Compitino 1 di Meccanica Quantistica I

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1 Compitino di Meccanica Quantistica I Facoltà di Scienze, M.F.N., Università degli Studi di Pisa, 5 dicembre 00 (A.A. 0/) (Tempo a disposizione: 3 ore ) Problema. Un sistema a due stati è caratterizzato dall Hamiltoniana, E0 ε 0 H =, 0 E 0 + ε ε > 0 () Si vuole misurare una variabile rappresentata dall operatore 0 i f F = f > 0. () i f 0 (i) Determinare gli autovalori e gli autostati relativi di F. (ii) Inizialmente il sisitema si trova nello stato fondamentale. Quali sono i risultati possibili di una misura di F e relative probabilità? (iii) Supponiamo che la misura di F di cui al punto (ii) eseguito all istante t = 0 abbia dato l autovalore massimo di F come risultato. Qual è la probabilità P(t) che una seconda misura di F fatta all istante t(> 0) dia il valore minimo di F? Fare uno schizzo di P(t). (N.B. questo è analogo del fenomeno dell oscillazione dei neutrini, dei mesoni kappa neutri, etc.) Problema. Una particella si muove in un potenziale delta unidimensionale: H = p λδ(x), λ > 0. (3) m La condizione di (dis-)continuità atttraverso x = 0è data da, ψ (0+) ψ (0 ) = mλ ψ(0), (4) h dove ψ (0±) indicano i valori della derivata prima della funzione d onda nei limiti x 0 da x > 0 e da x < 0 rispettivamente. (i) Dimostrare che la (4) è compatibile con la continuità della densità di corrente. (ii) Utilizzando la (4) trovare l energia e la funzione d onda dello stato legato. (iii) Supponiamo che la particella è inizialmente legata al potenziale. All istante t = 0 la costante λ si dimezza all improvviso. Determinare la probabilità che la particella si liberi dal legame. (Suggerimento: calcolare prima la probabililtà che la particella resti legata.)

2 Problema 3. Il teorema di Feynman-Hellman dice che la dipendenza degli autovalori di energia E n (g) dal parametro g nel potenziale è data da (i) Dimostrare il teorema. (ii) Calcolare tale variazione de n(g) H = p +V (x;g), (5) m de n (g) = n V n. (6) nel caso di un oscillatore lineare: e discutere il risultato. g = ω, V (x;ω) = mω x (7) Problema 4 (opzionale) Si consideri un oscillatore armonico bidimensionale di massa m H = ˆp x m + ˆp y m + mω (x + 4y ). (8) (i) Determinare lo spettro dell energia e discutere la degenerazione dei livelli. (ii) A t = 0 il sistema è descritto da un pacchetto d onda ψ 0 (r). Esistono i valori di t (> 0), tali che la probabilità di trovare la particella nell intorno di r, P(r, t)dr, sia uguale a quella iniziale, P(r,0)dr? Se sì, quali? Formulario: oscillatore armonico unidimensionale H = p m + mω x ( α C n = π / n n!, ψ n (x) = C n H n (αx)e α x mω = C n H n ( h ) / ( mω ) /4 / mω = hπ n ; α n! h ; H 0 (x) =, H (x) = x, H (x) = 4x, H 3 (x) = 8x 3 x, H 4 (x) = 6x 4 48x +, x)e mω h x, E n = ω h(n + ) ; (n+)(n+) n+ α, m = n +, α 4, m = n +, x nm = n α, m = n, (x n(n ) ) nm = α 4, m = n, n+ 0 altrimenti; α, m = n, 0 altrimenti.

