanno le formule di quadratura di Newton-Cotes. La formula di quadratura Newton-Cotes a n + 1 nodi, come tutte le formule di quadratura interpolatorie a n + 1 nodi, ha ordine polinomiale n. Ma, se n è pari, allora l ordine polinomiale è n + 1 per il teorema seguente. Teorema Sia n pari e si considerino numeri c i, i {,..., n}, tali che c n i = 1 c i, i {,..., n}. La formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi basata su questi numeri c i ha ordine polinomiale n + 1.

30 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Chiaramente l ipotesi sui nodi nel precedente teorema è soddisfatta per i nodi equidistanti delle formule di Newton-Cotes: c n i = n i n = 1 i n = 1 c i, i {,..., n}. Esercizio. Si consideri una formula di quadratura interpolatoria basata su un unico nodo x = a + c (b a) (n = ). Per quale c l ipotesi nel precedente teorema è soddisfatta? Per tale c si ha allora l ordine polinomiale massimo n + 1 = 1. Esercizio. Mostrare che una formula di quadratura che soddisfa l ipotesi del precedente teorema ha sempre il punto medio dell intervallo [a, b] come nodo.

31 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula dei trapezi Errore della formula dei trapezi La formula dei trapezi è una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 = 2 nodi e quindi ha ordine polinomiale n = 1. Determiniamo il suo nucleo di Peano K 1. Si ha, per c [, 1], K 1 (c) = 1 2 ( c) (1 c) + = (1 c) c (γ c) + dγ (γ c) dγ = 1 1 c 2 (1 c) vdv, v = γ u, = 1 2 (1 c) 1 2 (1 c)2 = 1 2 (1 c) (1 (1 c)) = 1 (1 c) c. 2 Per cui, K 1 è non negativo in [, 1] e, quindi, la formula dei trapezi non ha ordine polinomiale 2. Il massimo ordine polinomiale della formula dei trapezi è 1.

32 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula dei trapezi Si ha poi C 1 = = 1 2 K 1 (c) dc = ( c c 2) dc = 1 2 = = (1 c) cdc = 1 2 cdc (1 c) cdc c 2 dc = 1 2 ( ) 3 Per f C 2 ([a, b]), l errore E T (f ) della formula dei trapezi è dato da E T (f ) = 1 12 (b a)3 f (ξ), dove ξ [a, b], e vale la maggiorazione E T (f ) 1 12 (b a)3 f [a,b].

33 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula dei trapezi Come esempio consideriamo l approssimazione di π 2 sin xdx = 1 ottenuta per mezzo della formula dei trapezi. L approssimazione dell integrale è ( π sin sin π ) 2 = π 4 = Il modulo dell errore è maggiorato da 1 ( π ) 3 sin 12 2 [, π 2 ] =.323. }{{} = sin [, π 2 ] =1 Si osservi che l errore è π 4 1 =.2146.

34 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Errore della formula di Cavalieri-Simpson La formula di Cavalieri-Simpson è la formula di Newton-Cotes a n + 1 = 3 nodi e quindi, essendo n pari, ha ordine polinomiale n + 1 = 3. Determiniamo il suo nucleo di Peano K 3. Si ha, per c [, 1], K 3 (c) = 1 6 ( c) dove 1 (γ c) 3 + dγ = c ( ) c + (γ c) 3 dγ = (1 c)3 + 1 c (γ c) 3 + dγ, v 3 dv = 1 4 (1 c)4. Quindi, K 3 (c) = { ( c) (1 c)3 1 4 (1 c)4 se c [ ], (1 c)3 1 4 (1 c)4 se c [ 1 2, 1].

35 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Ora, per c [ 1 2, 1], si ha K 3 (c) = 1 6 (1 c)3 1 4 (1 c)4 = (1 c) 3 ( (1 c) ) ( = (1 c) c 1 ) = 14 ( 12 (1 c)3 c 1 ). 3 Si ha K 3 (c) anche per c [, 1 2]. Questo segue dal fatto che K 3 () = = e che la funzione K 2,3 è crescente in [ [, 2] 1 : per c, 1 2], ( ) 2 K 2,3 1 (c) = 2 2 c 1 2 (1 c)2 + (1 c) 3 ( ) 2 1 = 2 2 c + (1 c) ( 2 12 ) + 1 c ( ) 2 ( ) ( ) ( ( ) ) 1 = 2 2 c + (1 c) c = 2 c 2 2 c + (1 c) 2 ( ) 1 = 2 c c 2.

