Prova scritta finale 11 giugno 2004

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1 Prova scritta finale giugno 4 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 3-4 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice: AMMESSO Nota: per lasciare un margine di recupero interno a questo compito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 3 invece che a 3, ma il voto massimo di questo scritto ai fini della media per il voto finale resta comunque 3/3. ) Un sistema D descritto dalla coordinata presenta un gradino di potenziale come mostrato in figura: per < regione I) l energia potenziale è nulla; per > regione II) l energia potenziale è costante e pari a U = 8 ev. Consideriamo inizialmente un singolo elettrone di energia E = 9 ev che si trova nella regione I assumete che la sua funzione d onda sia un pacchetto d onde molto esteso e quindi approssimativamente equivalente ad un onda piana) e si muove nel verso positivo dell asse. A causa dell interazione con il gradino, l elettrone può venire riflesso oppure trasmesso nella regione II. Determinate: a) la lunghezza d onda di De Broglie associata all elettrone nelle due regioni I e II; b) l espressione della funzione d onda nelle due regioni; c) le probabilità di trasmissione e riflessione dell elettrone sul gradino. Supponiamo ora che invece di un solo elettrone ce ne siano due, entrambi di energia E, provenienti dai lati opposti del regione I gradino, con i corrispondenti pacchetti d onde molto estesi) posizionati in modo tale da raggiungere il gradino al medesimo istante. Qual è la probabilità che uno qualsiasi dei due elettroni venga riflesso e l altro trasmesso in modo tale cioè che alla fine i due elettroni si ritrovino entrambi nella stessa regione) e come differisce questa probabilità dal caso in cui i due elettroni possono essere considerati come indipendenti cosa che avviene ad esempio se i due elettroni collidono con il gradino in istanti di tempo ben separati, invece che simultaneamente) d)? suggerimento per la domanda d: determinate e analizzate la funzione d onda complessiva del sistema dei due elettroni, considerando in particolare il caso in cui i due elettroni si trovano nella stessa regione; in alternativa, la risposta può essere ottenuta senza calcoli, ma con un ragionamento ben condotto) [punti: a = ; b =.5; c = ; d =.5] ) In alcuni conduttori per esempio il rame), parte degli elettroni di conduzione risultano confinati alla superficie esterna del materiale e quindi si muovono solo nel piano y) della superficie sono cioè in un sistema bidimensionale D). In tale sistema, si consideri una buca di potenziale di forma quadrata e di lato pari a L = nm, come mostrato in figura una buca del genere, detta anche recinto quantico o quantum corral in inglese può essere realizzata disponendo degli atomi di ferro sulla superficie del rame lungo il perimetro del quadrato, utilizzando un microscopio STM). All interno della buca l energia potenziale è nulla, ossia U,y) =, mentre all esterno si può porre U,y) = +. Determinate a) la funzione d onda orbitale) e l espressione dell energia degli stati stazionari per il singolo elettrone. Supponendo poi che nella buca vi siano elettroni non interagenti e tenendo conto dello spin, determinate b) la configurazione elettronica e l energia dello stato fondamentale del sistema di elettroni e c) la lunghezza d onda della luce assorbita nella transizione dallo stato fondamentale al primo stato eccitato. Infine, assumendo che il sistema di elettroni si trovi nel suo stato fondamentale, quanto vale la densità media di carica elettronica per unità di superficie al centro della buca, nel punto = L/, y = L/ anche questa misura può essere fatta con il microscopio STM) d)? suggerimento per la domanda d: potete considerare il contributo alla densità da parte dei elettroni presenti ragionando come se questi fossero particelle indipendenti; infatti, la probabilità che vi siano allo stesso tempo due o più elettroni in una medesima area di estensione infinitesima è comunque trascurabile rispetto a quella che ve ne sia uno solo, per cui l effetto delle correlazioni tra elettroni è trascurabile) [punti: a = ; b =.5; c = ; d =.5] 3) In non più di una pagina trattate uno dei seguenti tre argomenti, a scelta MA NON PIÙ DI UNO): a. Momento angolare di un elettrone: proprietà quantistiche. [punti: 8] b. Deduzione dell equazione di Schroedinger dipendente dal tempo di una particella a partire dalle relazioni di De Broglie. [punti: 8] c. Radiazione termica del corpo nero: difficoltà della fisica classica e soluzione di Planck. [punti: 7] E U) y U L regione II Carica dell elettrone e =.6-9 C Costante di Planck ridotta ħ = J s Massa dell elettrone m = kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...

