1. Scrivere l equazione di Schrödinger unidimensionale per una particella di massa m con energia potenziale V (x) = mω2

Transcript

1 1 Teoria Una particella di massa m = 1 g e carica elettrica q = 1 c viene accelerata per un tratto pari a l = m da una differenza di potenziale pari av = 0 volt Determinare la lunghezza d onda di De Broglie della particella. L equazione di Schrödinger 1. Scrivere l equazione di Schrödinger unidimensionale per una particella di massa m con energia potenziale V (x) = mω x.. Scrivere l equazione di Schrödinger stazionaria. 3. Le soluzioni di questa equazione corrispondono a stati legati o a stati di scattering? 4. A quale valore tende la densita di probabilita di trovare la particella all infinito? 5. Determinare con i parametri m, ω e h una grandezza con le dimensioni di energia. Si consideri un sistema unidimensionale, descritto dall equazione di Schrodinger (nella regione 0 < x < ) h dψ m dx q ψ(x) = Eψ(x) (1) x 1. Dimostrare che ψ(x) = Axe αx è soluzione dell equazione considerata e determinare α.. Determinare il valore di A in modo tale che ψ sia correttamente normalizzata. Si consideri una particella di massa m. Facendo uso delle tre quantitá h, m, c formare una grandezza che ha le dimensioni di una lunghezza. Tale lunghezza si chiama lunghezza d onda Compton. La velocita misurata di un elettrone e pari a v = m/s con una incertezza pari allo %. Entro quale limite si puo determinare la posizione di questo elettrone lungo la direzione della sua velocita? Discutere l atomo di Bohr. 1. Determinare il raggio di Bohr in termini della carica e, della massa m, della costante di Plank h e della permeabilita dielettrica del vuoto ɛ 0.. Basandosi su considerazioni dimensionali stabilire il valore dell energia dello stato fondamentale a meno di una costante di proporzionalita. Stabilire se il segno e positivo o negativo e spiegarne la ragione. 3. Su quale postulato si basa la quantizzazione dell energia degli stati dell elettrone? 1

2 La buca infinita di potenziale infinita di larghezza L = m. 1. Se la particella si trova nel primo stato eccitato determinare la probabilita che la coordinata x della particella sia compresa tra i valori 0.1L < x < 0.6L.. Calcolare il valor medio di p. 3. Calcolare la lunghezza d onda del fotone emesso in una transizione dal primo stato eccitato allo stato fondamentale. di potenziale infinita di larghezza L = m. La funzione d onda della particella e data da ψ(x) = 1 πx 3 asin( a ) + 3πx 3 asin( a ). 1. Determinare la probabilita di trovare la particella nello stato fondamentale.. Determinare il valor medio dell energia. 3. Determinare il valor medio di x. 1) Si consideri una particella di massa m che si trova nello stato fondamentale di una buca di potenziale infinita di larghezza L. 1. Determinare la probabilita che la coordinata x della particella sia compresa tra i valori 0 < x < L/3.. Calcolare il valor medio di x. Si consideri un elettrone che si trova in una buca di potenziale infinita di larghezza L = 10 9 m. 1. Se l elettrone si trova nello stato fondamentale determinare la probabilita che sua la coordinata x sia compresa tra i valori 0.5L < x < 0.8L.. Calcolare il valor medio di p. 3. Quanto vale l energia dello stato fondamentale di due elettroni non interagenti posti nella buca di potenziale? di potenziale infinita di larghezza L = m. 1. Determinare la separazione tra il primo livello eccitato e lo stato fondamentale.. Determinare la probabilita che la coordinata x della particella sia compresa tra i valori 0.1L < x < 0.8L (supporre che la particella sia nello stato fondamentale). 3. Calcolare il valor medio di p, supponendo che la particella si trovi nel primo stato eccitato.