36 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Per cui, K 3 è non negativo in [, 1] e, quindi, la formula di Cavalieri-Simpson non ha ordine polinomiale 4. Il massimo ordine polinomiale della formula di Cavalieri-Simpson è 3. Si ha poi C 3 = 1 3! K 2,3 (c) dc = Esercizio. Provare la precedente formula calcolando l integrale su [, 1] del nucleo di Peano K 3. Per f C 4 ([a, b]), l errore E CS (f ) della formula di Cavalieri-Simpson è dato da E CS (f ) = (b a)5 f (4) (ξ), dove ξ [a, b], e vale la maggiorazione E CS (f ) (b a)5 f (4) [a,b].

37 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Come esempio, consideriamo di nuovo l approssimazione dell integrale π 2 sin xdx = 1 ottenuta per mezzo della formula di Cavalieri-Simpson. L approssimazione dell integrale è ( π sin sin π sin π ) = π 2 12 Il modulo dell errore è maggiorato da 1 ( π ) 5 sin (4) [, =.33. π ] }{{} = sin [, π 2 ] =1 Si osservi che l errore è.23. ( 2 ) = 1.23

38 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Esercizio. Si consideri l approssimazione dell integrale e x dx = e 1 con le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Determinare le approssimazioni fornite da tali formule e le maggiorazioni sul modulo dell errore. Si confrontino poi le maggiorazioni con gli errori reali.

39 Ordine polinomiale delle formule di quadratura di Newton-Cotes Errore della formula di Cavalieri-Simpson Esercizio. Si consideri la formula del punto medio definita in un precedente esercizio. Questa formula di quadratura interpolatoria a 1 nodo ha ordine polinomiale 1. Determinare il nucleo di Peano K 1 e la costante C 1. Determinare poi la maggiorazione di E 1 (f ) per f C 2 ([a, b]). Si considerino infine le approssimazione degli integrali π 2 sin xdx = 1 e e x dx = e 1 con tale formula del punto medio. Determinare le approssimazioni fornite dalla formula e le maggiorazioni sul modulo dell errore. Si confrontino le maggiorazioni con gli errori reali.

40 Formule di quadratura composte Formule di quadratura composte A causa del fenomeno di Runge, se vogliamo ottenere approssimazioni sempre migliori dell integrale I (f ) non conviene aumentare il numero di nodi di interpolazione, cioè approssimare f con un polinomio di interpolazione di grado sempre più elevato, ma piuttosto approssimare f con un polinomio di interpolazione a tratti. Questa è l idea alla base delle formule di quadratura composte.

41 Formule di quadratura composte Come fatto nel caso dell interpolazione a tratti, dati N + 1 nodi equidistanti primari x i = a + ih, i {, 1,..., N}, H = b a N, che suddividono l intervallo [a, b] negli N sottointervalli di ampiezza H I i = [x i 1, x i ], i {1, 2,..., N}, si approssima la funzione integranda f nel sottointervallo I i, i {1, 2,..., N}, con il polinomio di interpolazione di Lagrange p n,n,i relativo agli n + 1 nodi secondari x i,j = x i 1 + c j H, j {, 1,..., n}, dove i numeri c j [, 1], j {, 1,..., n}, sono gli stessi in ogni sottointervallo I i, i {1, 2,..., N}.

42 Formule di quadratura composte In altri termini, data f C([a, b]), si approssima l integrale b I (f ) = f (x) dx = a N i=1 I i f (x) dx con Qui I n,n (f ) = N i= I i p n,n,i (x) dx = H n A j f (x i,j ) j= N H i=1 n A j f (x i,j ). è la formula di quadratura interpolatoria determinata dai numeri c j, j {, 1,..., n}, applicata sull intervallo I i di ampiezza H. j=

43 Formule di quadratura composte Data una formula di quadratura determinata dagli n + 1 numeri c j, j {, 1,..., n} e dagli n + 1 numeri A j, j {, 1,..., n}, il funzionale I n,n : C([a, b]) R dato da I n,n (f ) = N n H A j f (x i,j ), f C([a, b]), i=1 j= dove H = b a N e x i,j = x i 1 + c j H, i {1, 2,..., N} e j {, 1,..., n}, è detto la versione composta su N sottointervalli della formula di quadratura determinata dagli n + 1 numeri c j e dagli n + 1 numeri A j.