2 seconda pagina - Prova scritta finale /6/4 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST vale punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME: NOME: MATRICOLA: a) Scrivete le due relazioni di De Broglie: b) Come si calcola la posizione media di una particella descritta dalla funzione d onda ψ) in un sistema D? c) Scrivete la relazione di indeterminazione energia-tempo: d) Come dipende dal tempo la funzione d onda ψ,t) associata ad uno stato stazionario di energia E? e) Quali grandezze tra le seguenti sono note senza incertezza per una particella libera che si trova in uno stato quantistico descritto dalla seguente funzione d onda in 3D): ψr,t) = N e ik r ωt)? [ENERGIA] [POSIZIONE] [QUANTITA DI MOTO] [MOMENTO ANGOLARE] f) Quali sono i livelli energetici possibili di un oscillatore armonico quantistico ottenuto collegando una particella di massa m ad una forza elastica di costante elastica K? attenzione: la risposta va data in funzione delle due grandezze menzionate; inoltre, se usate un numero quantico, specificatene anche l intervallo di valori) g) Qual è la degenerazione complessiva ossia il numero di stati stazionari indipendenti aventi la stessa energia) del livello di energia corrispondente al numero quantico n = nell atomo d idrogeno? h) Scrivete la configurazione elettronica dell atomo di zolfo simbolo S, numero atomico Z = 6)

3 Soluzioni degli esercizi Esercizio Nella regione I la particella è localmente) libera U = ) e l energia totale E coincide con l energia cinetica. Perciò si ha p k E = = da cui ricaviamo il numero d onde k = E ) Nella regione II c è un energia potenziale costante U = U, che corrisponde sempre ad una particella libera localmente), per cui si ha p k E = + U = + U da cui k = E U ) ) L energia totale E va considerata la stessa per entrambe le regioni conservazione dell energia). Le lunghezze d onda di de Broglie si ottengono dai numeri d onde con la solita formula: risposta a): π h λ = = = = k E π h λ = = = = k E U 9.4 m 4. Å regione I) ) 9.3 m.3 Å regione II) E utile anche notare che si ha esattamente il seguente rapporto tra i due numeri d onde: k = 3k 3) Lo stesso risultato può essere ottenuto anche risolvendo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo. Nella regione I infatti l equazione di Schroedinger si riduce alla seguente d φ = Eφ d le cui soluzioni essendo E > ) sono i due esponenziali complessi ep±ik) con il numero d onde k dato proprio dalla ). Analogamente, nella regione II abbiamo la seguente equazione di Schroedinger d φ + U φ = Eφ d le cui soluzioni essendo E > U ) sono gli esponenziali complessi ep±ik ) con k dato dalla ). L espressione più generale della funzione d onda nelle due regioni è quindi la seguente:

