Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli)

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1 Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli) 1

2 MOTO LINEARE E L OSCILLATORE ARMONICO 2

3 EQUAZIONE DI SCHRODINGER Equazione di Schrödinger: descrive il comportamento di un insieme di particelle: Φ dipende dalla posizione di tutte le particelle e dal tempo, i.e. Φ(r,t). H: operatore Hamiltoniano: T energia cinetica V energia potenziale 3

4 Per uno stato stazionario nel tempo: Ψ dipende dalla posizione di tutte le particelle, i.e. Ψ(r). 4

5 ALCUNI PROBLEMI QUANTISTICI RISOLUBILI 5

6 MOTO LINEARE: LA PARTICELLA LIBERA IN UNA DIMENSIONE Particella di massa m libera di muoversi lungo una retta (asse x) con un energia potenziale costante (V=0). Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo: Equazione differenziale al II ordine a coefficienti costanti 6

7 Per risolverla, si ricorre ad un equazione algebrica associata: che, risolta, fornisce le due soluzioni immaginarie: E > 0 per la particella libera (E non è quantizzata!) Ho quindi due soluzioni indipendenti: ψ (x) = Inoltre, poiché l equazione differenziale è LINEARE, ogni combinazione lineare delle due è ancora una soluzione: 7

8 Vediamo il significato delle due componenti : i.e. la è autofunzione dell operatore impulso con autovalore : la particella si muove nella direzione pos. dell asse x con quantità di moto. Analogamente: i.e. la è autofunzione dell operatore impulso con autovalore : il moto avviene con quantità di moto (direzione negativa di x). 8

9 PARTICELLA LIBERA: Ogni valore positivo di E è lecito e non si ha quantizzazione dell energia. 9

10 MOTO LINEARE: LA PARTICELLA NELLA SCATOLA IN UNA DIMENSIONE Particella di massa m libera di muoversi lungo l asse x, sottoposta ad un energia potenziale così definita: Energia potenziale Pertanto al di fuori del segmento [0, L] si ergono pareti impenetrabili e la particella non può uscire dal segmento: ψ(x) = 0 se x < 0 o se x > L. 10

11 Dentro la scatola siamo nel caso precedente (particella libera): con Per essere fisicamente accettabile, la deve essere CONTINUA in tutti i punti dell asse x; poiché per x < 0 e x > a,allora: CONDIZIONI AL CONTORNO

12 1) 2) con n numero intero Essendo: e la funzione d onda è: Imponendo la condizione di normalizzazione, posso calcolare infine la costante A n : con n = 1, 2, 3, 12

13 con n = 1, 2, 3, - il valore n = 0 non è accettabile; - i valori negativi di n non sono accettabili; -n = 1 valore + basso dell energia stato fondamentale del sistema: (solo energia cinetica) non c è possibilità per il sistema di stare in quiete. -n = 2 primo stato eccitato del sistema (1 nodo per x = a/2) 13

14 Funzioni d onda per la particella nella scatola con a = 4 14

15 PARTICELLA NELLA SCATOLA: La particella è confinata dentro la scatola (fuori delle pareti la funzione d onda si annulla): la sua energia è quantizzata e le condizioni al contorno determinano le energie permesse. La quantizzazione NON è una conseguenza dell equazione di Schrödinger, ma delle condizioni al contorno. Di fatto, in MQ si ha quantizzazione quando il moto è limitato nello spazio. 15

16 Valor medio per la posizione della particella nella scatola: La posizione media <x> è sempre a metà della scatola, indipendentemente da n. 16

17 EFFETTO TUNNEL: GRADINO DI POTENZIALE Particella di massa m ed energia E che si muove con un energia potenziale a gradino : E>V 0 E<V 0 Meccanica classica: se la particella, che immaginiamo provenire da sinistra verso destra, ha energia E<V 0, non passa aldilà del gradino e viene rimbalzata indietro; se E V 0, la particella passa interamente a destra con energia cinetica E V 0. 17

18 Meccanica quantistica: 1. E<V 0 Data la discontinuità del potenziale, è conveniente risolvere l eq. di Sch. in due regioni I (x 0), II (x>0) separatamente: 1) 2) Per x 0, siamo nel caso precedente: 3) (N.B.: come per la particella libera, E può assumere qualunque valore, purchè >0: spettro continuo). 18

19 Per x>0 invece avremo soluzioni del tipo: 4) Infatti dalla 2): 0 ponendo: 0 si ottengono le soluzioni del tipo 4) (i.e. la soluzione è data da esponenti reali nel caso E<V 0 ). Per determinare le 4 costanti A, B, C, D, imponiamo le CONDIZIONI AL CONTORNO: Essendo ψ(x) finito per x, nella 4) dobbiamo imporre D = 0. Inoltre e la sua derivata devono essere continue nel punto di raccordo x=0: 19

20 5) 6) Risolvendo: si ottiene quindi: ovvero: per x< 0 la funzione d onda è composta da una componente che rappresenta la particella incidente con impulso e da una seconda componente che rappresenta la particella riflessa con impulso -. 20

21 Inoltre, la funzione la funzione d onda è diversa da zero per x 0, nella zona classicamente inaccessibile! In questa zona la funzione d onda non è + un onda progressiva, ma decade a zero in maniera esponenziale e il decadimento è tanto più rapido quanto più grande è χ. EFFETTO TUNNEL Effetto tunnel per un elettrone: in unità atomiche di energia, V 0 = 4, E=3. 21

