I Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17

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1 I Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì gennaio 7 Cognome: Nome: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione) Esercizio Ho una moneta A regolare e una moneta B per cui la probabilità di ottenere testa vale Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilità, e la lancio ripetutamente (a) Qual è la probabilità p che in un lancio esca testa? E la probabilità p n che in n lanci escano n teste? (b) Se in n lanci escano n teste, qual è la probabilità che la moneta scelta sia A? Che cosa succede nel limite n!? Soluzione (a) Introduciamo gli eventi A := scelgo la moneta A e T i := esce testa all i-esimo lancio Si ha P(A) =, P(T i A c )=, P(T i A) =, dunque la probabilità che in un lancio esca una testa vale p =P(T i A)P(A)+P(T i A c )P(A c )= + = 5 Introduciamo ora l evento B n := in n lanci escono n teste Per costruzione, gli eventi (T i ) in sono indipendenti rispetto alle probabilità condizionali P( A) e P( A c )Datoche B n = T \ T \ \ T n, si ottiene da cui P(B n A) =P(T A) n = n, P(B n A c )=P(T A c ) n = p n =P(B n )=P(B n A)P(A)+P(B n A c )P(A c )= (b) Per la formula di Bayes P(A B n )= P(B n A)P(A) P(B n ) Si noti che P(A B n ) n! per n! = n + n n = n + + n, n n

2 Esercizio Siano X U(, ) e Y Geo(p) variabili aleatorie indipendenti Sia := Y X (a) Si dica se sono ben definite e, nel caso, si determinino E[], Var[], Cov[, Y ] (b) Si fissi n N Qual è la distribuzione della variabile aleatoria W n := n X? (c) Dato m N, si calcoli la funzione di ripartizione F (z) per ogni z [m,m] [Sugg Si considerino gli eventi {Y < m}, {Y = m}, {Y > m}] (d) Si mostri che P( = z) =per ogni z R Soluzione (a) ÈnotocheX, Y L,dunqueanche L, quindi valore medio, varianza e covarianza sono ben definiti È noto che E[X] =, Var[X] =, E[Y ]= p quindi per linearità E[] =E[Y ] E[X] = p, Var[Y ]= p p, = p p ; per proprietà della varianza della somma di va indipendenti (essendo Cov[X, Y ]=) Var[] = Var[Y ] + Var[X] = p p + = p p + p ; per la bilinearità della covarianza Cov[, Y ]=Cov[Y,Y ] Cov[X, Y ] = Var[Y ]= p p (b) Dato che X (, ), sihaw n (n,n), pertanto F Wn (w) =se w apple n mentre F Wn (w) =se w n Nel regime interessante n <w<nsi ha F Wn (w) =P(W n apple w) =P(X n w) = (n w) =w (n ), dato che P(X x) = x per <x< In definitiva >< se w apple n F Wn (w) = w (n ) se n <w<n >: se w n È facile riconoscere la funzione di ripartizione di una va W n U(n,n) In alternativa, essendo F Wn di classe C atratti,w n è assolutamente continua con densità f Wn (w) = FW n (w) = (n,n) (w), da cui W n U(n,n) (c) Per la formula di disintegrazione, se m apple z<m, F (z) =P( apple z) =P( apple z,y < m)+p( apple z,y = m)+p( apple z,y > m) Se Y < m,ossiay apple m, alloraanche apple m, pertanto automaticamente apple z, quindi P( apple z,y < m) =P(Y < m)=p(y apple m ) Viceversa, se Y > m,ossiay m +, allora m, pertanto non si può avere apple z, quindip( apple z,y > m) = In definitiva F (z) =P(Y apple m ) + P( apple z,y = m) = P(Y > m ) + P(m X apple z,y = m) = ( p) m +P(W m apple z)p(y = m) = ( p) m +(z (m ))p( p) m

3 (d) Dal punto precedente si può notare che la funzione F ècontinuainognipuntoz R (infatti F (z) =per z < e F (m )=F (m) per m N) Pertanto P( = z) = F (z) F (z )= (In effetti, la funzione F è C atratti,dunquelava è assolutamente continua, con densità f (z) =P(Y = m) =p( p) m se m apple z apple m) In alternativa, in modo più diretto, disintegrando rispetto ai valori assunti da Y, si ha P( = z) = X nn P( = z,y = n) = X nn P(n X = z,y = n) = X nn P(X = n z)p(y = n) =, dove l ultima uguaglianza segue dal fatto che P(X = x) =per ogni x R, essendo X assolutamente continua

