Interpolazione. Corso di Calcolo Numerico, a.a. 2008/2009. Francesca Mazzia. Dipartimento di Matematica Università di Bari.

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1 Interpolazione Corso di Calcolo Numerico, a.a. 2008/2009 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari 17 Aprile 2009 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

2 Interpolazione Problema dell Interpolazione dati i punti (x 0,f 0 ),(x 1,f 1 ),,(x n,f n ) trovare una curva continua che passi per essi. Interpolazione polinomiale : dati i punti (x 0,f 0 ),(x 1,f 1 ),,(x n,f n ) trovare un polinomio di grado n tale che p(x i ) = f i, per i = 0,1,,n Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

3 Polinomi Sia P n l insieme di tutti i polinomi di grado minore od uguale ad n, n un numero positivo. Questo insieme può essere generato dai polinomi elementari 1,x,x 2,...,x n : p(x) = n p j x j. Al variare dei coefficienti p j si ottengono tutti i polinomi dell insieme. Le funzioni 1,x,x 2,...,x n sono linearmente indipendenti. Infatti il polinomio identicamente nullo si può ottenere solo prendendo tutti i coefficienti p j = 0. L insieme di polinomi elementari {x i } n i=0, forma una base di P n, detta base delle potenze. j=0 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

4 Siano (x i,f i ), per i = 0,1,2,...,n delle coppie di punti nel piano cartesiano. Supponiamo che i punti x i, detti nodi, siano distinti, x i x j per i j. Vogliamo determinare un polinomio p(x) P n tale che n p j x j 0 = f 0 j=0 n p j x j 1 = f 1 j=0. n p j xn j = f n j=0 È questo il problema dell interpolazione dei dati (x i,f i ) mediante un polinomio, detto polinomio interpolante. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

5 Introduciamo la matrice 1 x 0 x x n 0 1 x 1 x x n 1 A = 1 x 2 x2 2 x2 n ; x n xn 2... xn n il problema si pone nella forma: p 0 p 1 A. = f 1. p n f 0 f n, e si riduce a risolvere un sistema lineare di dimensioni n + 1. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

6 La matrice A, detta matrice di Vandermonde è non singolare essendo: det(a) = i>j(x i x j ) Quindi il sistema precedente ammette una unica soluzione e ciò permette di ricavare il polinomio interpolante. La matrice di Vandermonde è spesso mal condizionata e, nel caso in cui i dati da interpolare siano molti, la soluzione del sistema precedente risulta molto costosa. Il problema dell interpolazione può essere risolto più efficientemente usando altre basi di P n. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

7 Se le quantità f i sono i valori assunti da un polinomio f P n nei punti x i, allora il polinomio p(x) coincide con f (x). d(x) = f (x) p(x) è un polinomio di P n il quale si annulla negli n + 1 punti x 0,x 1,...,x n. Ma un polinomio di grado minore o uguale ad n non può avere più di n radici a meno che non sia il polinomio nullo in tutti i punti, e quindi d(x) = f (x) p(x) 0. Questo dimostra l unicità del polinomio interpolante. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

8 Interpolazione di Lagrange Consideriamo i polinomi, tutti di grado n: l j (x) = n (x x i ) i=0,i j n i=0,i j (x j x i ) per j = 0,1,...,n. Essi godono delle seguenti proprietà: 1) Per j,k = 0,1,...,n risulta { 1 per j = k l j (x k ) = δ jk = 0 altrimenti. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

9 Interpolazione di Lagrange 2) Sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di P n. Infatti da n α i l i (x) = 0 si ha, per k = 0,1,...,n i=0 n α i l i (x k ) = α k l k (x k ) = 0 i=0 da cui si ricava che tutti i coefficienti α k devono necessariamente essere nulli. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

