UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di PS-Probabilità P.Baldi Tutorato 9, 19 maggio 11 Corso di Laurea in Matematica Esercizio 1 a) Volendo modellizzare l evoluzione della disoccupazione in un certo ambito sociale, si è considerato un modello costituito da una catena di Markov a due stati: (disoccupato) e 1 (impiegato), con la matrice di transizione (.6 )..1.9 Qual è, a regime, la proporzione di disoccupati con questo modello? b) Si è ritenuto poi che il modello precedente non catturasse bene tutti gli aspetti del problema. In effetti occorre distinguere tra disoccupati di lungo periodo e di corto periodo, per i quali le probabilità di reinserimento sono diverse. Dunque un modello a due stati, per essere corretto dovrebbe risultare non markoviano (perché?). Si è proposto allora il modello seguente a tre stati: 1 (disoccupati di lungo periodo) (disoccupati di corto periodo) e (impiegati). La matrice di transizione considerata è ora (.9 ) Si tratta di una catena di nascita e morte? Qual è la probabilità stazionaria di questa catena? Quanto vale ora la proporzione di disoccupati a stazionarietà? Esercizio Per α 1 consideriamo la catena di Markov su {1,, } associata alla matrice di transizione ( 1 ) α 1 α α 1 a) Mostrare che, se < α 1, la catena è irriducibile e regolare. b) Supponiamo α = 1. Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. La catena è reversibile? c) Supponiamo α =. Determinare gli stati ricorrenti e quelli transitori. d) Cosa si può dire di lim n P 1 (X n = 1) nei casi b) e c) rispettivamente? (P 1 è la probabilità partendo da X = 1).

2 1 5 Figura Esercizio Un topolino si sposta sui vertici di un grafo come nella Figura 1 Ad ogni time slot esso si sposta dal vertice in cui si trova ad uno di quelli adiacenti, scelto ogni volta a caso e con probabilità uniforme. a) Giustificare l uso di una catena di Markov per modellizzare questa situazione e scrivere la matrice di transizione. b) Si tratta di una catena irriducibile? Regolare? Quali sono le distribuzioni stazionarie di questa catena? c) Supponiamo che in 7 ci sia un pezzo di formaggio ed in stia acquattato un gatto. Qual è la probabilità che il topo riesca a raggiungere il cibo prima di imbattersi nel gatto, supponendo che esso parta dallo stato? Qual è lo stato partendo dal quale la probabilità è più piccola? (Almeno indicare i calcoli da fare) d) Quali sarebbero le risposte alle questioni a) e b) se al grafo venisse aggiunto uno spigolo che unisse i vertici 7 e 5? Esercizio Dire, delle seguenti affermazioni, quali siano vere e quali false. a) Una catena finita irriducibile non può avere stati transitori. b) In una catena (finita) irriducibile (X n ) n su E = {, 1,..., m}, per ogni i E lim n P(X n = i) = π i, dove π indica la distribuzione stazionaria, qualunque sia la distribuzione iniziale. c) In una catena (finita) regolare per ogni i E lim n P(X n = i) = π i, dove π indica la distribuzione stazionaria, qualunque sia la distribuzione iniziale. b) In una catena (finita) irriducibile (X n ) n su E = {, 1,..., m}, qualunque sia la legge iniziale non si può mai avere lim n P(X n = i) = π i per ogni i E

3 Soluzioni Esercizio 1. a) La probabilità stazionaria di una generica catena a due stati è stata già vista a lezione ed in questo caso vale π = =. = %, π 1 = =.8 = 8%. A regime la proporzione di disoccupati è. b) La catena non è di nascita e morte, a causa del comportamento dello stato 1, da cui in un passo si può andare in, mentre in una catena di nascita e morte si può fare un passo alla volta ad ogni transizione. Per ottenere la distribuzione stazionaria occorre risolvere il sistema lineare v = vp associato. Questo diventa v 1 =.9 v v v =.6 v +.1 v v =.1 v 1 +. v +.9 v. Eliminando la terza equazione e sostituendola con la relazione v 1 + v + v = 1 si trova il sistema v 1 =.9 v v v =.6 v +.1 v v 1 + v + v = 1. Dalla prima equazione si ricava v 1 = v, mentre dalla seconda v = 1 v. Sostituendo questi valori, la terza equazione diventa v = 1, da cui si ricava v 1 = 1 6, v = 1 6, v =. La proporzione di disoccupati ora è v 1 + v = 1 =.%. Se si ritiene che le probabilità di reinserimento nel mondo del lavoro di un disoccupato da lungo tempo siano diverse da quelle di un disoccupato recente, allora un modello markoviano a due stati non è più adatto. Infatti la probabilità di passare dallo stato (disoccupato) ad 1 (occupato) dovrebbero risultare diverse se X n è rimasto in da molto tempo o no. Esercizio. a) Si vede subito che gli stati 1 e comunicano con gli altri due in un passo solo. Se α >, allora comunica sia con che con 1 e la catena è irriducibile. Se < α < 1 allora c è un elemento > sulla diagonale e quindi la catena, essendo irriducibile, è anche regolare. Se α = 1, allora bisogna provare a fare le potenze della matrice di transizione. Usando le stelline, P = ( ) ( ) = ( )