44 Formule di quadratura composte Nel caso della formula dei trapezi (Newton-Cotes con n = 1), si ha la formula dei trapezi composta su N sottointervalli I T,N (f ) := I 1,N (f ) ( 1 = h 2 f (x ) + 1 ) ( 1 2 f (x 1) + h 2 f (x 1) + 1 ) 2 f (x 2) + ( 1 +h 2 f (x N 2) + 1 ) ( 1 2 f (x N 1) + h 2 f (x N 1) + 1 ) 2 f (x N) ( 1 = h 2 f (x ) + f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x N 2 ) + f (x N 1 ) + 1 ) 2 f (x N) dove h = H = b a N è la distanza tra i nodi primari.

45 Formule di quadratura composte

46 Formule di quadratura composte Nel caso della formula di Cavalieri-Simpson (Newton-Cotes con n = 2), si ha la formula di Cavalieri-Simpson composta su N sottointervalli I CS,N (f ) = I 2,N (f ) ( 1 = h 3 f (x ) f (x 1,1) + 1 ) 3 f (x 1) ( 1 +h 3 f (x 1) f (x 2,1) + 1 ) 3 f (x 2) + ( 1 +h 3 f (x N 2) f (x N 1,1) + 1 ) 3 f (x N 1) ( 1 +h 3 f (x N 1) f (x N,1) + 1 ) 3 f (x N) ( 1 = h 3 f (x ) f (x 1,1) f (x 1) f (x 2,1) f (x 2) f (x N 2) f (x N 1,1) f (x N 1) f (x N,1) + 1 ) 3 f (x N). dove h = H 2 = b a 2N è la distanza tra i nodi secondari.

47 Formule di quadratura composte

48 Formule di quadratura composte Esercizio. Determinare l espressione della formula del punto medio composta su N sottointervalli.

49 vale a dire E n,n (f ) va a a zero, per N, almeno come 1 p. Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Sia ora E n,n : C([a, b]) R dato da E n,n (f ) = I n,n (f ) I(f ), f C([a, b]), il funzionale errore della formula di quadratura I n,n a n + 1 nodi composta su N sottointervalli. La qualità di I n,n come approssimazione di I è misurata dalla seguente nozione. Definizione Sia p >. La versione composta di una formula di quadratura a n + 1 nodi si dice di ordine di convergenza p se esiste un intero non negativo l tale che, per ogni f C l ([a, b]), si ha ( ) 1 E n,n (f ) = O N p, N,

50 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Esercizio. Provare che la versione composta di una formula di quadratura di ordine di convergenza p, ha ordine di convergenza q per ogni q > tale che q p.

51 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Teorema (Teorema di convergenza delle formule di quadratura composte). Se una una formula di quadratura a n + 1 nodi ha ordine polinomiale k, allora la sua versione composta ha ordine di convergenza k + 1. In particolare, per ogni f C k+1 ([a, b]), si ha E n,n (f ) C k (b a) k+2 f (k+1) 1 [a,b] N k+1, dove C k è la costante della formula di quadratura definita per mezzo del nucleo di Peano K n,k. Inoltre, se il nucleo di Peano K k non cambia segno in [, 1], allora dove η [a, b]. E n,n (f ) = sign (K k ) C k (b a) k+2 f (k+1) (η) 1 N k+1,

52 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dimostrazione. Consideriamo una formula di quadratura a n + 1 nodi di ordine polinomiale k e sia f C k+1 ([a, b]). Si ha E n,n (f ) = I N,n (f ) I (f ) = = N H i=1 n j= N H i=1 n A j f (x i,j ) j= A j f (x i,j ) I i f (x) dx N f (x) dx i=1 I i Poi, ricordando la maggiorazione di E n (f ) per una formula di quadratura interpolatoria, si ha, per i {1, 2,..., N}, n H A j f (x i,j ) f (x) dx C kh k+2 f (k+1) Ii. j= I i

53 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dimostrazione. Per cui E n,n (f ) = N n H A j f (x i,j ) f (x) dx i=1 j= I i N n N H A j f (x i,j ) f (x) dx i=1 N i=1 j= C k H k+2 f (k+1) Ii }{{} f (k+1) [a,b] i=1 I i N C k H k+2 f (k+1) [a,b] ( ) k+2 b a = N C k f (k+1) [a,b] N = C k (b a) k+2 f (k+1) 1 [a,b] N k+1.