3 Figura : Soluzione Problema. (i) Gli autovalori sono F = f e F = f con relativi autovettori F, f = ; F, f = ; (9) i i (ii) Lo stato in cui si trova il sistema è ψ 0 =, (0) 0 le probabilità di trovare i due valori possibili di F sono F, f ψ 0 =, F, f ψ 0 =. () (iii) Dopo la misura di F lo stato in cui si trova il sistema è ψ(0) = F, f =. () i Esso evolve nel tempo come ψ(t) = ( e iεt/ h ie iεt/ h ). (3) All istante t le probabilità di trovare F = ± f sono allora P f = e iεt/ h ie iεt/ h = cos εt/ h (4) P f = e iεt/ h ie iεt/ h = sin εt/ h (5) 3

4 Problema. ψ = κe κ x, κ = mλ h. (6) Dopo il dimezzamento della costante, la funzione d onda resta quella di prima, mentre la funzione d onda dello stato legato del nuovo sistema è: ψ = κ e κ x /. (7) La probabilità che la particella resta legata al potenziale dopo il cambiamento della costante di accoppiamento del potenziale è P = ψ ψ = 8 9. (8) La probabilità richiesta è 8 9 = 9. (9) Problema 3. de n (g) = d Z dxψ n(x;g)h(x, p;g)ψ n (x;g) = n V Z n + Z + dx ψ n(x;g) H(x, p;g)ψ n (x;g) = n V n + E n dxψ n(x;g)h(x, p;g) ψ n(x;g) + n n = n V n. (0) Usando il teorema e usando l elemento di matrice di x, si ha de n (ω) dω = h(n + ). () Discussione Questo risultato che segue dal teorema è consistente con il noto risultato E n (ω) = ω h(n + ). La () è un risultato esatto. Integrando in ω si ha E n (ω) = ω h(n + ) +C, () doce C è una costante. Considerando il limite ω 0, quando il sistema tende ad una particella libera, con lo spettro E 0, i.e., con lo stato fondamentale E 0 = 0, la consistenza richiede che C = 0, (3) perciò E n (ω) = ω h(n + ). (4) Un altro modo per interpretare il risultato () è considerare un processo adiabatico in cui il vlaore di ω è variato col tempo sufficientemente lentamente, di modo che il sistema che è all n-simo stato stazionario inizialmente resta all n-simo stato istantaneo (i.e., n-simo autostato di H(x, p;ω(t)).) (Teorema adiabtico). Integrando la () da ω a ω si ha allora che è di nuovo in accordo con il risultato esatto. E n = (ω ω )(n + ), (5) 4

5 Problema 4. E n,m = ω h(n + m + 3 ), n,m = 0,,,... (6) Si ha una degenerazione quando per (n,m) distinti la combinazione n+m prende lo stesso valore. Visto che n prende tutti i possibili numeri naturali, dato il livello N = n + m (N = 0,,,...) basta trovare quali possibili valori m prende. (i) Per N pari, m = 0,,... N, (7) perciò il grado di degenerazione è g = N +. (ii) Per N dispari, perciò g = N+. Dunque il grado di degenerazione è dato da [ ] N + g = (parte intero di N+.) Un pacchetto d onda evolve nel tempo come m = 0,,... N, (8) (9) ψ(r,t) = e iωt c n,m e iω(n+m)t ψ n,m (r). (30) n,m Per un pacchetto generico (che non ha nessuna proprietà di simmetrie), ψ(r) ritorna alla distribuzione originale dopo il periodo classico, t 0 = π ω, (3) o dopo un multiplo intero di t 0, N t 0, N =,,3,... Tra i casi particolari, un pacchetto d onda pari in x, ψ(x,y,0) = ψ( x,y,0) contiene soltanto i componenti con n pari nello sviluppo (30), per cui la distribuzione ritorna a quella originale dopo metà priodo, t 0 = π ω. (3) Se per caso il pacchetto iniziale corrisponde ad uno stato stazionario, naturalmente la distribuzione ψ(r) è indipendente dal tempo. Naturalmente si possono considerare i pacchetti d onda particolari tali che c n,m 0 solo per multipli di un intero p, i.e., allora tale pacchetto ha una periodicità ridotta n + m = p,p,3p,..., (33) t 0 = π pω. (34) 5