4 risposta b): ik ik φi ) = Ae + Be per φ ) ik ik φii ) = Ce + De per I coefficienti A, B, C e D sono legati tra loro dalle condizioni di raccordo nel punto = : φ ) = φ ) A+ B= C+ D I dφi d II dφ d = = ) ) II = = ik A B ik C D 4) Va notato che l onda di ampiezza A descrive un elettrone proveniente inizialmente da sinistra nella regione I, mentre l onda di ampiezza D descrive un elettrone proveniente da destra nella regione II. In base al testo del problema, inizialmente c è solo un elettrone proveniente da sinistra salvo per la domanda d)), per cui si ha D =. Allora l onda B è l onda riflessa e l onda C è quella trasmessa. Dalle 4) possiamo allora ricavare i coefficienti di riflessione e trasmissione: B k k R = = A k + k C k T = = A k+ k 5) Ricordando i ragionamenti sulla velocità di gruppo) dei pacchetti d onde, sappiamo che le probabilità di riflessione e trasmissione sul gradino sono allora le seguenti usando la relazione 3) per svolgere i calcoli): risposta c): + ) k k 3 PR = R = = = = 5% k+ k 3+ 4 k 4kk 3 P = T = = = 75% oppure equiv. P = P k k k 4 ) T T R Nella domanda d) si assume che vi siano invece due elettroni provenienti dalle due direzioni opposte e con i pacchetti d onda posizionati in modo da raggiungere il gradino nel medesimo istante. Un modo di ragionare per rispondere è il seguente: se i due elettroni vengono entrambi riflessi o entrambi trasmessi, alla fine si avranno i due pacchetti d onde ai due lati del gradino, che si allontanano da esso, viaggiando sempre in direzioni opposte. Se invece uno dei due elettroni venisse riflesso e l altro trasmesso, alla fine si avrebbero i due elettroni che viaggiano nella medesima direzione e dal medesimo lato del gradino. I due pacchetti d onde dei due elettroni sarebbero cioè identici. Ma questo violerebbe il principio di esclusione di Pauli stiamo implicitamente assumendo che lo stato di spin dei due elettroni sia lo stesso), per cui è impossibile. Quindi se ne conclude che la probabilità che un elettrone venga riflesso e l altro trasmesso è nulla risposta d)). Se invece i due elettroni sono indipendenti in quanto distinguibili in qualche modo ad esempio perché arrivano in due istanti diversi sul gradino), la probabilità che uno ad esempio il primo che arriva sul gradino) venga riflesso e l altro il secondo) trasmesso dovrebbe essere pari al prodotto delle due probabilità, ossia P R P T. Dato che c è anche la possibilità che il secondo sia riflesso e il primo trasmesso, la probabilità totale sarà P RT = P R P T = 37.5% In alternativa a questa risposta solo argomentata, è possibile fare il seguente ragionamento più formale. Dato che stiamo calcolando stati stazionari, la funzione d onda complessiva dei due elettroni ψ, ) deve essere la seguente combinazione lineare antisimmetrica delle due funzioni d onda stati stazionari) di singolo elettrone: ψ, ) = [ φa ) φb ) φa ) φb ) ] 6)

5 I due stati di singolo elettrone φ a e φ b qui si riferiscono rispettivamente ad un elettrone proveniente da sinistra o da destra, con la medesima energia E. Quindi si tratta di pacchetti d onde molto estesi che raggiungono il gradino e si scindono in un onda riflessa ed una trasmessa. L espressione di φ a è data dalla risposta b), con D = e gli altri coefficienti trovati come spiegato prima: ik ik Ae + RAe φa ) ik TAe 7) L espressione di φ b è simile e si può ottenere o scambiando il verso di, oppure usando la risposta b) con A = e richiamando D = A) e calcolando nuovamente i coefficienti dell onda riflessa e trasmessa i nuovi coefficienti R e T sono dati dalle stesse espressioni già trovate 5), salvo per lo scambio di k e k ): ik TAe φb ) ik ik Ae RAe 8) E anche importante realizzare che quando si costruiscono i pacchetti d onde con queste onde localmente armoniche, otteniamo che l onda incidente con ampiezza A) è presente solo prima e durante l urto con il gradino, mentre le onde riflessa con ampiezza RA) e trasmessa ampiezza TA) sono presenti solo durante e dopo l urto con il gradino la non presenza dell onda, matematicamente corrisponde al fatto che il pacchetto si localizza nella regione in cui l espressione matematica non si applica). Quindi, se ci interessa solo l espressione delle funzioni d onda dopo l urto con il gradino possiamo riscrivere gli stati di singola particella nella seguente forma semplificata in cui abbiamo rimosso l onda incidente): RAe φa ) TAe ik ik ik TAe φb ) ik RAe 9) Ora con queste ultime espressioni andiamo a calcolare la funzione d onda complessiva usando la 6) attenzione a calcolare ciascuna funzione d onda di singola particella nel modo giusto a seconda del segno della variabile o che vi andiamo a inserire): ik ik ik ik) ik ik ik ik ) ik ik ik ik) ik ik ik ik ) RAe TAe RAe TAe, TAe TAe RAe R) Ae, ψ, ) RAe R) Ae TAe TAe, TAe R) Ae TAe R) Ae, Svolgendo le semplificazioni in ciascun caso, otteniamo, ik ik T + R ) A e e, ψ, ) ik ik T + R ) A e e,, Che mostra, appunto, che la funzione d onda ψ si annulla identicamente se consideriamo il caso in cui le due particelle sono nella stessa regione I o II, mentre non si annulla negli altri due casi. Quindi l espressione antisimmetrica 6) introduce una sorta di interferenza distruttiva tra i termini che corrispondono alla riflessione di un elettrone e la trasmissione dell altro, in modo da escludere questa possibilità e rispettare così il principio di esclusione di Pauli.

