UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di PS2-Probabilità 2 PBaldi appello, 23 giugno 29 Corso di Laurea in Matematica Esercizio Per α 2 consideriamo la catena di Markov su {, 2, 3} associata alla matrice di transizione α 2α α a Mostrare che, se < α 2, la catena è irriducibile e regolare b Supponiamo α = 4 Calcolare la distribuzione stazionaria della catena La catena è reversibile? c Supponiamo α = Determinare gli stati ricorrenti e quelli transitori d Cosa si può dire di lim n P X n = nei casi b e c rispettivamente? P è la probabilità partendo da X = Esercizio 2 Sia X, Y una coppia di va aventi distribuzione congiunta: { f x, y = c se < x < y < y altrimenti a Quanto vale la costante di normalizzazione c? b Qual è la densità di X? E quella di Y? X e Y sono indipendenti? c Calcolare PY > 2X Esercizio 3 Le va covarianza X, X 2 hanno legge congiunta gaussiana di media e matrice di 7 C = 4 a Il vettore aleatorio X = X, X 2 ha densità congiunta? b Quali delle seguenti coppie di va sono indipendenti? b X + X 2 e X X 2 b2 X + X 2 e X 2X 2 c Mostrare che le va Y = X + X 2 e Z = X X 2 hanno densità congiunta e calcolarla d Il vettore aleatoriow = X, X 2, X +X 2 ha densità congiunta? Esistonoα, β R tale che W = αx, βx 2, βx + αx 2 abbia densità?

2 Esercizio 4 In un test a risposta multipla vengono poste 3 domande, ciascuna con 4 possibili risposte, una sola delle quali è quella giusta Per il superamento del test si richiede di rispondere correttamente ad almeno 6 domande a Uno studente non sa niente e risponde a caso Calcolare, usando l approssimazione normale, la probabilità che superi il test b Uno studente leggermente meglio preparato è in grado, per ogni domanda, di escludere una delle risposte proposte e decidere di rispondere a caso scegliendo una delle tre risposte rimaste tra le quali c è quella giusta Sempre usando l approssimazione normale, qual è ora la probabilità che superi il test? c Supponiamo che 3 studenti si presentino, tutti quanti impreparati, per cui ciascuno risponde correttamente ad ogni quesito con probabilità 4 Calcolare, con un metodo di vostra scelta, la probabilità che almeno uno dei partecipanti prenda Giustificare il metodo utilizzato

3 Soluzioni Esercizio a Si vede subito che gli stati e 3 comunicano con gli altri due in un passo solo Se α >, allora 2 comunica sia con 3 che con e la catena è irriducibile Se < α < 2 allora c è un elemento > sulla diagonale e quindi la catena, essendo irriducibile, è anche regolare Se α = 2, allora bisogna provare a fare le potenze della matrice di transizione Usando le stelline, P 2 = = e dunque P è regolare b Se α = 4, allora la matrice è bistocastica e la distribuzione stazionaria è l uniforme π = 3, 3, 3 La reversibilità è immediata, dato che P è simmetrica c Seα =, allora lo stato 2 è assorbente e dunque ricorrente Gli stati e 3 comunicano con 2 che non comunica con loro Sono quindi transitori d Se α >, allora, poiché la catena è regolare, la legge al tempo n converge alla distribuzione stazionaria In particolare, se α = 4, lim n P X n = = π = 3 Se invece α =, sappiamo che, partendo da la catena in un tempo finito giunge nello stato assorbente 2 per poi restarci Dunque lim n P X n = = Esercizio 2 a deve essere = dy f x, y dxdy ma, ricordando che f è non nulla tranne che se < x < y <, dy dunque c = b Si ha, per < x <, f X x = Mentre, sempre per < y <, f Y y = f x, y dxdy = c f x, y dy = x f x, y dx = y y dy dx = c dy = log x y y y dx =

