Esercitazione 1 TRASPORTO CONVETTIVO

Transcript

1 Esercitazione 1 TRASPORTO ONVETTIVO Si effettui la simulazione di un fenomeno di trasporto puramente convettivo (E=0) all interno di un dominio monodimensionale di lunghezza L=4000 m, in presenza di una velocità di trasporto pari a U=1,2 m/s. ome condizione iniziale, si assuma che la concentrazione sia pari a *=10 unità/m 3 per una parte del dominio di lunghezza pari a 400 m, e nulla altrove. Sia inoltre nulla la concentrazione nella prima sezione del dominio per t>0. Si discutano i risultati in relazione ai seguenti aspetti: Accuratezza della soluzione (diffusività numerica, rispetto della legge di conservazione della massa); Stabilità della soluzione. SOMMARIO 1. enni teorici sullo svolgimento dell esercizio 2. Svolgimento dell esercizio 3. Elaborazione di grafici 4. Discussione dei risultati Pag

2 ENNI TEORII sullo SVOLGIMENTO dell ESERIZIO L equazione alla quale far riferimento per risolvere il problema è la (1), ossia l EQUAZIONE del TRASPORTO PURAMENTE ONVETTIVO nell ipotesi di moto monodimensionale e uniforme. t U x 0 Avendo indicato con: x U la variazione della concentrazione di soluto lungo il dominio spaziale (x è la coordinata spaziale longitudinale); la velocità media di portata; la concentrazione media nella sezione. In generale le equazioni differenziali possono essere risolte con metodi analitici o metodi numerici: quando la soluzione per via analitica risulta impossibile, si utilizza una soluzione per via numerica. In quest ultimo caso il dominio considerato viene suddiviso in una griglia di calcolo nei cui nodi vengono valutate le soluzioni del problema, mentre negli altri punti si può procedere per interpolazione. Per semplicità, di seguito, si assumerà una griglia spazio-temporale di passi costanti. Uno dei metodi numerici per risolvere l equazione (1) è quello alle differenze finite che utilizza dei rapporti incrementali per approssimare i termini differenziali. Una derivata può essere valutata con diversi tipi di rapporti incrementali, ad esempio alle differenze in avanti o all indietro (del primo ordine) o centrate (queste ultime risultano essere del secondo ordine). Nel caso in esame, ricorrendo all operatore in avanti (forward) per la derivata temporale e all operatore all indietro (backward) per quella spaziale, l equazione (1) diventa: i 1 t i U i x i 1 0 Avendo indicato con: i La concentrazione di soluto [unità/m³] nel generico punto di ascissa i-esima (coordinata spaziale) all istante -esimo (coordinata temporale). 1

3 REALIZZAZIONE del FOGLIO di ALOLO Per trovare la soluzione al problema si è ricorso ad un foglio di calcolo Excel, data la grande quantità di operazioni da compiere. La soluzione numerica ottenuta in questo modo rappresenta la concentrazione di soluto nei nodi della griglia, ossia in un numero discreto di punti posti ad una certa distanza x dal luogo di immissione (x=0; x=40m; x=80m, etc.) in un numero discreto di istanti t (t=0; t=33.33s; t=66.66s; etc.). ome primo passo è stata allestita la griglia definendo gli assi spaziale e temporale e la relativa orientazione. Successivamente sono state inserite le condizioni al contorno prima definite: la condizione iniziale, relativa alla concentrazione di soluto lungo l intero tratto L all istante =0, e la condizione ai limiti, relativa alla concentrazione di soluto nella sezione iniziale di ascissa i=0 per tutto il tempo di simulazione (1 ora). Allestita la griglia, si è quindi passati al calcolo delle concentrazioni di soluto nei nodi sfruttando l equazione (4). Lo schema seguito è stato, pertanto, quello illustrato in figura 4: la soluzione numerica nel nodo rosso [ossia la concentrazione di soluto nel generico punto di ascissa i-esima lungo il dominio spaziale, all istante (+1)esimo] è determinata sfruttando la concentrazione di soluto, già nota, nei nodi verdi. ompilata tutta la fila -esima in questo modo, si è passati alla compilazione di quella successiva, la (+1)esima, e così via fino all istante =3600 secondi (1h), che è stato assunto come limite superiore del dominio temporale. Metodo numerico upwind 1 i (1 ) i i 1 5