6 Esercizio Risolvendo il problema per separazione di variabili, lo si scompone in due problemi D per le due coordinate e y. Ciascuno dei due problemi corrisponde ad una buca di potenziale rettangolare infinita, le cui soluzioni sono note. Perciò otteniamo la seguente soluzione complessiva: risposta a): nπ nπy φ y, ) = φ ) φ y) = sin sin L L L π 9 E = E+ E = E n + n) con E = =.6 J =.38 ev L dove i due numeri quantici n e n iniziano da e assumono solo valori positivi. I livelli di energia più bassi sono i seguenti:,) E = E,) e,) E = 5E,) E = 8E 3,) e,3) E = E 3,) e,3) E = 3E e così via. Se ci sono elettroni, lo stato fondamentale del sistema complessivo si ottiene riempendo dal basso questi livelli di energia. Tenendo conto dello spin, un singolo orbitale può ospitare due elettroni, per cui si ha la seguente configurazione elettronica: risposta b): Configurazione stato fondamentale SF):,) elettroni,) e,) 4 elettroni,) elettroni 3,) e,3) elettroni L energia corrispondente è la somma delle energie di tutti gli elettroni, ossia: E SF = E + 4 5E + 8E + E = 6 E 3 ev Il primo stato eccitato si ottiene con lo spostamento di un elettrone dallo stato,) allo stato 3,), con un aumento di energia E = E lo spostamento 3,) 3,) invece comporta un aumento di energia pari a 3E ). La frequenza della luce assorbita in tale transizione è data dalla legge di Bohr ν = h/ E, da cui otteniamo la risposta c): c hc hc.4 µ m ev λ = = = = =.6 µ m ν E E.75 ev Infine, dobbiamo calcolare la densità superficiale di carica elettrica carica per unità di superficie) al centro della buca quando il sistema si trova nello stato fondamentale. Il testo suggerisce che essa si può calcolare ragionando come se gli elettroni fossero indipendenti. Quindi dobbiamo calcolare il contributo alla densità di carica di ciascun elettrone e sommarli. Nel fare questo, dobbiamo comunque considerare ogni elettrone nel suo stato quantistico di singolo elettrone, corrispondente alla configurazione elettronica dello SF vista prima.

7 Iniziamo con il valutare quale sia la densità di carica di un singolo elettrone nello stato quantistico φ,y). La densità di carica media corrisponde alla carica q = e dell elettrone moltiplicata per la densità di probabilità dell elettrone ρ,y) = φ,y) perché la densità di probabilità corrisponde al numero medio di elettroni osservati per unità di area) ossia ρc, y) = qφ, y) = eφ, y) Quindi un singolo elettrone che si trova nello stato n,n ) possiede una densità di carica media pari a π n n πy ρc y, ) = eφ y, ) = e sin sin L L L Nel centro del recinto, ossia in = L/ e y = L/, otteniamo nπ nπ e L ρc = sin sin Notate ora che per gli stati in cui n e n sono entrambi dispari questa espressione fornisce sempre lo stesso valore pari a e/l), mentre se anche solo uno dei due numeri quantici è pari la densità si annulla. Perciò ora possiamo sommare questo risultato su tutti i elettroni dello stato fondamentale. Vediamo che contribuiscono solo i elettroni che sono nello stato,) e i elettroni che sono negli stati 3,) e,3) non importa precisamente dove). Quindi la densità totale di carica al centro del recinto nello stato fondamentale è la seguente risposta d): ρ 6e = 4 e = L L ctot,