L equazione di Schrödinger

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1 1 Forma dell equazione L equazione di Schrödinger Postulato - ψ r, t 0 ) definisce completamente lo stato dinamico del sistema al tempo t 0. L equazione che regola l evoluzione di ψ r, t) deve essere: 1. del 1 ordine rispetto al tempo ψ r, t 0 ) determina ψ r, t) ad ogni istante t.. lineare ed omogenea, cioé se ψ 1 e ψ sono soluzioni la combinazione a coefficienti complessi c 1 ψ 1 + c ψ é soluzione Scriviamo la funzione d onda ψ r, t) come trasformata di Fourier ψ r, t) 1 π h) 3 Con il fattore inserito prima dell integrale si ha: Per il postulato di de Broglie abbiamo A p) e i p r Ep)t)/ h d p 1) [ψ r, t)] [l 3/ ] [A p)] [p 3/ ] ) λ h p k π λ p h E hν hω 3) per una particella libera di mass m non relativistica E p i h t ψ r, t) ω hk 4) E A p) e i p r Ep)t) d p 5) h i ψ r, t) p A p) e i p r Ep)t) d p 6) h ψ r, t) p A p) e i p r Ep)t) d p 7) Corrispondenza osservabile fisica operatore differenziale E i h t p i h p h ; r r 8) quindi scriviamo l equazione di Schrödinger Schrödinger per una particella libera i h t ψ r, t) h ψ r, t) 9) 1

2 L eq.1) é invariante per rotazione, ma non per trasformazioni di Lorentz. In presenza di un potenziale scalare l energia classica diventa E E cin + E pot p + V r) 10) Introduciamo la funzione hamiltoniana H r, p) E E cin + E pot. Il postulato di quantizzazione richiede che alla funzione hamiltoniana classica corrisponda l operatore hamiltoniana H r, p, t) Ĥ r, p, t) h + V r) 11) dove gli operatori corrispondenti alle variabili posizione e impulso sono dati dall eq.8). l equazione di Schrödinger per una particella in presenza di un potenziale, si scrive Quindi, i h ψ r, t) H ψ r, t) 1) t La funzione d onda ψ r, t) deve essere complessa. Cerchiamo una soluzione dell eq.1) per separazione di variabile ψ r, t) ψ r) φt). Si ha U / h V ) da cui segue i hψ r) t φt) φt) [ i h φt) φt) ] h + U r) )ψ r) 13) Et const. E φt) e i h 14) La funzione ψ r) é determinata dall equazione stazionaria di Schrödinger Proprietá della funzione d onda: E ψ r) h + U r) ) ψ r) 15) φt) e la sua derivata, continua e finita ψ r) finita, ad un sol valore e continua, perché la probabilitá sia finita, i valori di aspettazione definiti e per ammettere almeno derivata sinistra e destra derivate spaziali di ψ r) finita ed ad un sol valore, affinché la corrente sia definita ed i valori di aspettazione definiti derivate spaziali prima di ψ r) continua per V r) finito in ogni punto, affinché la discontinuitá della derivata spaziali prima sia finita, per esempio in una dimensione d d ψx) dx V x) E) ψx) h dx ψx) xx 0+ε xx 0 ε h xx0 +ε xx 0 ε V x) E) ψx) dx < 16)

3 Se E < 0 stati legati) soluzioni per valori discreti di E, spettro discreto ψ r) r 0). Se E > 0 soluzioni per ogni valore di E, spettro continuo ψ r) r 0). Ambiguitá della quantizzazione Consideriamo un sistema in due dimensioni l energia cinetica K si scrive, in coordinate cartesiane p x + p y in coordinate sferiche h 1 ) x + y p r + p φ r ) h h r + 1 r r + 1 ) r φ r + 1 ) r φ Come si vede le espressioni nel lato destro delle precedenti equazioni sono diverse. Inoltre le variabili classiche commutano, quindi l ordine di scrittura é irrilevante, questo non vale per gli operatori 17) 18) Regole di quantizzazione: x p x x i h x p x x i h x x 19) 1. La funzione hamiltoniana deve essere scritta in coordinate cartesiane e quindi quantizzate applicando il principio di corrispondenza eq.11). Successivamente puó essere conveniente esprimere gli operatori differenziali in altri sistemi di coordinate.. Il prodotto di osservabili classiche va scritta in forma simmetrica, cioé per esempio x p x 1 x p x + p x x) 0) e successivamente va quantizzato con le regole eq.8) x p x i h x x + ) x x 1) Distribuzione di probabilitá Il modulo quadro della funzione d onda, diviso la norma, da la densitá di probabilitá, cioé la probabilitá di trovare la particella in un voumetto dv intorno alpunto r ρ r, t) ψ r, t) ψ ) Affinché tale espressione abbia un senso deve essere ψ ψ r, t) dv < 3) quindi ψ r, t) deve appartenere allo spazio delle funzioni, denotato con il simbolo l, il cui integrale del modulo quadro é finito. Una funzione d onda tale che la sa norma is auguale ad uno ψ 1) si dice normalizzata. Ovviamente tutte le funzioni d onda possono essere normalizzate dividendole 3