4 Esercizio Siano X, Y variabili aleatorie reali con densità congiunta f (X,Y ) (x, y) = < se (x, y) D D(x, y) =, : altrimenti avendo posto (a) Si calcolino le densità marginali di X e Y D := {(x, y) R : <x<, <y< p x } (b) Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti? (c) Si definisca la variabile aleatoria := XY e si dica per quali p (, ) si ha L p (d) Si calcoli per ogni t, z [, ] la probabilità P(X apple t, apple z) Le variabili aleatorie X e hanno la stessa legge? Sono indipendenti? Soluzione (a) Si noti che f X (x) =se x 6 (, ), perché in tal caso f (X,Y ) (x, y) =per ogni y R Per x (, ) px f X (x) = f (X,Y ) (x, y) dy = dy = p x R Analogamente, f Y (y) =se y 6 (, ) Conviene considerare separatamente i regime y (, ) e y (, ], dal momento che Dunque per y> D = { <yapple, <x<}[{ <y<, x< y } f Y (y) = mentre per <yapple f Y (y) = R f (X,Y ) (x, y) dx = R f (X,Y ) (x, y) dx = y dx = y, dx = (b) Le variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti perché la densità congiunta f (X,Y ) (x, y) si annulla sull aperto { <x<, y > p x } mentre il prodotto delle densità marginali f X (x)f Y (y) è strettamente positivo su tale aperto, dunque non si può avere f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) per Leb-qo (x, y) R (c) Si noti che P((X, Y ) D) =, perché la densità f (X,Y ) (x, y) si annulla al di fuori di D Dunque <X< e <Y </ p X qc, da cui segue che <XY <, ossia << Ciò mostra che èlimitata,dunque L p per ogni p (, ) In alternativa, basta calcolare E[ p ]=E[X p Y p ]= x p y p f (X,Y ) (x, y) dx dy = R = x p dx = (p + )x p+ (p + ) p x p x y p dy dx p x dx = p + <

5 5 (d) Si noti che {X apple t, apple z} = {X apple t, XY apple z} = {(X, Y ) A} dove p z A = {(x, y) : x apple t, y apple p } x Di conseguenza, per t, z [, ], P(X apple t, apple z) = f (X,Y ) (x, y) dx dy = = A p {<xapplet, <yapple z p x } = p z p x dx dy = A\D t dx dy p z p x t dy dx = p z p x dx Ponendo t =si ottiene P( apple z) = p z per apple z apple Dunque è assolutamente continua con densità f (z) =F (z) = p z (,)(z), la stessa densità di X Abbiamo mostrato che P(X A, B) =P(X A)P( B) per ogni semiretta A =(,t] e B =(,z] Dato che le semirette sono una base dei boreliani, segue che X e sono indipendenti

6 6 Esercizio Sia X,X,una successione di variabili aleatorie iid con leggi Exp( ) Definiamo la successione Y,Y, ponendo Y i := X i Si osservi che le variabili aleatorie Y,Y,sono indipendenti e identicamente distribuite (perché?) (a) Si determini la legge di Y, mostrando che è assolutamente continua (b) Per quali p (, ) si ha Y L p? (c) Definiamo per n n := min{y,,y n }, W n := (log n) n Si mostri che W n converge in distribuzione e si identifichi il limite Soluzione Le variabili aleatorie Y i sono indipendenti per conservazione dell indipendenza (funzioni di va indipendenti) e identicamente distribuite per conservazione della legge (la stessa funzione applicata a va identicamente distribuite) (a) Chiaramente F Y (y) =se y apple, perché Y > qc Per y> F Y (y) =P(Y apple y) =P(X /y) =e y, perché P(X x)=e x se X Exp( ) e x Datochee y! per y #, la funzione F Y è C atratti,dunquelavay è assolutamente continua con densità (b) Usando la densità ricavata f Y (y) =F Y (y) = e y y (,)(y) E[ Y p ]=E[Y p ]= y p f Y (y) dy = e y y p dy La funzione integranda è continua, dunque integrabile (perché misurabile e limitata) in ogni intervallo compatto [a, b] (, ) Resta da studiare la finitezza dell integrale in un intorno di zero o infinito Per y # non ci sono problemi di integrabilità, grazie all esponenziale: la funzione integranda ha limite zero per y #, quindi è limitata (dunque integrabile) Per y "si ha e y!, dunque l integranda è asintotica a y p, quindi è integrabile se e solo se p>, ossiap< In definitiva, Y L p se e solo se p< Le stesse conclusioni si possono ottenere a partire dalla legge di X,inquanto E[Y p ]=E apple X p = x p e x dx, che è finito se e solo se p< (questa volta i possibili problemi sono solo per x # ) (c) Essendo n > qc, si ha F n (z) =per z apple, mentre per z> F n (z) =P( n >z)=p(y >z,,y n >z)=p(y >z) n =( F Y (z)) n =( e z ) n Di conseguenza si ha F Wn (w) =per w apple, mentre per w> F Wn (w) =P(W n apple w) =P( n apple w log n )=F n ( w log n )= e w log n n = n n w