10 Base di Lagrange L insieme {l i (x)} n i=0 è detta base di Lagrange. Imponendo le condizioni di interpolazione si ha n p j l j (x 0 ) = f 0 j=0 n p j l j (x 1 ) = f 1 j=0... n p j l j (x n ) = f n j=0 La matrice dei coefficienti è la matrice identica. Si ha p j = f j e il polinomio interpolante risultante diventa: n p(x) = f j l j (x). j=0 Messo nella forma precedente il polinomio interpolante è detto polinomio di Lagrange. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

11 Esempio 1 Consideriamo n = 1 (interpolazione lineare). In questo caso si ha l 0 (x) = x x 1 x 0 x 1 l 1 (x) = x x 0 x 1 x 0. Il polinomio interpolante è una retta passante per i due punti x 0 e x 1. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

12 Esempio 2 Consideriamo n = 2 (interpolazione quadratica). In questo caso si ha l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

13 Interpolazione di Newton La formula di interpolazione di Lagrange è molto semplice nella forma, ma costosa se si vogliono aggiungere altri punti. Le funzioni l i (x) dipendono da tutti i punti in cui si fa l interpolazione. Se si vuol aggiungere un altro punto, tutte le funzioni di base cambiano. Introduciamo un nuova base detta base di Newton φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = (x x 0 ),. φ n (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ). Ogni p(x) P n potrà scriversi nella forma: p(x) = n a j φ j (x). j=0 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

14 Imponendo le condizioni di interpolazione si ha: a 0 = f 0, a 0 + a 1 φ 1 (x 1 ) = f 1, a 0 + a 1 φ 1 (x 2 ) + a 2 φ 2 (x 2 ) = f 2,. a 0 + a 1 φ 1 (x n ) +...a n φ n (x n ) = f n. Si ha quindi un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è triangolare inferiore: φ 1 (x 1 ) 0 0 N =. 1 φ 1 (x 2 ) φ 2 (x 2 ) φ 1 (x n ) φ 2 (x n )... φ n (x n ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

15 I coefficienti del polinomio si ottengono risolvendo il sistema: a 0 f 0 a 1 N. = f 1.. a n La matrice è non singolare e quindi i coefficienti sono unici. f n Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

16 I coefficienti a i dipendono dai valori di f 0,f 1,...,f i 1 e x 0,x 1,...,x i 1. Indichiamo la dipendenza con a i = f [x 0,x 1,...,x i ]. Il polinomio interpolante assume la forma p(x) = n i=0 i 1 f [x 0,x 1,...,x i ] (x x j ) j=0 e viene chiamato polinomio di interpolazione di Newton. f [x 0,x 1,...,x i ] vengono chiamate differenze divise. Il sistema triangolare può essere risolto in O(n 2 ) operazione per calcolare i coefficienti dell interpolante di Newton. Sfortunatamente i coefficienti di questo sistema possono creare facilemente problemi di overflow e di underflow. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

17 Deriviamo un algoritmo diverso, ma molto più stabile, utilizzando le differenze divise. Dalla prima equazione del sistema si ricava che: e dalla seconda a 0 f [x 0 ] = f 0, a 1 f [x 0,x 1 ] = f 1 f 0 x 1 x 0 = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0 Questa espressione è un caso speciale di una relazione più generale: f [x 0,...,x k ] = f [x 1,...,x k ] f [x 0,...,x k 1 ] x k x 0 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

18 Per dimostrare questa relazione poniamo: p il polinomio interpolante q il polinomio interpolante r il polinomio interpolante (x 0,f 0 ),(x 1,f 1 ),...,(x k,f k ) (x 0,f 0 ),(x 1,f 1 ),...,(x k 1,f k 1 ) (x 1,f 1 ),(x 2,f 2 ),...,(x k,f k ) I coefficienti del termine di grado massimo per questi polinomi sono: per p : f [x 0,x 1,...,x k ] per q : f [x 0,x 1,...,x k 1 ] per r : f [x 1,x 2,...,x k ] Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