54 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dimostrazione. Resta da provare l espressione di E n,n (f ) nel caso in cui K n,k non cambi segno. Ricordando l espressione di E n (f ) nel caso in cui K k non cambi segno si ha, per i {1, 2,..., N}, H n A j f (x i,j ) j= N i=1 I i f (x) dx = sign (K k ) C k H k+2 f (k+1) (ξ i ), dove ξ i I i. Quindi, E n,n (f ) = = N H i=1 n j= A j f (x i,j ) I i f (x) dx N sign (K k ) C k H k+2 f (k+1) (ξ i ) i=1 = sign (K k ) C k H k+2 N f (k+1) (ξ i ).

55 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dimostrazione. Poichè e 1 N 1 N N f (k+1) (ξ i ) 1 N i=1 N f (k+1) (ξ i ) 1 N i=1 N i=1 N i=1 max x [a,b] min x [a,b] f (k+1) (x) = max f (k+1) (x) x [a,b] f (k+1) (x) = min f (k+1) (x), x [a,b] dal teorema dei valori intermedi applicato alla funzione continua f (k+1) si ha che esiste η [a, b] tale che Pertanto, 1 N N f (k+1) (ξ i ) = f (k+1) (η). i=1 E n,n (f ) = sign (K k ) C k H k+2 N i=1 f (k+1) (ξ i ) = sign (K k ) C k H k+2 Nf (k+1) (η) = sign(k k )C k ( b a N )k+2 Nf (k+1) (η) = sign (K k ) C k (b a) k+2 f (k+1) 1 (η) N. k+1

56 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Teorema Se una formula di quadratura a n + 1 nodi ha ordine polinomiale k e il nucleo di Peano K n,k non cambia segno in [, 1], allora la sua versione composta non ha ordine di convergenza maggiore di k + 1. Dimostrazione. Consideriamo una formula di quadratura a n + 1 nodi di ordine polinomiale k tale che K n,k non cambi segno in [, 1]. Sia p > k + 1. Proviamo che la versione composta della formula di quadratura non ha ordine di convergenza p, vale a dire per ogni intero non negativo l esiste f C l ([a, b]) tale che non vale ( ) 1 E n,n (f ) = O N p, N.

57 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dimostrazione. Dal teorema precedente si ha, per una funzione f C k+1 ([a, b]), E n,n (f ) = sign (K k ) C k (b a) k+2 f (k+1) (η) 1 N k+1. Prendendo, per ogni intero non negativo l, come funzione f un polinomio di grado k + 1, che è in C l ([a, b]), si ottiene che f (k+1) è una costante non nulla c e quindi E N,n (f ) = sign (K k ) C k (b a) k+2 c 1 N k+1. Per una tale f, E N,n (f ) va a zero, per N, esattamente come 1. N k+1 Per cui, avendosi p > k + 1, non vale ( ) 1 E n,n (f ) = O N p, N. che significa andare a zero almeno come 1 N p, per N.

58 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Dai teoremi precedenti si ha che la formula dei trapezi composta ha ordine di convergenza 2 e non più di 2. Per tale formula composta si ha, per f C 2 ([a, b]), E T,N (f ) = 1 12 (b a)3 f 1 (η) N 2, dove η [a, b], e vale la maggiorazione E T,N (f ) 1 12 (b a)3 f 1 [a,b] N 2. Si poi anche che la formula di Cavalieri-Simpson composta ha ordine di convergenza 4 e non più di 4. Per tale formula, si ha, per f C 4 ([a, b]), E CS,N (f ) = (b a)5 f (4) 1 (η) N 4, dove η [a, b], e vale la maggiorazione E CS,N (f ) (b a)5 f (4) 1 [a,b] N 4.