4 Avendo assunto la soluzione ottenuta risulta instabile. Dal punto di vista applicativo la conseguenza di tale scelta è che si ottiene un profilo di concentrazione caratterizzato da forti oscillazioni sia positive che negative, con valori compresi in un range estremamente ampio, dell ordine di [ ; ] dopo un tempo di simulazione di un ora e che continuano ad aumentare per gli istanti successivi. 10

5 M. Roma Esercitazione 2 TRASPORTO DISPERSIVO Si effettui la simulazione di un fenomeno di dispersione di soluto (E=2 m 2 /s) all interno di un dominio monodimensionale di lunghezza L=4000 m, in presenza di una velocità di trasporto pari a U=1,2 m/s. Si assuma la condizione iniziale del precedente esercizio (*=10 unità/m 3 per una parte del dominio di lunghezza pari a 400 m, e nulla altrove; nulla la concentrazione nella prima sezione del dominio per t>0). Si discutano i risultati in relazione ai seguenti aspetti: Variazione della max nel tempo e confronto con i risultati del trasporto puramente convettivo. Accuratezza della soluzione (rispetto della legge di conservazione della massa), stabilità della soluzione, influenza sulla soluzione dei parametri numero di ourant e passo spaziale. SOMMARIO 1. enni teorici sullo svolgimento dell esercizio 2. Svolgimento dell esercizio 3. Elaborazione di grafici e discussione dei risultati Pag

6 Variazione della max nel tempo I grafici sopra illustrati riportano i profili di concentrazione di soluto lungo il tratto L per 5 diversi istanti temporali. Per le elaborazioni si sono utilizzati diversi valori del numero di ourant e di Peclet Pe, lasciando invariato il passo spaziale x e variando di conseguenza quello temporale t. Particolare attenzione è stata posta al confronto tra il caso del trasporto puramente convettivo (esercitazione 1) e del trasporto convettivo - dispersivo (esercitazione 2). Dal confronto dei grafici 1a e 1b è possibile osservare come, in entrambi i casi, le curve della concentrazione del soluto lungo il tratto L non solo subiscano una traslazione verso destra man mano che il tempo passa, ma siano soggette anche ad una variazione nella forma. In particolare istante dopo istante le curve si appiattiscono (la concentrazione massima di soluto diminuisce) ed assumono una base sempre più ampia. Una delle differenze tra il caso del trasporto puramente convettivo (grafico 1b) e convettivo - dispersivo (grafico 1a) è che, a parità di numero di ourant e di istante t considerati, nel caso di trasporto puramente convettivo la massima concentrazione di soluto è più elevata; tale differenza è legata all effetto del coefficiente di dispersione E. Apparentemente, inoltre, sembra che il picco della massima concentrazione di soluto sia spostato più a valle nel caso del trasporto dispersivo: in realtà questo dipende dalla discretizzazione del dominio spaziale (infatti, la differenza è sempre di x=40m, come mostrato nelle tabelle 1 e 2). Tabella 1. Trasporto puramente convettivo (E = 0) con = 0,8 Tabella 2. Trasporto convettivo + diffusivo (E = 2m 2 /s) con = 0,8 Ad esempio, per t = 1200 s, la concentrazione massima di soluto nel caso di trasporto puramente convettivo (tabella 1) si ha in corrispondenza dell ascissa x = 1640 m ed è pari a 9,37 unità/m 3, mentre nel caso di trasporto convettivo - dispersivo si ha per x = 1680 m (più a valle) ed è pari a 8,84 unità/m 3 ( max più piccola). Tale spostamento del picco del profilo di concentrazione, per quanto detto precedentemente, non è significativo. 5