19 Ora dimostriamo che Per mostrare questo calcoliamo p(x) = q(x) + x x 0 x k x 0 (r(x) q(x)) q(x) + x x 0 x i x 0 (r(x) q(x)) in x i e proviamo che p(x i ) = f i per i = 1,n. Il risultato segue dall unicità del polinomio interpolante. Per x = x 0 q(x 0 ) + x 0 x 0 x k x 0 (r(x 0 ) q(x 0 )) = f 0 poichè q interpola (x 0,f 0 ). Per x = x i (i = 1,...,k 1) q(x i ) + x i x 0 x k x 0 (r(x i ) q(x i )) = f i + x i x 0 x k x 0 (f i f i ) = f i Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

20 Per x = x k q(x k ) + x k x 0 x k x 0 (r(x k ) q(x k )) = r(x k ) = f k Segue che il coefficiente di x k in p è : f [x 0,...,x k ] = f [x 1,...,x k ] f [x 0,...,x k 1 ] x k x 0 Quello che volevamo dimostrare. Questa proprietà viene usata per ricavare ricorsivamente le differenze divise, in alternativa all inversione della matrice N. Si procede secondo lo schema seguente: Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

21 f 0 f 1 f [x 0,x 1 ] f 2 f [x 1,x 2 ] f [x 0,x 1,x 2 ] f n f [x n 1,x n ] f [x n 2,x n 1,x n ]... f [x 0,...,x n ] La matrice matrice può essere costruita per colonne. Gli elementi diagonali sono i coefficienti del polinomio interpolante di Newton. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

22 Nel caso in cui la funzione f (x) sia derivabile nei nodi, allora le differenze divise sono definite anche se due argomenti coincidono. Infatti si ha, ad esempio: f [x 0,x 0 ] = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) Il precedente risultato si può generalizzare arrivando alla conclusione che Se la funzione f (x) è derivabile n volte in un punto x, allora: f [x,x,...,x] = f (n) (x) }{{} n! n+1 Se la funzione f è derivabile m volte con derivata m.ma continua, allora esiste un punto ξ appartenente al più piccolo segmento contenente i punti x 0,x 1,...,x m tale che: f [x 0,x 1,...,x m ] = f (m) (ξ) m! Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

23 Esempio Calcoliamo la tabella delle differenze divise relativa alla funzione f (x) = 2x 2 + 4x 3 nei punti x i = i 2, per i = 0,1,..., Si ha che i f [x i,x i+1,x i+2 ] = 2 mentre f [x i,x i+1,x i+2,x i+3 ] = 0. Le diagonali della tabella rappresentano i coefficienti delle seguenti diverse espressioni (in quanto utilizzano nodi diversi) del polinomio f (x), ottenute mediante la base di Newton: Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

24 f (x) = = f [ 2] + f [ 2, 1](x + 2) + f [ 2, 1, 0](x + 2)(x + 1) = 3 2(x + 2) + 2(x + 2)(x + 1) = f [ 1] + f [ 1, 0](x + 1) + f [ 1, 0, 1](x + 1)(x 0) = 5 + 2(x + 1) + 2x(x + 1) = f [0] + f [0, 1](x 0) + f [0, 1, 2](x 0)(x + 1) = 3 + 6x + 2x(x 1). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

25 Esempio Calcoliamo la 11 = utilizzando un polinomio di grado 2 ed uno di grado 4. Per ottenere i 2 polinomi occorrono rispettivamente 3 e 5 punti. Consideriamo i nodi x 0 = 9, x 1 = 4, x 2 = 16, x 3 = 1 e x 4 = 25 di cui è nota la radice quadrata. Per calcolare i coefficienti di entrambi i polinomi è sufficiente costruire la seguente tabella della funzione x: / /6-1/ /5-1/90 1/ /6-1/270 1/2835-1/36288 da cui risulta: p 2 (x) = (x 9) 210 (x 4)(x 9), p 4 (x) ( = p 2 (x) (x 1)) (x 16)(x 4)(x 9). Le approssimazioni ottenute sono: p 2 (11) = e p 4 (11) = Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

