S ν = c 4 u ν. S ν dν = c 8π h ν e hν. k B T. S λ = 2π λ 5 c2 h

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1 Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Esercizi: Maggio 2006 (con soluzione) i) Un filamento emette radiazione che ha una lunghezza d onda massima λ Max = cm. Considerando di approssimare il filamento con un corpo nero, determinarne la temperatura. [suggerimento: si dimostri che la densità spettrale di un corpo nero ha il suo massimo per hc/(λ Max K B T ) 4.965, ovvero λ Max T K m. Si verifica infatti, che hc/(λ Max K B T ) = x Max 4.965, risolve l equazione trascendentale x = 5(1 e x ).] Soluzione i): La densità di potenza radiante (per unità di frequenza) di un corpo nero ad una data temperatura è legata alla densità spettrale da S ν = c 4 u ν dove u ν è fornita dalla formula di Planck. Ne segue: S ν dν = c 8π h ν 4 c 3 ν2 dν, e hν k B T 1 ovvero in unità di lunghezza d onda S λ = S dν ν si ha: S λ = 2π λ 5 c2 h 1 dλ e hc λk B T 1 La lunghezza d onda massima (cioè in corrispondenza del massimo di emissione) è legata al massimo della funzione S λ a fissata temperatura. Ovvero ds λ = 0 e derivando si ottiene che il valore di λ per cui la derivata si annulla dλ è dato dalla soluzione dell equazione trascendente: ( ) hc λk B T = 5 1 e hc λk B T ovvero x = 5 (1 e x ) che ha soluzione (come dice il testo) per x = 4.965, ovvero T λ Max K m come già sottolineato. Se ne deduce T K. ii) Una stella che invia alla terra un flusso di energia di W/m 2 viene osservata con un canocchiale di 10 cm di diametro (d). Ammesso che questo.

2 flusso sia concentrato sulla lunghezza d onda λ = m (e tralasciando le perdite eventuali) si calcoli quanti fotoni al secondo concorrono a formare l immagine della stella. Soluzione ii): Alla lunghezza d onda dichiarata l energia di un singolo fotone risulta E = hν = hc λ KeV Å 500 Å 2.26 ev Joule. Il flusso F di energia che arriva sulla terra corrisponde ad un numero di fotoni al secondo per metro quadro pari a N = F/E 2.77; di questi solo la porzione incidente su di un diametro d = 10 cm formerà l immagine della stella, cioè un numero di fotoni al secondo pari a N d = N π (d/2) iii) Si determini la variazione di frequenza (per effetto Compton) di raggi X di 100 KeV diffusi da elettroni ad un angolo di 60 gradi. Soluzione iii): Dalla formula di Compton λ λ = c ν c ν = hc hν hc hν = h (1 cos θ) m e c con cos 60 0 = 1/2, e hν = 100 KeV. Si ha: λ λ = Å. λ = λ + (λ λ) = hc hν + (λ λ) = KeV Å 100 KeV hc 1 m ec = Å, KeV Å MeV 1 2 corrispondente an una frequenza del fotone diffuso pari a ν Hz. Il fotone in ingresso aveva frequenza ν = hν/h Hz, la variazione di frequenza risulta ν ν ( ) = Hz. iv) Trovare il campo magnetico trasversale necessario per confinare gli elettroni ottenuti per effetto fotoelettrico, entro un cerchio di 20 cm di raggio quando una radiazione di 4000 Å incide su un catodo di bario (lavoro di estrazione W 0 = 2.5 ev). Soluzione vi): L energia cinetica massima posseduta dagli elettroni ottenuti per effetto fotoelettrico è E cin = 1m 2 ev 2 = hν W 0 = hc W λ ev = 0.60 ev che 4000 Å

3 corrisponde ad una velocità dell elettrone v m/sec. Il campo magnetico confinante deve produrre una forza ( ev B ) centripeta (m e v 2 /R) tale da confinare gli elettroni in R = 20 cm. Essendo il campo trasversale alla velocità si ha evb = m e v 2 R da cui B Tesla. v) Sapendo che per ricoprire 1 cm 2 di un elettrodo con dell argento per mezzo di un processo di elettrolisi è occorso un tempo pari a 57 minuti, e che lo spessore depositato è di 0.2 mm, calcolare la corrente elettrica necessaria all operazione. [Il peso atomico dell argento è di , la sua densità 10.5 gr/cm 3 e la sua valenza uno). Soluzione v): Il Volume di argento depositato è δv 1 cm cm = 0.02 cm 3. Il numero di atomi trasportati (n atomi ) per depositare tale volume corrisponde al numero di moli (n moli ) che δv contiene moltiplicato il numero di Avogadro (N A ) che rappresenta il numero di atomi per mole. D altra parte il numero delle moli contenuto nel volume può essere trovato valutando la massa (densità volume, espressa in grammi) e dividendo per il peso atomico sempre in grammi, si ha dunque: n moli = ϱ δv 10.5 gr/cm cm 3 µ A gr = moli e di conseguenza n atomi = n moli N A = Ogni atomo trasporta una carica elementare (valenza uno) per cui la carica totale trasportata risulta Q tot = n atomi e = Coulomb = Coulomb. Tale carica è stata depositata in t = 57 minuti = = 3420 secondi. Quindi la corrente (media) per traportarla risulta i = Q tot t = Coulomb 3420 secondi Ampere. vi) In un esperimento si osservano moti Browniani di particelle di raggio a = 10 4 cm immerse in un liquido alla temperatura di 19 0 C e viscosità η = gr cm 1. Stimare i tempi di osservazione minimi necessari sapendo che

4 sono apprezzabili spostamenti quadratici medi dell ordine x 2 + y cm 2 sul piano di osservazione. Soluzione vi): La formula di Einstein per la media degli spostamenti quadratici a tempi lunghi x 2 + y 2 = 4K BT 6πηa t ovvero t = 6πηa 4K B T x2 + y sec 5 minuti. vii) La sezione d urto Thomson da elettroni atomici dipende dalla lunghezza d onda dei raggi X incidenti? perché? Come può essere utilizzata la diffusione Thomson per misurare il numero atomico di un elemento? Soluzione vii): La sezione d urto Thomson è la sezione d urto di diffusione da elettroni legati nel limite in cui la frequenza ( ω ) della radiazione incidente sia molto maggiore della frequenza propria ( ω 0 ) dell elettrone (ω ω 2π 0). In questo limite 2π la sezione d urto NON dipende dalla frequenza della radiazione incidente e vale σ Th = 8π ( e 2 ) 2 = 8π 3 4πɛ 0 m e c 2 3 r cm 2 = 66 barn. In queste circostanze il coefficiente di assorbimento dell intensi a della radiazione che attraversa il materiale è legato a tutta la potenza diffusa da tutti gli elettroni (= n atomi Z) e quindi al numero atomico Z. Più precisamente si può dimostrare (ed è stato fatto a lezione) che l intensità della radiazione diminuisce esponenzialmente I(x) = I(0) e µx, ed il coefficiente di assorbimento µ vale µ = σ Th n atomi Z = σ Th ϱn AZ µ A dove [µ] = cm 1, se ϱ in gr/cm 3 (densità del materiale), µ A in gr è il peso atomico. N A e Z il numero di Avogadro ed il numero atomico. Da misure di I(x) si risale a Z.

5 Il valore di alcune costanti: velocità della luce nel vuoto: c = m/sec costante di Planck: h = J sec = ev sec costante di Boltzmann K B = Joule / 0 K = erg/ 0 K. utili conversioni 1 ev = J; h c = J m = ev Å.