22 2. E V 0 Abbiamo quattro coefficienti da determinare (A,B,C,D) con non più di tre condizioni (le due condizioni di continuità e la normalizzazione): un coefficiente risulta indeterminato e verrà fissato dalla situazione sperimentale. Ad es., assumendo che la particella provenga dall estrema sinistra (da x = ), dovremo necessariamente assumere D = 0, (non potrà esistere alcuna componente di una particella che provenga dall estrema destra). 22

23 si ottiene quindi: effetto antitunnel: esiste un onda riflessa; c è una probabilità che la particella venga riflessa anche se essa ha una energia sufficiente per superare il gradino. Se consideriamo il rapporto fra il coefficiente dell onda riflessa (B) e quello dell onda incidente (A): si vede che se E>>V 0, tale rapporto tende a zero e l onda passa interamente oltre il gradino. 23

24 EFFETTO TUNNEL: BARRIERA DI POTENZIALE Particella di massa m ed energia E che incontra una barriera finita di potenziale: zona I zona II zona III L L 24

25 1. E<V 0 particella che da si propaga verso destra. Risolviamo l eq. di Sch. per le tre regioni separatamente: 1) 2) 3) con Ora determiniamo i coefficienti, applicando le condizioni al contorno: C = 0 5 coefficienti da determinare con 5 condizioni: continuità della funzione d onda e della sua derivata nei due punti x=0 e x=l + condizione di normalizzazione. 25

26 per x=0 per x=l 26

27 Quindi sostituendo in A: Con cosh e senh coseno e seno iperbolico: 27

28 = coefficiente di trasmissione: identifica quanta parte della particella incidente viene trasmessa aldilà della barriera Sostituendo (<1): Naturalmente, dal punto di vista classico, nessuna trasmissione è possibile, poichè all interno della barriera l energia cinetica risulta negativa: classicamente, la particella viene interamente riflessa. In Meccanica Quantistica si ha qui un altra manifestazione dell effetto tunnel : una parte dell onda incidente viene sempre trasmessa aldilà della barriera e l effetto è tanto più marcato : a) quanto più piccola è la massa b) quanto più grande è l energia E. 28

29 E<V 0 zona I zona III V 0 E zona II Effetto tunnel per un elettrone: in unità atomiche di energia, V 0 = 8, E=7. La lunghezza della barriera è L=2. 29

30 Simulazione della funzione d onda per la particella che attraversa la barriera di potenziale: 30

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32 2.E>V 0 particella che da si propaga verso destra. Risolviamo l eq. di Sch. per le tre regioni separatamente (per la zona I e II sono nel caso precedente; cambia la funzione d onda per la zona II): con = coefficiente di trasmissione: identifica quanta parte della particella incidente viene trasmessa aldilà della barriera: N.B.: stavolta >1. 32

33 Il coefficiente di trasmissione T per un elettrone incidente in una barriera di potenziale: in unità atomiche di energia, V 0 = 8. La lunghezza della barriera è L=2. E>V 0 E<V 0 Andamento ad oscillazioni smorzate di T( manifestazione dell effetto antitunnel: esiste un onda riflessa anche quando l en. è > dell altezza della barriera). 33

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35 PARTICELLA NELLA BUCA DI POTENZIALE L L L equazione di Schröedinger si può risolvere nelle tre regioni determinate dalle caratteristiche del potenziale applicando le condizioni di continuità alle autofunzioni ed alle loro derivate prime in x=0 ed in x=l. Distingueremo il caso E > V 0 e quello E < V 0. Il caso E > V 0 è del tutto simile a quello della particella che incontra una barriera di potenziale (con l altezza della barriera negativa). 35

36 Il caso E < V 0 invece porta alla possibilità di STATI LEGATI, ovvero di stati in cui la particella risiede in una zona confinata dello spazio. Più tecnicamente, uno stato legato è descritto da una funzione d onda che tende a zero per grandi valori di x. Zona I (i.e. all interno della buca, con V=0): particella libera Zona II (i.e. fuori della buca con potenziale V 0 ): la ψ ha un andamento di tipo esponenziale, perché deve tendere z zero all aumentare di x fuori della barriera. 36

37 Applicando le condizioni di continuità della funzione d onda e della sua derivata in 0 ed L, ottengo le soluzioni (per via grafica). Si vede che esistono soluzioni SOLO per valori particolari dell energia E: quantizzazione dell energia. Osserviamo che la funzione d onda non si annulla sulle pareti (come per la particella nella scatola): si ha una probabilità non nulla di penetrazione da parte della particella nella barriera di potenziale. Si verifica che per V 0, ritorno al caso della particella nella scatola! 37

38 Confronto fra la particella nella scatola e la particella nella buca di potenziale finito: Infiniti livelli ψ nulla sulle pareti Livelli in numero finito Il numero dei livelli dipende dalla profondità della buca, ma esiste almeno 1 livello. ψ simile come forma, ma penetra nelle pareti. 38

39 VIBRAZIONE: LA PARTICELLA IN UNA SCATOLA PARABOLICA (OSCILLATORE ARMONICO) Particella di massa m in moto lungo una linea retta, soggetta ad una forza di richiamo F = kx. F = (dv/dx) V = ½ kx 2 Classicamente, l equazione del moto è: con soluzioni: con a e t 0 costanti determinate dalle condizioni iniziali; frequenza angolare (ω = ν) 39

40 Quantisticamente: Autovalori: Autofunzioni: con C v costante di normalizzazione e H v (y) Polinomio di Hermite. 40

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