4 e quindiy è uniforme su [, ] ChiaramenteX ey non sono indipendenti, dato che l insieme < y < x < la porzione di quadrato che sta sotto la diagonale ha probabilità per la densità congiunta mentre il prodotto delle densità marginali ivi è strettamente positivo b La probabilità PY > 2X è uguale all integrale della densità congiunta nel triangolo indicato con l ombreggiatura più intensa nella Figura Dunque PY > 2X = y dy y 2 dx = 2 Si sarebbe naturalmente anche potuto integrare prima in dy e poi in dx: PY > 2X = 2 dx 2x y dy = 2 log 2x dx = 2 log 2 2 log x dx = = 2 log 2 x log x x /2 = 2 ma il calcolo risulta più complicato 2 Figura Esercizio 3 a Si richiede solo di dire se il vettore X ha densità congiunta Dato che esso ha legge congiunta gaussiana, sappiamo che questo accade se e solo se esso ha matrice di covarianza invertibile Poiché det C = 28 + = 29, X ha densità congiunta b Le coppie di va considerate hanno tutte una legge congiunta gaussiana, essendo funzioni lineari di un vettore gaussiano Per mostrare l indipendenza basterà dunque verificare che sono a due a due non correlate Abbiamo CovX + X 2, X X 2 = = CovX, X CovX, X 2 + CovX 2, X CovX 2, X 2 = = = 3

5 e dunque le due va non sono indipendenti Invece CovX + X 2, X 2X 2 = = CovX, X 2 CovX, X 2 + CovX 2, X 2 CovX 2, X 2 = = = Le due va sono dunque indipendenti c Y e Y 2 sono congiuntamente gaussiane, come funzioni lineari di un vettore gaussiano Per calcolarne la densità congiunta se esiste occorre prima calcolarne la matrice di covarianza Due possibilità: si possono calcolare a mano gli elementi della matrice di covarianza: VarY = VarX + X 2 = VarX + VarX CovX, X 2 = = 9 VarZ = VarX X 2 = VarX + VarX 2 2 CovX, X 2 = = 3 CovY, Z = CovX + X 2, X X 2 = 3 già calcolata in b Oppure si osserva che il vettore Y Z è della forma AX, dove A = Dunque la matrice di covarianza di Y e Z è AC X A = = Questa matrice è invertibile e quindi Y e Z hanno densità congiunta L inversa è Per cui la densità è gy, z = exp 3y 2 + 9z 2 6yz 26 d La matrice di covarianza di W si calcola facilmente con uno dei metodi richiamati in c e vale 7 6 C W =

6 con un po di pazienza si vede che questa matrice ha determinante e quindi non ci può essere una densità Ma in realtà questo si poteva vedere da subito rispondendo contemporaneamente alla domanda successiva, dato che si può scrivere dove B è la matrice W = BX α B = β β α che può essere al massimo di rango 2 Dunque la matrice C W, che si ottiene anche come prodotto α 7 α β C W = β 4 β α β α può essere al massimo di rango 2 e non può essere invertibile Esercizio 4 a Se indichiamo con X i l esito della risposta alla i-esima domanda X i = se la risposta è giusta, X i = se è sbagliata, il punteggio ottenuto è S = X + + X 3 Inoltre le va X i sono di Bernoulli B, 4 e indipendenti Dunque 3EX i = 3 4 = 75 e VarX i = Usando l approssimazione normale, la probabilità di superare il test è PS 6 = PS 55 = Le tavole non danno il valore di per x = 337 Però sicuramente si tratta di un valore più grande di 299 = 9986 Dunque la probabilità richiesta è più piccola di 4 Con delle tavole più complete o un software apposito si avrebbe trovato 337 = 37 b Si possono ripetere gli argomenti del punto a, solo che ora le va X i sono B, 3 Dunque 3EX i = 3 3 = e VarX i = Ora la probabilità di superare il test è 55 PS 6 = PS 55 = 23 = c Detta p = 4 la probabilità di rispondere correttamente ad un singolo quesito, la probabilità di sbagliare tutte le domande è p = p 3 = = 78 4, per un singolo studente Il numero di studenti che prendono è dunque una va, chiamiamola Y, binomiale B3, p La probabilità che una tale va prenda un valore è PY = PY = = p 3 = 948 = 52693

7 Questo calcolo è esatto, a parte gli errori di arrotondamento della calcolatrice Dato che il numero p è piccolo mentre 3 è un numero abbastanza elevato avremmo anche potuto usare l approssimazione di Poisson che avrebbe dato PY e 3p = e 53 = L approssimazione poissoniana è quindi molto buona Qui l approssimazione normale non è indicata, dato che 3p = 53 e quindi la regoletta np > 5 non è soddisfatta Comunque avrebbe dato Y 3p PY = PY 5 = P 3p p 5 3p 3p p 5 3p = 93 = 27 3p p che è un approssimazione un po lontana dalla realtà