TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE

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1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE Francesca Pelosi e Salvatore Filippone Università di Roma Tor Vergata Problemi di diffusione, trasporto, reazione pelosi/ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p./8

2 DIFFUSIONE TRASPORTO e REAZIONE Il metodo di Galerkin applicato a problemi ellittici nella forma: trovare u V = H (Ω) tale che a(u, v) = F (v), v V fornisce sotto le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram una soluzione stabile e convergente, ossia: u h V α F V, u u h V M α inf w h V h u w h V con M, α costante di continuità e coercività di a(, ). Nella pratica queste disuguaglianze possono essere di scarsa utilità se le costanti sono molto grandi. Se M α: la seconda disuguaglianza è poco significativa a meno che inf wh V h u w h V non sia molto piccolo: occorre V h molto grande e in temini di elementi finiti occorre h molto piccolo numero elevato di gradi di libertà problema oneroso (se non intrattabile) dal punto di vista computazionale. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/8

3 DIFFUSIONE TRASPORTO e REAZIONE Analizzeremo problemi che modellano i processi fisici di diffusione, trasporto e reazione, in Ω R 2 : div(ε u) + b u + σu = f, in Ω u =, su Ω dove ε, σ, f, b sono funzioni o costanti assegnate: - ε L (Ω), ε(x) ε > - σ(x) L 2 (Ω), σ(x) q.o. in Ω - b [L 2 (Ω)] 2, f L 2 (Ω) in molte applicazioni il termine di diffusione div(ε u) è dominato dal termine trasporto (convezione) b u (Pb. a trasporto dominante) reazione (assorbimento) σu (Pb. a reazione dominante) presenza di strati limite: regioni in cui la soluzione è caratterizzata da forti gradienti, di solito in prossimità del bordo di Ω; ( u L 2 (Ω /ε ) si dimostra: M = ε L (Ω) + b L (Ω) + σ L 2 (Ω) α = Cε quindi M/α è grande se b L (Ω)/ ε L (Ω) o σ L (Ω)/ ε L (Ω) sono grandi TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/8

4 DIFFUSIONE-TRASPORTO D εu + bu =, < x < u() =, u() = dove ε, b sono costanti positive la sua forma debole: trovare u H (, ), con u() =, u() = : (εu v + bu v) dx = v H (, ). introducendo la funzione di rilevamento R g = x possiamo riformulare il problema per u = ũ + R g : trovare ũ H (, ), : (εũ v +bũ v) dx = trovare ũ H (, ), : (εũ v + bũ v) dx = (εr gv +br gv) dx v H (, ). bv dx v H (, ). trovare ũ H (, ), : a(ũ, v) = F (v) v H (, ). TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/8

5 DIFFUSIONE-TRASPORTO D Definiamo il numero di Péclet globale per un dominio di ampiezza L Pe g := b L 2ε misura quanto il termine di trasporto domina su quello diffusivo. La soluzione esatta u(x) = e b ε x e b ε b/ε sviluppando in serie di Taylor u(x) x; b/ε u(x) e b ε x /e b ε = e b ε ( x) soluzione prossima a zero q.o. tranne che in un intorno di x = di ampiezza ε/b dove si raccorda a : strato limite di ampiezza O(ε/b) con derivata dipendente da b/ε. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/8

6 DIFFUSIONE-TRASPORTO D u i (ε Risolviamo con il metodo di Galerkin ad elementi finiti lineari: V h = X h e V h = X h in cui v h() = v h () = su partizione uniforme x i = x i + h, i =,..., N + 2 si ottengono per le incognite u i dove u h = N i= u iϕ i le equazioni: xi x i ϕ i ϕ i + b ( b 2 + ε ) h xi x i ϕ i ϕ i u i ) + u i ( +u i+ (ε ε xi+ x i xi+ x i (ϕ i )2 + b ϕ i+ ϕ i + b + 2ε ( b h u i + 2 ε ) u i+ = h Dividiamo per ε/h e definiamo il numero di Péclet locale xi+ x i xi+ x i ϕ i ϕ i ) ϕ i+ ϕ i Pe := b h/2ε ) = (Pe + ) u i + 2u i + (Pe ) u i+ = equazione alle differenze di tipo lineare che assume soluzioni di tipo esponenziale della forma u i = ρ i, risolvendo si ottiene: TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.6/8