7 Grafico 5. onfronto tra i profili di concentrazione nell ipotesi di trasporto convettivo dispersivo a parità di passo spaziale x = 40m e variando il numero di ourant ( = 0,8 nel grafico in alto ed = 0,5 in quello in basso). Nel caso in cui = 0,8 i profili di concentrazione presentano picchi più elevati mentre nel caso in cui = 0,5 notiamo un maggior spanciamento. Questo è dovuto, anche questa volta, alla maggiore diffusività numerica legata all assunzione di un valore di molto distante dall unità. Osserviamo infine che la posizione del centro di massa rimane invariata. 10

8 M. Roma Esercitazione 3 TRASPORTO ONVETTIVO-DISPERSIVO Si effettui la simulazione, mediante un metodo di predizione-correzione, di un fenomeno di trasporto convettivo-dispersivo (E=5 m 2 /s) all interno di un dominio monodimensionale di lunghezza L=4000 m, in presenza di una velocità di trasporto pari a U=1,2 m/s. ome condizione iniziale, si assuma che la concentrazione sia pari a *=10 unità/m 3 per una parte del dominio di lunghezza pari a 400 m, e nulla altrove. Sia inoltre nulla la concentrazione nella prima sezione del dominio per t>0. Si discutano i risultati in relazione ai seguenti aspetti: Accuratezza della soluzione (diffusività numerica, rispetto della legge di conservazione della massa); Stabilità della soluzione; Dipendenza della soluzione dal parametro di peso del metodo di predizionecorrezione. SOMMARIO 1. enni teorici sullo svolgimento dell esercizio 2. Elaborazione di grafici e discussione dei risultati Pag. 1 3

9 Accuratezza della soluzione Relativamente alla diffusività numerica, è possibile osservare (grafico 4) come nel metodo upwind (FTBS) ci sia una maggior dispersione rispetto al metodo backwind (BTFS); tale diffusione appare lieve ma se la confrontassimo con la diffusione ottenuta a tempi maggiori otterremmo una maggiore dispersione della soluzione. Il primo metodo, infatti, tende a sottostimare maggiormente le concentrazioni. Il metodo backwind, al contrario, se applicato singolarmente, introdurrebbe degli errori di diffusività negativa, come se i profili di concentrazione tendessero a compattarsi più che a spanciare; inoltre il limite maggiore è rappresentato dal fatto che tale sistema non è trasportivo, ossia non è in grado di trasportare la massa. Per questo si ricorre alla combinazione dei due metodi ottenendo il metodo predictorcorrector precedentemente illustrato. L accuratezza della soluzione è stata, poi, controllata verificando che la legge di conservazione della massa (7) sia rispettata. m (7) se m su st Avendo indicato con: m se m su st Massa di soluto entrante nel dominio spaziale di riferimento. Massa di soluto uscente dal dominio spaziale di riferimento. Variazione della massa di soluto all interno del dominio spaziale di riferimento nell intervallo di tempo t. In tabella 1 sono riportati i valori della massa di soluto per due differenti istanti temporali. Se la soluzione è corretta, la loro differenza deve essere teoricamente nulla. In pratica, però, il bilancio di massa si considera comunque numericamente soddisfatto se la differenza fra massa entrante e massa uscente è una frazione sufficientemente piccola (entro il 5%) della stessa massa entrante od uscente. Pertanto nel caso in esame la scomparsa di circa 41 unità di soluto rispetto alle 4000 iniziali (ossia l 1% rispetto alla massa iniziale) può ritenersi trascurabile. Massa (t = 0 s) Massa (t = 2400 s) onservazione della massa ,3 SI Tabella 1. Verifica del principio di conservazione della massa (predictor-corrector). 5