Dinamica. INTELLIGENT AUTONOMOUS SYSTEMS LAB

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1 Dinamica INTELLIGENT AUTONOMOUS SYSTEMS LAB

2 Introduzione Obbiettivi: Multi-DOF robot DINAMICA Studio delle leggi fisiche necessarie per il moto dei corpi costituenti il robot Robovie-X MOVIMENTO KUKA YouSobot

3 Sommario Passi: 1. ZMP e CoM 2. Dinamica di un robot umanoide: Dinamica di un movimento di traslazione Dinamica di un movimento di rotazione 3. Marcia bipede: LIP-3D Carrello

4 ZMP Zero Moment Point f forza distribuita sul piede caratterizzante il contatto tra piede e suolo R forza risultante ZMP: - punto di applicazione di R - centro di pressione

5 CoM Center of Mass CoM : - punto nello spazio dove si concentra l intera massa del corpo - Sia dato un robot di massa M con N link di massa m j (1 j N) - posizione del CoM del corpo j nel riferimento locale - Posizione di j nel riferimento assoluto: posizione - posizione del CoM globale del robot: orientazione

6 Proiezione al suolo del CoM punto situato nell intersezione tra la linea di gravità passante per il centro di massa e il suolo

7 Poligono di sostentamento Si tende un elastico attorno ai piedi del robot al livello della superficie di contatto Poligono di sostentamento: superficie risultante

8 ZMP vs CoM Può uscire dal poligono di sostentamento Poligono di sostentamento Sempre all interno del poligono di sostentamento Immobilità: ZMP e proiezione del CoM coincidono Moto: ZMP e proiezione del CoM si dislocano in punti differenti

9 Dinamica Dati: Dinamica di un movimento di traslazione Robot umanoide di struttura qualunque M massa totale del robot c [x y z] T posizione del CoM P [P x P y P z ] T quantità di movimento (misura dei movimenti del robot in traslazioni ) L [L x L y L z ] T movimento cinetico (misura dei movimenti del robot attorno all origine) Dinamica di un movimento di rotazione

10 Dinamica di un movimento di traslazione La quantità di movimento è il prodotto tra la massa totale del robot e la velocità del suo CoM La quantità di movimento dipende dalla risultante delle forze esterne applicate al robot Mg + f Forze gravitazionali Forze di contatto con l ambiente 1. Quando un robot è immobile in piedi, la variazione di quantità del movimento è nulla e le forze di gravità si equilibriano con le forze di reazione del suolo 2. Se le forze di reazione scompaiono, la quantità di movimento aumenta rapidamente verso il basso a cause della forza di gravità caduta libera

11 Dinamica di un movimento di rotazione Il momento cinetico dipende dal momento risultante delle forze esterne c x Mg + Momento derivante dalle forze gravitazionali Momento di reazione del suolo applicato al livello del suolo stesso 1. Dato un robot immobile, questo momento si dovrà equilibrare con quello generato dalla forza peso 2. Nel caso in cui questo equilibrio non avvenga, il momento di reazione del suolo aumenta rapidamente caduta libera

12 Calcolo della posizione dello ZMP in funzione dei movimenti del robot Il calcolo della posizione dello ZMP a seconda dei movimenti effettuati dal robot può essere effettuato secondo due procedimenti: 1. Analitico 2. Approssimato

13 Procedimento analitico Dati: Dai dati forniti si trova: = p x f + p Mg + f c x Mg + p posizione dello ZMP f risultante delle forze di reazione del suolo applicate allo ZMP p momento applicato allo ZMP momento all origine del sist. di rif.

14 Procedimento analitico Dati: (Vettore a 3 componenti ) Le 2 componenti sul piano orizzontale sono nulle: p posizione dello ZMP f risultante delle forze di reazione del suolo applicate allo ZMP p momento applicato allo ZMP momento all origine del sist. di rif. Altezza dal suolo

15 Procedimento approssimato PASSO 1: Si rappresenta il robot in tutto il suo insieme come un unica massa puntiforme

16 Procedimento approssimato PASSO 2: Si calcola la quantità di movimento ed il momento cinetico all origine PASSO 3: Si calcolano le corrispondenti derivate

17 Procedimento approssimato PASSO 4: Si inseriscono i valori trovati nelle espressioni di p x e p y del procedimento analitico PASSO 5: Lo ZMP è definito sotto la direzione delle forze di reazione del suolo e di quelle inerziali. I valori di queste ultime si ottengono ponendo = 0 e p z = 0

18 Marcia bipede Requisiti: 1. ZMP all interno del poligono di sostentamento 2. CoM sempre alla stessa altezza Il robot viene modellato come: 1. LIP-3D (Linear inverted pendulum 3D) 2. Carrello sul tavolo

