1 Esercizi tutorato 1/4

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1 Esercizi tutorato 1/ 1 1 Esercizi tutorato 1/ Esercizio 11 Siano X e Y due va discrete indipendenti di distribuzione geometrica con parametro p [0, 1] (i) Si calcoli la legge di X + Y, è una legge nota? (ii) Si calcoli la legge di X sapendo che X + Y = m, è una legge nota? Soluzione (i) Si ricordi che in generale abbiamo che, k 0, p X+Y (k) := P (X + Y = k) = P (X = n) P (Y = k n) = p X (n)p Y (k n) Ricordando che, essendo X e Y va geometriche discrete abbiamo che la loro densità discreta (si ricordi che una va discreta ammette una densità degenere che per analogia con il caso continuo viene denominata densità discreta, in seguito, per comodità, verrà usato solamente il termine densità senza specificare che si tratta di una densità discreta) è data da { p(1 p) k se k 0, p X (k) = p Y (k) = 0 altrimenti, Abbiamo dunque che, k 0, p X+Y (k) = p X (n)p Y (k n) = (ii) La legge condizionale vale, m > k 0, p (1 p) k = (k + 1)p (1 p) k p X X+Y (k m) := P (X = k X + Y = m) = P (X = k, X + Y = m) P (X + Y = m) (11) Il denominatore nell equazione (11) l abbiamo calcolato nel punto (i), rimane dunque da calcolare il numeratore in (11) In particolare abbiamo che per m > k 0 P (X = k, X + Y = m) = P (X = k, Y = m k) = p X (k)p Y (m k) = Dunque abbiamo che l equazione (11) diventa p X X+Y (k m) = = p(1 p) k p(1 p) m k = p (1 p) m p (1 p) m (m + 1)p (1 p) m = 1 m + 1 Si noti che la legge di X condizionata a X+Y = m è una variabile uniforme su {0, 1,,, m 1, m}

2 Esercizi tutorato 1/ (a) Densità X G( 1 ) (b) Densità X + Y con p = (c) Densità X X + Y = U( 1 5 ) Esercizio 1 (i) Si consideri un urna contente palline numerate e se ne estraggano con rimpiazzo Sia X 1 la prima estrazione e X la seconda Si calcoli la distribuzione di X 1, X e la distribuzione congiunta (X 1, X ) dell estrazione di palline con rimpiazzo (ii) Si consideri la stessa urna del punto (i) contente palline numerate e se ne estraggano questa volta senza rimpiazzo Sia Y 1 la prima estrazione e Y la seconda Si calcoli la distribuzione di Y 1, Y e la distribuzione congiunta (Y 1, Y ) dell estrazione di palline senza rimpiazzo Soluzione (i) I possibili valori di X 1 sono i numeri da 1 a Lo stesso vale per la variabile aleatoria X Chiaramente abbiamo che X 1 U( 1 ) e X U( 1 ), dove abbiamo indicato con U la distribuzione uniforme di valore 1 I possibili esiti del vettore X := (X 1, X ) sono invece tutte le coppie (i, j), i = 1,,, e j = 1,,, Le possibili combinazioni sono dunque 3 e siccome sono equiprobabili abbiamo che X = (X 1, X ) U( 1 3 ) (ii) Come nel punto (i) avremo Y 1 U( 1 ) e Y U( 1 ), cambia però la densità congiunta della coppia (Y 1, Y ) Infatti abbiamo che ora risultati del tipo (i, i) non sono più possibili in quanto l estrazione avviene senza rimpiazzo Dunque i possibili esiti ora sono le coppie (i, j), i, j = 1,,,, i j In totale abbiamo quindi 30 esiti equiprobabili, la densità congiunta avrà dunque la seguente forma { 1 p (Y1,Y )(i, j) := 30 se i j, 0 se i = j,