7 DIFFUSIONE- TRASPORTO D u i = ( ) i +Pe Pe ( ) N+ +Pe Pe Se Pe = b h/(2ε) > al numeratore compare una potenza con base negativa quindi la soluzione approssimata risulta oscillante al contrario della soluzione esatta che è monotona Occorre scegliere h sufficientemente piccolo in modo da garantire Pe < ovvero h 2ε b tale strategia risulta impraticabile quando b/ε, per b =, ε = /5, si deve avere h 2/5 = 4, in (, ) occorrono più di intervalli. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.7/8

8 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: esempio ε =, b = Pe g = 5 h < 2 = N + =, h =. N + = 2, h =.5 N + = 4, h =.25 Le oscillazioni nel metodo di Galerkin possono essere evitate solo se si sceglie un passo di griglia sufficientemente piccolo da garantire Pe < ; raffinamento adattivo: si infittisce la griglia solo in corrispondenza dello strato limite; tecniche di stabilizzazione : upwind, Scharfetter-Gummel. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/8

9 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: DF Tecniche di stabilizzazione: La tecnica di stabilizzazione upwind ha origine dalle relazioni tra Elementi Finiti (EF) e Differenze Finite (DF) su problemi di diffusione-trasporto: nel metodo DF si discretizzano le derivate presenti nell equazione mediante rapporti incrementali con errori di discretizazzione locale dello stesso ordine. Ad esempio: u (x i ) = u(x i+) u(x i ) 2h + O(h 2 ), i =,..., N u (x i ) = u(x i+) 2u(x i ) + u(x i ) h 2 + O(h 2 ), i =,..., N Sostituendo i rapporti incrementali alle derivate esatte nell equazione e denotando u = u(x i ), si ottiene: ε u i+ 2u i +u i h 2 + b u i+ u i =, i =,..., N 2h u =, u N+ = Moltiplicando per h e riordinando i termini l equazione sopra è la stessa ottenuta con EF lineari sulla stessa partizione di [, ]. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.9/8

10 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: DF Le oscillazioni nella soluzione numerica dipendono dallo schema alle differenze utilizzato per discretizzare il termine di trasporto: DFC ovvero DF Centrate; il significato fisico del termine bu (x) suggerisce di utilizzare uno schema decentrato per approssimare la derivata in x i a seconda del segno di b; si ottiene la tecnica upwind (DFUP) e per b > ε u i+ 2u i + u i h 2 + b u i u i h =, i =,..., N Il rapporto incrementale decentrato introduce un errore locale di discretizzazione che è O(h) e quindi si ha una riduzione dell ordine di convergenza (soluzione meno accurata). TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p./8

11 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: DF Riscrivendo il rapporto incrementale decentrato in termini di rapporto incrementale centrato e approssimazione della derivata seconda u i u i h = u i+ u i 2h h 2 u i+ 2u i + u i h 2 si può riscrivere lo schema upwind come uno schema DFC in cui è stato introdotto un termine di diffusione artificiale proporzionale ad h: ( ε + bh 2 ) ui+ 2u i + u i h 2 + b u i+ u i 2h =, i =,..., N con ε h u i+ 2u i + u i h 2 + b u i+ u i 2h =, i =,..., N ε h = ε + bh 2 = ε( + Pe) = ε( + ψ(pe)) Lo schema corrisponde alla discretizzazione con DFC del problema perturbato ε h u + bu = La correzione ε h ε = bh/2 è detta viscosità artificiale TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p./8

12 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: stabilizzazione La tecnica upwind o viscosità artificiale aumenta la viscosità del problema aggiungendo un termine diffusivo (ossia di derivata seconda) della forma b h 2 u = εpe u = εψ(pe) u ψ è in generale una funzione del numero di Peclét locale che tende a zero per valori piccoli di Pe ψ(t) = t : schema upwind (DFUP) ψ(t) = t + B(2t) con B(t) = t/(e t ), t > : schema Scharfetter-Gummel La viscosità effettiva diventa : ε h = ε( + Pe) = ε( + ψ(pe)) Il numero di Peclét effettivo: Pe h = b h 2ε h = Pe + Pe = ψ(pe) + ψ(pe) <, h l approssimazione con il metodo upwind non presenta oscillazioni e quindi risulta stabile per ogni valore di h. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/8

13 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: stabilizzazione ε =, b = Pe g = 5 h < 2 =.2 Stabilizzazione Upwind Stabilizzazione Scharfetter-Gummel N + =, h =. N + = 2, h =.5 N + = 4, h =.25 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/8

14 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: analisi Il problema può esser visto come la risoluzione di uno schema di Galerkin generalizzato: trovare u h V h t.c. a h (u h, v h ) = F h (v h ), v h V h dove ah (u h, v h ) = a(u h, v h ) + b h (u h, v h ), F h (v h ) = F (v h ) + G h (v h ) I termini aggiunti hanno lo scopo di eliminare le oscillazioni prodotte dal metodo di Galerkin. Parlare di stabilizzazione è in realtà improprio in quanto il metodo di Galerkin è stabile nel senso della dipendenza continua della soluzione dai dati. Stabilizzazione si intende in questo caso la riduzione delle oscillazioni presenti nella soluzione numerica quando Pe >. Per il problema D visto, si considera al solito u = ũ h + R gh e si cerca ũ h V h : a h (ũ h, v h ) = F (v h ), v h V h con F h (v h ) = F (v h ) e con schema upwind b h (ũ h, v h ) = εpe ũ h v h dx TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/8

15 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: analisi Analizzando la coercività si ha: a h (v h, v h ) = ε h (v h )2 dx = ε h v h 2 V h essendo ε h ε la costante di coercività è più grande. Per quanto riguarda l accuratezza: dal Lemma di Strang (per metodi Galerkin generalizzati) con s = min{r, p}, per u H p+ posto V = H (Ω): u u h V inf w h V h C { ( + M ) ε h u w h V + ε h h s ε( + Pe) u H s+ + Pe + Pe u V Se ε è fissato e h tende a : sup v h V h \ u u h V C [h s u H s+ + Pe u V ] Se h è fissato e ε tende a : u u h V C 2 [ h s u H s+ + u V ] } a(w h, v h ) a h (w h, v h ) v h V TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/8

16 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: analisi In generale se ε h = ε( + ψ(pe)) u u h V C h s ε( + ψ(pe)) u H s+ + ψ(pe) + ψ(pe) u V Se ε è fissato e h tende a si ha ψ(pe) : Se h è fissato e ε tende a : u u h V C [h s u H s+ + ψ(pe) u V ] u u h V C 2 [ h s u H s+ + u V ] nel caso upwind ψ(pe) = Pe ε( + ψ(pe)) = ε + b 2 h, ψ(pe) + ψ(pe) = h h + 2ε/b per Scharfetter-Gummel quando ε si ha ψ(pe) = Pe TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.6/8

17 DIFFUSIONE-TRASPORTO D: analisi Osservando il caso ε fissato e h tendente a : u u h V C [h s u H s+ + ψ(pe) u V ] il metodo stabilizzato upwind: ψ(pe) = Pe = O(h) genera un errore lineare ripetto ad h (primo ordine) indipendentemente dal grado r scelto. La perturbazione prodotta sulla forma bilineare dall aggiunta della viscosità numerica degrada l ordine di accuratezza della soluzione a. il metodo stabilizzato Scharfetter-Gummel ψ(pe) = O(h 2 ) genera un errore quadratico ripetto ad h (secondo ordine) per r 2. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.7/8