26 Interpolazione di Hermite L interpolazione di Hermite cerca di costruire un polinomio Interpolante tale che: dati (x 0,f 0,f 0 ),(x 1,f 1,f 1 ),...,(x n,f n,f n) verifichi le seguenti condizioni di Interpolazione: Teorema p(x i ) = f i, i = 0,n p (x i ) = f i i = 0,n Dati n + 1 nodi x i,0 i n e 2 n + 2 valori, f i e f i, 0 i n se i nodi sono distinti allora esiste un unico polinomio di grado minore o uguale a 2n + 1 tale che: p(x i ) = f i, p (x i ) = f i Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

27 Esempio:Costruzione del polinomio di Hermite usando la base di Newton Consideriamo i nodi x 0 e x 1 e i valori f 0,f 0,f 1,f 1. Costruiamo la tabella delle differenza divise con nodi coincidenti x 0 f 0 x 0 f 0 f [x 0,x 0 ] = f 0 x 1 f 1 f [x 0,x 1 ] f [x 0,x 0,x 1 ] x 1 f 1 f [ x 1,x 1 ] = f 1 f [x 0,x 1,x 1 ] f [x 0,x 0,x 1,x 1 ] Il polinomio di Hermite di terzo grado è: p(x) = f 0 +f 0(x x 0 )+f [x 0,x 0,x 1 ](x x 0 ) 2 +f [x 0,x 0,x 1,x 1 ](x x 0 ) 2 (x x 1 ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

28 Errore nella interpolazione Finora abbiamo trattato le ordinate f i come numeri arbitrari. Possiamo cambiare il punto di vista e assumere che f i = f (x i ), con f una funzione sufficientemente regolare. Sia p il polinomio interpolante la f nei nodi x 0,x 1,...,x n. Cerchiamo un espressione per l errore e(t) = f (t) p(t) con t diverso dai nodi. Sia q(u) il polinomio di grado n + 1 che interpola i nodi x 0,x 1,...,x n e x n+1 = t. La forma di Newton per q(u) è: n+1 i 1 q(u) = f [x 0,x 1,...,x i ] (u x j ) i=0 j=0 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

29 q(u) = Quindi con n i=0 i 1 f [x 0,x 1,...,x i ] (u x j ) + f [x 0,x 1,...,x n,t] j=0 q(u) = p(u) + f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(u) ω(u) = Per costruzione q(t) = f (t), quindi: n (u x j ) j=0 f (t) = p(t) + f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(t) n (u x j ) j=0 o e(t) = f (t) p(t) = f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(t) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

30 Consideriamo adesso la funzione r(u) = f (u) p(u) f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(u) con t fissato e u variabile. Poichè p(x i ) = f (x i ) e ω(x i ) = 0 inoltre r(x i ) = f (x i ) p(x i ) f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(x i ) = 0 r(t) = f (t) p(t) f [x 0,x 1,...,x n,t]ω(t) = 0 Se I è il più piccolo intervallo contenente x o,x 1,...,x n,t allora r(u) ha almeno n + 2 zeri in I Per il Teorema di Rolle, fra ognuno di questi zeri vi è uno zero di r (u) r (u) ha almeno n + 1 zeri in I e r (u) ha almeno n zeri in I Continuando troviamo che r (n+1) (u) ha almeno 1 zero in I Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

31 Sia ξ un zero di r (n+1) (u) in I. Allora poichè p(u) è un polinomio di grado n, p (n+1) (u) = 0, inoltre ω (n+1) (u) = (n + 1)!, quindi 0 = r (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) f [x 0,...x n,t](n + 1)! o f [x 0,....x n,t] = f (n+1) (ξ) (n + 1)! Quindi se p è il polinomio interpolante le f nei nodi x 0,...,x n e(x) = f (x) p(x) = ω(x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