19 LIP-3D Forma: 1. Il robot ha massa puntiforme (l insieme delle masse delle parti che lo costituiscono viene ridotto al suo CoM) 2. Le gambe sono senza massa 3. Le gambe stabiliscono la connessione tra la massa puntiforme e il suolo per mezzo di un nesso di forma arrotondata Proprietà: 1. Il pendolo può girare liberamente attorno al suo punto di supporto 2. La lunghezza della gamba può venir modificata per mezzo della forza di propulsione f sin cos distanza tra CoM e punto di supporto

20 LIP-3D Forze agenti: 1. Forza di propulsione 2. Forza di gravità Equazioni dei movimenti che governano gli spostamenti del CoM: Altezza in cui il piano taglia z Vincolo legato alla posizione del CoM: piano

21 LIP-3D Al fine di assicurare che il movimento del CoM resti nel piano delineato, l accelerazione del CoM deve restare ortogonale alla normale del piano: Dinamica orizzontale del CoM

22 LIP-3D Visto che l altezza z c del pendolo inverso rimane costante nel corso del compimento dei movimenti:

23 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Traiettoria di marcia: insieme di porzioni tra loro concatenate, dette primitive di marcia Note per la realizzazione: 1. Di passo in passo bisogna cambiare la gamba di supporto 2. Il cambio di supporto deve essere simultaneo nelle direzioni x e y 3. La lunghezza del passo è costante 4. T sup è il tempo di supporto di ogni passo 5. z c è l altezza a cui deve rimanere il CoM - Una traiettoria primitiva per il CoM è una porzione di iperbole simmetrica rispetto l asse y e definita all interno dell intervallo di tempo [0 T sup ] - Una primitiva di marcia viene determinata unicamente per mezzo delle sue coordinate estreme. Da si ricava la velocità finale del CoM nel tratto considerato

24 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Calcolo di una primitiva di marcia del CoM: Asse x Asse y Condizione iniziale: Posizione finale: Condizione iniziale: Posizione finale: Da Posizione Velocità Posizione Velocità La concatenazione delle primitive di marcia permette di realizzare una traiettoria di marcia

25 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Calcolo della traiettoria del CoM a partire dalle posizioni successive dei piedi: Dati: s x lunghezza del passo s y larghezza del passo s direzione del passo

26 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Calcolo della traiettoria del CoM a partire dalle posizioni successive dei piedi: Posizioni del piede all n-esimo passo: Piede destro = supporto di partenza Primitive di marcia corrispondenti all n-esimo passo: L n-esima primitiva dipende da (n+1)-esimi parametri di marcia affinché vi sia un buon coordinamento tra spostamenti dei piedi e movimento di marcia Posizione Velocità Le primitive sono tutte uguali tranne la prima e l ultima (stati di avvio e di arresto)

27 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Dati: p x * posizione modificata del piede Equazione della dinamica secondo l asse x: - È l eq. dello ZMP - Il CoM è ad altezza costante Soluzione analitica: Relazione tra p x * e lo stato finale :

28 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Dati: Si stabilisce lo stato obiettivo della primitiva di marcia: p x * posizione modificata del piede Si calcola la posizione del piede secondo lo stato obiettivo: 1. Si costruisce una funzione di valutazione: 2. Si sostituiscono i valori in N 3. Si applica la condizione

29 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Dati: p x * posizione modificata del piede Posizione del piede che minimizza N:

30 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Passo 1: determinare il periodo di supporto Tsup e i parametri di marcia sx, sy, s. Indicare la posizione iniziale del CoM (x, y) e del piede (p x *, p y *) = (p x (0), p y (0) ) Passo 2: T = 0, n = 0 Passo 3: integrare l equazione del pendolo inverso Passo 4: T = T + Tsup, n = n + 1 Passo 5: calcolare la posizione successiva del piede (p xn, p yn )

31 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Passo 6: determinare le caratteristiche della primitiva di marcia successiva Passo 7: calcolare lo stato obiettivo (in x e in y)

32 Generazione della traiettoria di marcia del CoM Metodo per la generazione di un modello di marcia continuo: Passo 8: calcolare la posizione modificata del piede Passo 9: ritornare al passo 3

33 Carrello sul tavolo Sia dato un carrello di massa M che si sposta su di un tavolo di massa trascurabile. Il piede del tavolo è troppo piccolo per conservare l equilibrio statico quando il carrello si sposta sul bordo del piano. Si può mantenere l equilibrio dinamico conferendo un accelerazione sufficiente al carrello. Un unica massa ad altezza costante Posizione dello ZMP Equazione dello ZMP

34 Conclusioni Quanto esposto permette la realizzazione di un modello dinamico per la marcia bipede. Nel P2: