UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di PS2-Probabilità 2 P.Baldi appello, 7 giugno 200 Corso di Laurea in Matematica Esercizio Siano X, Y v.a. indipendenti di legge Ŵ(2, λ). Calcolare densità e la media della v.a. Z = min(x, Y). Esercizio 2 Un punto viene scelto a caso nel cerchio (pieno) di raggio R con distribuzione uniforme. a) Qual è la probabilità che esso disti dall origine più di r (0 r R)? b) n punti vengono scelti indipendentemente e con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio R. Qualè la probabilità che la minima distanza dall origine sia maggiore di r? r Qual è la probabilità che la minima distanza dall origine sia maggiore di n? Quanto vale il limite di questa probabilità per n? Esercizio 3 Sia (X n ) n una successione di v.a. i.i.d. di legge P(X n = 2 ) = P(X n = 2) = 2 a) Quanto vale E(log X n )? b) Mostrare che la successione Y n = (X... X n ) /n converge in probabilità e determinarne il limite. c) Mostrare che la successione Y n = (X... X n ) / n converge in legge e determinarne la legge limite. Esercizio 4 Un urna contiene inizialmente 2 palline rosse (R) e 2 palline nere (N). Due giocatori, A e B, giocano con le regole seguenti. Viene lanciata una moneta: con probabilità p, 0 p, la composizione dell urna non viene modificata. Con probabilità p invece si effettua un estrazione: se la pallina estratta è N, essa viene messa da parte, se la pallina estratta è R essa viene rimessa nell urna insieme ad una nuova pallina N. Il giocatore A vince non appena nell urna ci sono 4 palline N, B vince non appena nell urna non ci sono più palline N. Indichiamo con X n il numero di palline nere nell urna al tempo n. a) Scrivere la matrice di transizione, P, di questa catena. b) Qual è, al variare di p, la probabilità che il giocatore A vinca? c) Quanto dura in media, al variare di p, la partita?

2 Soluzioni Esercizio. Per il calcolo della densità calcoliamo F Z (t) = P(min(X, Y) > t) = P(X > t, Y > t) = P(X > t)p(y > t). Ricordando l espressione della funzione di ripartizione delle leggi Gamma con il parametro α intero, abbiamo dunque F Z (t) = ( ) 2 e λt ( + λt) = e 2λt ( + λt) 2 e facendo la derivata f Z (t) = F Z(t) = e 2λt( ) 2λ( + λt) 2 + 2λ( + λt) = e 2λt (2λ 2 t + 2λ 3 t 2 ) si trova la densità. Per la media, ricordando l espressione degli integrali Gamma, E(Z) = tf Z (t) dt = 2λ 2 t 2 e 2λt dt + 2λ 3 t 3 e 2λt dt = 0 = 2λ 2 Ŵ(3) Ŵ(4) + 2λ3 (2λ) 3 (2λ) 4 = 2λ + 3 4λ = 5 4λ Esercizio 2. a) Dire che il punto viene scelto a caso con legge uniforme sul cerchio di raggio R significa considerare una v.a. bidimensionale di densità f (x) = { πr 2 se x R 0 altrimenti. Dire che il punto dista più di r dall origine significa dire che esso si trova al di fuori del cerchio, B r, di centro l origine e raggio r. La probabilità è quindi uguale all integrale di f sul complementare di B r, cioè, se r R, sulla corona circolare compresa tra il cerchio di raggio r e quello di raggio R. Poiché f è costante e uguale a su B πr 2 R, questo integrale è uguale all area di questa corona circolare moltiplicata per, cioè πr 2 πr 2 πr 2 πr 2 = R2 r 2 R 2 = r2 R 2 b) Calcoliamo la probabilità che la distanza minima degli n punti dall origine sia r. Ciò vuole dire che tutti gli n punti si trovano al di fuori di B r. Poiché gli n punti sono stati scelti indipendentemente, P(X B c r,... X n B c r ) = P(X B c r )... P(X n B c r ) = P(X B c r )n. 0

3 Riprendendo gli argomenti sviluppati in a), P(X B c r ) = R2 r 2 R 2 = r2 R 2 Dunque, la probabilità che la distanza minima dall origine sia r vale Sostituendo r n al posto di r, si trova ( r2 R 2 ) n. ( r2 ) n R 2 e r2 R n 2. n Esercizio 3. a) La v.a. log X n prende i valori log 2 e log 2 probabilità 2. Dunque E(X) = 2 log log 2 = 0. b) Si ha, ponendo Z n = log X n, Y n = exp ( n (Z Z n ) ) = log 2, entrambi con Le v.a. (Z n ) n sono centrate ed hanno varianza finita. Dunque per la Legge dei Grandi Numeri n (Z Z n ) n 0 in probabilità. Poiché la funzione esponenziale è continua, per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che e x ε se x δ. Dunque P( Y n ε) P( n (Z Z n ) δ) 0 n e dunque Y n in probabilità. c) In maniera simile si ha W n = exp ( n (Z Z n ) ) Per il Teorema Limite Centrale (le v.a. Z i sono centrate ed hanno varianza uguale a (log 2) 2 ) n (Z +... Z n ) n Z N(0, (log 2) 2 ). Dunque, se t > 0, F Wn (t) = P(W n t) = P ( n (Z +... Z n ) log t ) = n ( log t log 2 )

4 dove indica al solito la funzione di ripartizione di una v.a. N(0, ). t ( log t log 2 ) è la funzione di ripartizione della v.a. e Z che dunque densità (che è una densità lognormale). t log 2 ( log t log 2 ) = 2π t log 2 e (log t)2 /(2(log 2) 2 ) Esercizio 4. a) Indichiamo con X n il numero di palline nere nell urna al tempo n. Se X n = i allora con probabilità p X n+ = i. Con probabilità p viene estratta una pallina. Se è nera (probabilità i+2 i perché nell urna ci sono ora i + 2 palline di cui i nere), allora X n+ = i. Dunque p i,i = i ( p) i+2. Con probabilità p viene estratta una pallina. Se è rossa (probabilità i+2 2 ), allora X n+ = i +. Dunque p i,i+ = ( p) i+2 2. Dunque la matrice di transizione della catena è ( p) p 3 ( p) ( p) p 2 ( p) ( p) p 2 5 ( p) b) Gli stati transitori sono i =, 2, 3 (comunicano con 0 e 4 che sono assorbenti). Il sistema delle probabilità di passaggio nello stato i = 4 è λ = pλ ( p)λ 2 λ 2 = 2 ( p)λ + pλ ( p)λ 2 λ 3 = 2 5 ( p) ( p)λ 2 + pλ 3 Si vede facilmente che si può semplificare per p ed il sistema diventa λ = 2 3 λ 2 λ 2 = 2 λ + 2 λ 3 λ 3 = λ 2. che ha soluzione λ = 4, λ 2 = 6, λ 3 = 8 ) e quindi la probabilità che A vinca è λ 2 = 6 e non dipende da p.

5 c) Se indichiamo con ζ i il tempo medio di assorbimento in {0, 4} partendo da i, allora i numeri ζ i, i =, 2, 3, sono soluzione di ζ = + pζ ( p)ζ 2 ζ 2 = + 2 ( p)ζ + pζ ( p)ζ 3 ζ 3 = ( p)ζ 2 + pζ 3. Si vede facilmente che si può porre ζ i = ( p)ζ i in modo che il sistema diventa ζ = ζ 2 ζ 2 = + 2 ζ + 2 ζ 3 ζ 3 = ζ 2. da cui si trova ζ = 5, ζ 2 = 60, ζ 3 = 47 e quindiζ = 5 ( p), ζ 2 = 60 ( p), ζ 3 = 47 ( p)