59 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Esercizio. Si consideri la formula di quadratura del punto medio. Dire qual è il massimo ordine di convergenza della versione composta di tale formula di quadratura, fornendo anche un espressione dell errore E n,n (f ) simile a quelle appena mostrate per le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Esercizio. Che ordine di convergenza ha la versione composta della formula di quadratura di Newton-Cotes a n + 1 nodi?

60 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Data una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi, se per la sua versione composta si richiede E n,n (f ) TOL, dove TOL è una tolleranza prefissata, questo si ottiene prendendo un numero N di sottointervalli tale che cioè C k (b a) k+2 f (k+1) [a,b] 1 TOL, Nk+1 N k+1 C k (b a) k+1 b a k+1 f (k+1) [a,b] k+1 1 TOL. Si prende allora N = k+1 C k (b a) k+1 b a k+1 f (k+1) [a,b] k+1 1 TOL.

61 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Nel caso in cui risulti difficile calcolare f (k+1) [a,b] ma sia facile calcolare una sua maggiorazione M, si può prendere k+1 N = C k (b a) k+1 b a k+1 1 M k+1. TOL Notare che, con N sottointervalli, la funzione f deve essere calcolata su (n + 1)N punti se c n 1 e su nn + 1 punti se c n = 1.

62 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Nel caso della formula dei trapezi composta si ha 1 N = (b a) 1 b a f [a,b] 12 TOL e la funzione deve essere calcolata su N + 1 punti. Nel caso della formula di Cavalieri-Simpson composta si ha 1 N = 4 (b a) 4 b a 4 f (4) [a,b] 4 TOL e la funzione deve essere calcolata su 2N + 1 punti. Esercizio. Determinare l analoga formula per N nel caso della formula del punto medio composta.

63 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Come esempio, osserviamo che log a, con a > 1, può essere calcolato come log a = a 1 1 x dx. Determiniamo allora su quanti punti dell intervallo [1, 2], deve essere nota la funzione reciproco f (x) = 1 x per calcolare log 2 con TOL = 1 6 tramite la formula dei trapezi composta e la formula di Cavalieri-Simpson composta.

64 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Nel caso della formula dei trapezi si ha N = 1 (2 1) 2 1 f [1,2] 1 6 = = 49, essendo f [1,2] = max 2 = 2. x [1,2] x 3 La funzione reciproco deve essere nota in N + 1 = 41 punti. Nel caso della formula di Cavalieri-Simpson si ha N = 1 4 (2 1) f 4 (4) [1,2] = = 1, essendo f (4) [1,2] = max 24 = 24. x [1,2] x 5 La funzione reciproco deve essere nota in 2N + 1 = 21 punti.

65 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Esercizio. Su quanti punti dell intervallo [1, 2], deve essere nota la funzione reciproco per calcolare log 2 con TOL = 1 6 tramite la formula del punto medio composta? Esercizio. Si consideri il calcolo dell integrale e x 2 dx. Determinare su quanti punti dell intervallo [, 1] deve essere nota la funzione f (x) = e x 2 per calcolare l integrale con TOL = 1 8 tramite la formula dei trapezi composta, la formula di Cavalieri-Simpson composta e la formula del punto medio composta. Poiché può essere molto complicato determinare le quantità f [,1] e f (4) [,1], usare delle maggiorazioni di queste quantità.

66 Formule di quadratura composte Ordine di convergenza delle formule di quadratura composte Esercizio. La formula di Cavalieri-Simpson composta richiede meno punti in cui deve essere nota la funzione integranda rispetto alla formula dei trapezi composta, ed è quindi da preferire a quest ultima, se e solo se 2N CS + 1 < N T + 1, dove N T = 1 (b a) 1 b a f [a,b] 12 TOL e 1 N CS = 4 (b a) 4 1 b a 4 f (4) [a,b] TOL. Determinare la soglia di tolleranza al di sopra della quale è più conveniente usare la formula dei trapezi composta e al di sotto è più conveniente usare la formula di Cavalieri-Simpson composta. Quant è questa soglia nel caso del calcolo di log 2 = 1 x dx?