32 Mentre il secondo termine dipende dalla funzione f e dalla sua regolarità, il primo termine dipende esclusivamente dalla scelta dei punti in cui si esegue l interpolazione. Supponiamo che i punti siano tutti contenuti nell intervallo [a,b]. Non è restrittivo supporre che [a,b] sia [ 1,1]. In caso contrario possiamo usare la trasformazione t = 2x b a b a. Poniamo ora: f = max f (x). 1<x<1 è una norma e quindi soddisfa alle proprietà già viste per le norme di vettori, cioè: N1) f = 0 se e solo se f (x) = 0, N2) λf = λ f, N3) fg f g. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

33 Si ha e ω f [x 0,x 1,...,x n,x]. Si può dimostrare che esiste una scelta dei punti di interpolazione che minimizza la norma ω. Tale scelta richiede di prendere i seguenti nodi in [ 1,1]: o in [a,b] x k = cos (2k + 1)π, k = 0,1,...,n. 2(n + 1) x k = a + b 2 + b a 2 cos (2k + 1)π, k = 0,...,n. 2(n + 1) Questi nodi sono detti nodi di Chebyshev. Quando i nodi da scegliere non sono fissati a priori, conviene prendere questi ultimi. Nell esempio seguente la stessa funzione è interpolata su nodi equidistanti e su quelli di Chebyshev. Il polinomio interpolante con nodi equidistanti presenti oscillazioni molto più ampie, specialmente vicino agli estremi dell intervallo, rispetto al polinomio ottenuto con i nodi di Chebyshev. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

34 Esaminiamo la reazione del polinomio di interpolazione p(x) alla presenza di perturbazioni nelle ordinate f j. Siano f j + δ j i valori perturbati e definiamo n ˆp(x) = p(x) + δp(x) = (f j + δ j )L j (x) L errore soddisfa e ˆp(x) p(x) = δp(x) = ˆp(x) p(x) ( n j=0 j=0 n (δ j )L j (x) j=0 L j (x) ) max 0 j n δ j. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

35 Definite λ(x) = n j=0 L j(x) la funzione di Lebesgue e Λ n = λ(x) la costante di Lebesgue, si ha e ˆp(x) p(x) λ(x) max 0 j n δ j ˆp(x) p(x) Λ n δ con δ = (δ 0,...,δ n ) T. Dividento per p(x) f si ha ˆp(x) p(x) p(x) Λ n δ f con f = (f 0,...,f n ) T. La costante di Lebesgue associata ai nodi x 0,...,x n e all intervallo [a,b] rappresenta una maggiorazione del coefficiente di amplificazione degli errori nei dati sul risultato p(x). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

36 Spline L interpolazione polinomiale presenta degli aspetti negativi quando i nodi sono molti. I polinomi, essendo di grado elevato, presentano delle forti oscillazioni tra un nodo e l altro. Supponiamo che i nodi x 0 < x 1 < < x n siano contenuti in un intervallo [a,b]. Sia d 1. Definiamo funzione spline di ordine d una funzione S d (x) tale che: 1 S d (x) è un polinomio di grado d in ogni intervallo [x i 1,x i ], per i = 1,2,...,n; 2 S (k) d (x), per k = 0,1,...,d 1 è continua in [a,b]. La derivata S d è una funzione spline di ordine d 1 e l integrale è una funzione spline di ordine d + 1. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37

37 Spline lineare Se costruiamo la spline interpolante S 1 (x) date le coppie (x 0,f 0 ),...,(x n,f n ), in ogni intervallo [x i,x i+1 ], la spline è definita da S 1 (x) = (x i+1 x)f i + (x x i )f i+1 x i+1 x i quando f i = f (x i ) con f continua con derivata prima e seconda continua, dalla formula per l errore dell interpolazione S 1 (x) f (x) (x x i )(x x i+1 ) f (x) 2 quindi se h = max i (x i+1 x i ) si ha S 1 (x) f (x) O(h 2 ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Interpolazione 17/04/ / 37