3 di potenziale infinita di larghezza L = m. La funzione d onda della particella e data da ψ(x) = 1 πx asin( a ) + 3 πx 4 asin( a ). 1. Determinare la probabilita di trovare la particella nello stato fondamentale.. Determinare il valor medio dell energia. 3. Determinare la probabilita di trovare la particella nell intervallo 0 < x < 0.3L. 3 L oscillatore armonico Al tempo t = 0 una particella che si trova nel potenziale dell oscillatore armonico V (x) = k x ha una funzione d onda Ψ(x, 0) = 1 ψ 0 (x) + 1 ψ 1 (x) () dove ψ 0 (x) e ψ 1 (x) sono le autofunzioni dello stato fondamentale e del primo stato eccitato dell oscillatore 1. Calcolare il valore medio dell energia.. Scrivere la funzione d onda al tempo t e determinare la frequenza di oscillazione. 3. Calcolare il valor medio di x al tempo t. Una particella di massa m = kg si trova in un potenziale V = 1 kx, con k = 0.5kgs. 1. Determinare il valor medio di p nello stato fondamentale.. Determinare la probabilita che la particella si trovi nella regione x > Determinare la frequanza di un fotone emesso dalla particella nella transizione tra il primo stato eccitato e lo stato fondamentale. Si consideri un oscillatore armonico di massa m e costante elastica k. Sia ψ(x) = (Ax + B)e αx (3) 1. Determinare le costanti α, A e B in modo tale che ψ soddisfi l equazione di Schroedinger stazionaria e sia correttamente normalizzata.. Calcolare il valor medio di x. Si consideri un oscillatore armonico di massa m e costante elastica k. La funzione d onda e data da una sovrapposizione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato ψ(x) = 1 3 ψ 0 (x) + bψ 1 (x) (4) 3

4 1. Fissare il coefficiente b in modo tale che sia correttamente normalizzata.. Determinare il valor medio dell energia nello stato considerato. ) Si consideri un oscillatore armonico di massa m e costante elastica k. La funzione d onda e data da una sovrapposizione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato 1. Determinare il valore medio dell energia. ψ(x) = aψ 0 (x) + bψ 1 (x) (5). Determinare la funzione d onda del sistema al tempo t > 0. Si consideri un oscillatore armonico che si trova nello stato fondamentale, la cui funzione d onda e data da ψ(x) = A exp( ax ) (si ponga h = 1, m = 1 e ω = 1). 1. Determinare la costante di normalizzazione A e la costante a.. Calcolare il valor medio di x. 3. Determinare la probabilita che l oscillatore si trovi nell intervallo 0 < x <. 4 L atomo di idrogeno Si consideri un atomo di idrogeno che si trova nello stato p x la cui funzione d onda e data da ψ px = Axe r/ 1. Determinare la costante di normalizzazione.. Calcolare il valor medio di r. 3. Determinare la probabilita che l elettrone si trovi all interno di una sfera di raggio pari a un raggio di Bohr. Un atomo di idrogeno si trova nello stato s. 1. Determinare la densita di distribuzione radiale e il valore per cui é massima.. Determinare il valor medio di r. Determinare la probabilita di trovare un elettrone di un atomo di idrogeno che si trova nello stato fondamentale tra r 1 = a/ e r = 3a/, dove con a indichiamo il raggio di Bohr. Calcolare la funzione di distribuzione radiale di un elettrone di un atomo di idrogeno che si trova nello stato ψ py. Si consideri un atomo di idrogeno. 1. Scrivere la funzione d onda dello stato fondamentale.. Calcolare il valor medio di r. 4

5 3. Determinare la probabilita che l elettrone si trovi all interno di una sfera di raggio pari a un raggio di Bohr. Un atomo di idrogeno si trova nello stato p z. 1. Calcolare il valore medio della distanza r dal nucleo.. Per quale valore di r la densita di probabilita radiale ha un massimo? La funzione d onda di un elettrone che si trova nello stato p x e data da ψ pz = A xe r/ (6) 1. Determinare la costante A, normalizzando correttamente la funzione d onda.. Qual e la probabilita che l elettrone abbia la terza componente del momento angolare m = 1? 3. Calcolare il valor medio dell energia potenziale nello stato considerato. Calcolare la funzione di distribuzione radiale di un elettrone di un atomo di idrogeno che si trova nello stato ψ px. Scrivere la funzione d onda di un elettrone di un atomo di idrogeno che si trova in una sovrapposizione di uno stato s p z con eguale probabilita. 1. Calcolare il valore medio dell energia.. Per quali valori di r e θ la densita di probabilita di trovare l elettrone si annulla? Si consideri un atomo di elio (Z=) ionizzato. 1. Determinare la funzione d onda dello stato fondamentale.. Calcolare il valor medio di r nello stato fondamentale. 3. Determinare il massimo della funzione di distribuzione radiale. 5