4 per una opportuna costante. In seguito assumeremo che le funzioni d onda siano normalizzate. La funzione d onda in n-dimensioni ha le dimensioni [l n/ ]. l modulo quadro dell antitrasformata di Fourier A p) della funzione d onda da la densitá di probabilitá nello spazio degli impulsi. ψ r, t) d r d r d p d p d p A p, t) A p, t) e i/ h p p r) d p A p, t) A p, t) π h) 3 δ p p ) d p A p, t) A p, t) π h) 3 4) ψ p, t) A p, t) d p 5) 3 L equazione di continuitá Scriviamo l equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata Notiamo che si ha Definendo la corrente di Schrödinger i h t ψ r, t) H ψ r, t) i h t ψ r, t) H ψ r, t) 6) Riscriviamo l eq.7) nella forma seguente t ψ r, t) ψ ) t ψ + t ψ ψ 1 i h [ψ H ψ H ψ) ψ] 1 h i h [ψ ψ ψ) ψ] 1 i h h [ψ ψ ψ) ψ] 7) j r, t) i h ψ ψ ψ) ψ) 8) t ρ r, t) + j r, t) 0 9) L equazione, che ha la stessa forma dell equazione di continuitá della carica elettrica se si interpretano ρ e j rispettivamente come la densitá di carica e di corrente, é detta l equazione di conservazione della a corrente di Schrödinger. Integrando l eq.8) rispetto alle variabile spaziali, usando il teorema della divergenza e la normalizzazione della funzione d onda si ha t ψ r, t)ψ r, t) d r + j r, t) d S 0 30) 4

5 4 Valori medi di osservabile < x > x < p x > p x ψ r, t) x ψ r, t) d r 31) ψ r, t) i h ) ψ r, t) d r 3) x < p x > d p A p, t) p x A p, t) d p d r d r e i, p r / h ψ r, t) p x ψ r, t) e i p r/ h [ d p d r e i p r / h ψ r, t) d r i h ] e i p r/ h ψ r, t) x d x d r ψ r, t) i h ) ψ r, t) d p e i p r r )/ h x d r d r ψ r, t) i h ) ψ r, t) π h) 3 δ r r x ) d r ψ r, t) i h ) ψ r, t) x 33) Nell ultimo passaggio si é integrato per parti e é utilizzata la proprietá che ψ r, t) r 0. In generale per l osservabile A < A > Ā 5 Esempio di funzione d onda ψ r, t) A ψ r, t) d r 34) Consideriamo una funzione d onda in una dimensione ψx, t) 1 Ap) e ipx Ep)t)/ h dp 35) π h dove Ep) p / e Ap) Ne p p 0) a / h 36) dove N é la costante di normalizzazione da scegliere in modo che la funzione d onda abbia norma uguale ad uno. Inserendo l espressione 36) nell eq.35) e definendo le funzioni otteniamo αt) a h + it h ψx, t) 1 N π h βx) a p 0 h + ix h γ + ix h 37) e αp β/α) e β /α e γ dp 1 π h N π α eβ /α e γ 38) ψx, t) 1 π h N π ere α ) β αγ α 39) 5

6 dove Re β ) αγ α v 0 p 0 m 1 m x v 0t) a 1 + ) de dp pp 0 α ā h t h a 40) ) ) Calcoliamo la costante di normalizzazione 1 ψx, t) dx 1 π h N ) π ere β α γ α dx α 1 π h π h N a a 1 + π N h 1 + a π N a h π 4) Senza perdere di generalitá, abbiamo scelto N reale. L indeterminazione della variabile x é Per calcolare il valore medio di p calcoliamo prima x a ) Ap) a h π < p > e p p 0) a / h 44) p Ap) dp p 0 45) Quindi abbiamo p h a 46) x p h ) 6