7 7 Per valutare il limite di questa espressione, conviene ricordare che log( + x) =x( + o()) per x! Posto per brevità a := w, possiamo scrivere apple n log n a = n log n a = n n a ( + o()) Di conseguenza, per ogni w R, lim F limn! log[( W n! n (w) = e = n a ( + o())! n! n /w )n ] = G(w) := >< se a< se a = >: se a> >< e se w> e >: se w = e se w< >< se w> = e >: se w = se w< La funzione G(w) non è una funzione di ripartizione, perché non è continua da destra nel punto w = Tuttavia, modificando il valore della funzione in tale punto, ossia ponendo ( se w H(w) := se w<, si ottiene una funzione di ripartizione, più precisamente la funzione di ripartizione di una va costante W = qc Abbiamo dunque mostrato che lim n! F W n (w) =H(w) =F W (w) w 6= Dato che w = è l unico punto di discontinuità della funzione di ripartizione H = F W, abbiamo mostrato che W n converge in distribuzione verso la costante W =

8 Esercizio 5 È facoltativo giustificare il seguente integrale: t R : e tx e x p dx = e t (?) Diremo che una variabile aleatoria reale X ha distribuzione log-normale di parametro scriveremo X LN( ), se dove d = significa ha la stessa distribuzione di (a) Data X LN( ), simostrichee[x] = R X d = e, con N(, ), Siano X,X,,X n variabili aleatorie indipendenti log-normali di parametro (b) Si mostri che la seguente variabile aleatoria T n := X X X n ha distribuzione log-normale, determinandone il parametro Si osservi che E[T n ]= D ora in avanti poniamo = (c) Si mostri che lim P(T n >e n )= n! (d) Si mostri che T n! in probabilità Si dica se T n converge in L Soluzione 5 Per calcolare l integrale basta completare il quadrato scrivendo tx x (x t) Oppure, basta dividere ambo i membri per e t, ottenendo e t e tx e x (x t) e p dx = p dx =, R R dove l ultima uguaglianza segue dal fatto che l integranda è la densità di una N(t, ) (a) Usando l integrale (?) con t = E[X] =E[e ]=e R e x e x p dx = e e = = t (b) Siano,, n va iid N(, ) AlloraX,,X n hanno la stessa legge congiunta rispettivamente di e,,e n Segue che T n d = e e e n = e ( ++ n) n d p Dato che + + n N(,n), possiamo scrivere + + n = n con N(, ), pertanto d T n = e ( p n) ( p n), ossia T n LN( p n) Per il punto precedente, si ha E[T n ]= Questo valore si può anche calcolare direttamente, usando l indipendenza delle va X i : E[T n ]=E[X ]E[X ] E[X n ]= (c) Usando la rappresentazione T n d = e ( p n) ( p n) = e p n n,siha P(T n >e n )=P(e p n n >e n )=P( p n n > n) =P(> p n )! n!, e

9 9 (d) Per ogni "> fissato, si ha ">e n per n sufficientemente grande, da cui P( T n >")=P(T n >") apple P(T n >e n )! n!, dunque T n! in probabilità Se T n convergesse in L, si dovrebbe avere T n! in L, in particolare E[T n ]! E[] =, ma così non è, dato che E[T n ]=per ogni n N; dunquet n non ha limite in L

10 Esercizio 6 Sia X =(X n ) n grafo di transizione: una catena di Markov sull insieme E = {,,,, 5} con il seguente 5 Indichiamo come al solito P i ( ):=P( X = i) (a) Si scriva la matrice di transizione, si classifichino gli stati (transitori, ricorrenti positivi, ricorrenti nulli) e se ne determini il periodo (b) Partendo dallo stato, qual è la probabilità di raggiungere prima o poi lo stato? (c) (*) Quanto valgono lim n! P (X n = ) e lim n! P (X n = 5)? Soluzione 6 (a) Si ha p = C A Chiaramente {} e {5} sono classi di comunicazione chiuse e finite, dunque ricorrenti positive, mentre {,, } è una classe di comunicazione (infatti!!! ) nonchiusa(in quanto! ), quindi transitoria Gli stati e 5 hanno periodo, inquantop = p > e p 55 = p 55 > Ancheglistati,, hanno periodo, inquantop = p > (gli stati di una classe di comunicazione hanno lo stesso periodo) (b) Sia = {} := min{n : X n =} Le probabilià di assorbimento h i = h {} i := P i ( <) soddisfano il sistema >< h = h 5 = >: h i = P je p ijh j se i =,, Dunque >< h = h + h h = >: h + h + h = h + h La seconda relazine dà h = h + ossia h = h + Sostituendo nelle altre relazioni ( 7 9 h = 9 + h si ha ( h = 9 h h h = h + h + 6 () h = 7 h + 6

11 Sostituendo la seconda relazione nella prima si ottiene infine 7 9 h = h + 7 () 9 h = () h = 9 7 (c) Per il punto precedente si ha lim n! P (X n = ) = 7 Infatti gli eventi A n := {X n =} sono crescenti, ossia A n A n+ per ogni n N (questo perché, una volta raggiunto lo stato, non lo si lascia più), e vale che S nn A n = { {} < }, quindi per continuità dal basso della probabilità h =P ( {} < ) = lim n! P (A n )= lim n! P (X n = ) D altro canto lim n! P (X n = i) =per i =,,, perché tali stati sono transitori Dato che P 5 i= P (X n = i) =, segue che lim n! P (X n = 5) = 7