4 e dunque P è regolare. b) Se α = 1, allora la matrice è bistocastica e la distribuzione stazionaria è l uniforme π = ( 1, 1, 1 ). La reversibilità è immediata, dato che P è simmetrica. c) Seα =, allora lo stato è assorbente e dunque ricorrente. Gli stati 1 e comunicano con che non comunica con loro. Sono quindi transitori. d) Se α >, allora, poiché la catena è regolare, la legge al tempo n converge alla distribuzione stazionaria. In particolare, se α = 1, lim n P 1 (X n = 1) = π 1 = 1. Se invece α =, sappiamo che, partendo da 1 la catena in un tempo finito giunge nello stato assorbente per poi restarci. Dunque lim n P 1 (X n = 1) =. Esercizio. a) L uso di una catena di Markov si giustifica con il fatto che, ad ogni iterazione, lo stato su cui spostarsi viene scelto in maniera indipendente dal comportamento della catena agli istanti precedenti. La matrice di transizione è b) La catena è irriducibile, poiché il grafo è connesso e tutti gli stati comunicano. Non è regolare perché, con la numerazione prescelta, gli stati con numero pari sono adiacenti a stati con numero dispari e basta ripetere il ragionamento dell Esempio 5.6 del libro. Da notare che se avessimo numerato gli stati in maniera diversa la risposta a questa questione sarebbe stata molto meno evidente. La distribuzione stazionaria di questa catena è naturalmente unica perché la catena è irriducibile. Usando il metodo dell Esempio 5. si calcola subito la distribuzione stazionaria. Ci sono tre stati (1, e 5) da cui si dipartono due spigoli, tre da cui se ne dipartono tre (, e 6) ed uno da cui se ne diparte uno solo. Sommando si trova k = = 16. Dunque la probabilità stazionaria è π = ( 1 8, 1 8, 16, 16, 1 8, 16, 1 16). c) Se si cambia la matrice di transizione in corrispondenza degli stati e 7 facendoli diventare assorbenti, la probabilità di giungere in 7 prima che in è uguale alla probabilità di passaggio in 7 per questa nuova catena. Le probabilità di passaggio λ i soddisfano in

5 questo caso al sistema lineare λ 1 = 1 λ λ = 1 λ λ λ = 1 λ + 1 λ 6 λ 5 = 1 λ 6 λ 6 = λ + 1 λ 5 Questo sistema ha soluzione λ 1 = 9, λ = 9, λ = 6 9, λ 5 = 7 9, λ 6 = 1 9 Quindi la probabilità che il topolino ce la faccia è λ = 9. d) Aggiungendo lo spigolo indicato, dato che il grafo a maggior ragione è connesso, la catena continua ad essere irriducibile ed ha quindi una distribuzione stazionaria unica. Questa si calcola come in b), con piccole differenze: ora k = 18 e ci sono archi che escono dal vertice 5 e dal vertice 7. Quindi π = ( 1 9, 1 9, 1 6, 1 6, 1 6, 1 6, 1 9). Resta la questione della regolarità, che come al solito, è la più antipatica. Il criterio di non regolarità usato in b) non è più valido perché ora lo stato 5 è adiacente ad un altro stato con numero dispari. A meno di idee brillanti il modo più semplice di procedere è di verificare direttamente che, partendo da qualunque stato si può trovare un cammino che porta ad ogni altro stato in esattamente 6 passi. Osservate comunque che un cammino che congiunga uno stato pari con uno dispari in esattamente 6 passi deve necessariamente passare per lo spigolo 5 7, altrimenti la parità si conserva e ci si può trovare alla fine solo in uno stato pari. Questa osservazione vale anche per congiungere uno stato dispari con uno pari. Esercizio. a) Vero. Abbiamo visto (Proposizione 5.8) che in una catena finita uno stato i è transitorio se e solo se esiste uno stato j tale che i j ma j i. Questo non è possibile se la catena è irriducibile, perché allora tutti gli stati comunicano. b) Falso. Abbiamo visto nell Esempio 5.6 che P i (X n = j) = p (n) ij prende alternativamente, a seconda che n sia pari o dispari, valori = e >. Quindi, se convergesse, il limite dovrebbe essere uguale a per ogni j. c) Vero. È esattamente quello che dice in Teorema di Markov d) Falso. Se la legge iniziale è la distribuzione stazionaria π, allora X n ha legge uguale a π per ogni n. Dunque non solo P i (X n = j) n π j, ma P i (X n = j) = π j per ogni n. E questo resta vero per ogni catena avente una probabilità invariante (anche se non irriducibile e con insieme degli stati numerabile)