3 Esercizi tutorato 1/ (a) Densità X 1 U( 1 ) e X U( 1 ) (b) Densità X = (X 1, X ) U( 1 3 ) (c) Densità Y = (Y 1, Y ) Esercizio 13 Si considerino due va discrete X e Y tali per cui la loro densità congiunta sia data da {c ln µ m ν nm p (X,Y ) (n, m) =, l, µ > 0, 0 < ν 1 se n, m 0,, (1) 0 altrimenti, e c è una costante reale tale per cui (1) è una densità di probabilità (ie n,m 0 p (X,Y ) = 1) (i) Si calcolino le densità marginali (ii) Si calcoli P (X = n Y = m), è una legge nota? (iii) Si dimostri che gli eventi {X = n} e {Y = m} sono indipendenti sse ν = 1 Soluzione (i) Siccome abbiamo la densità congiunta possiamo ricavare le densità marginale (si ricordi che non è in generale vero il viceversa!) In particolare abbiamo che, n 0, p X (n) = m 0 p (X,Y ) (n, m) = m 0 c ln µ m ν nm = c ln n n! eµν, dove abbiamo sfruttato l espansione in serie dell esponenziale, ovvero e x = n 0 x n n!

4 Esercizi tutorato 1/ In maniera analoga abbiamo che, m 0, p Y (m) = n 0 p (X,Y ) (n, m) = n 0 c ln µ m ν nm = c µm m m! elν (13) (ii) Abbiamo che la densità di X sapendo Y è data da, n, m 0, p X Y (n, m) := P (X = n Y = m) = p (X,Y )(n, m) p Y (m), (1) abbiamo dunque tutti gli elementi necessari a calcolare esplicitamente (1), ovvero unendo (1) e (13) abbiamo che, n, m 0, p X Y (n, m) = p (X,Y )(n, m) p Y (m) = c l n µ m ν nm m (lν m ) n = e lν c µm elνm n! m! Si può notare come la legge di X condizionata a Y = m, m 0, corrisponda ad una legge Poisson di parametro lν m (iii) Nel caso particolare di m = n = 0 abbiamo che, se X e Y fossero indipendenti, dovrebbe valere p (X,Y ) (0, 0) = c = p X (0) p Y (0) = c e µ+l, ovvero In generale, per un m qualsiasi abbiamo che c = e (µ+l) (15) p (X,Y ) (0, m) = c µm m! = p X(0)p Y (m) = ce µ c µm m m! elν (1) Unendo ora (15) e (1) abbiamo che sono valide { c = e (µ+l) ;, µ m ν m! = c e µ µm m!, elνm ν = 1 Viceversa, se ν = 1, tenendo conto di (15), abbiamo che,, n, m 0, p (X,Y ) (n, m) = e (µ+l) ln µ m ν µ ln µm = e e l = p X(n)p Y (m)

5 Esercizi tutorato 1/ (a) Densità p (X,Y ) (b) Densità p X Y (c) Densità p X (d) Densità p Y Figure 3: l = 1, µ = 1, ν = 1, c = e 3 e m = Esercizio 1 Si considerino dadi e X e Y due va discrete Sia X il numero di lanci necessari del dado 1 per ottenere la faccia 1 e sia Y il numero di lanci necessari del dado per ottenere la faccia 5 o la faccia Si determinino le leggi di Z := max(x, Y ) e di W := min(x, Y ) Soluzione Abbiamo che X Ge( 1 ) e Y Ge( 1 3 ), dove abbiamo indicato con Ge la distribuzione geometrica Abbiamo inoltre che X e Y sono indipendenti Calcoliamo prima la legge di Z Indichiamo con F Z la funzione di ripartizione di Z, dunque abbiamo che per ogni n 1 F Z (n) = P (Z n) = P (X n, Y n) = P (X n) P (Y n) = F X (n)f Y (n) (17) Siccome X e Y sono va geometriche abbiamo che la loro funzione di ripartizione è data da F X (n) = 1 (1 1 )n, F Y (n) = 1 (1 1 3 )n Dunque abbiamo che l equazione (17) diventa F Z (n) = F X (n)f Y (n) = (1 (1 1 )n )(1 (1 1 3 )n ) = Possiamo dunque calcolare, n 1, p Z (n) = P (n 1 < Z n) = F Z (n) F Z (n 1) = ( = 1 5 n ) ( 1 n ) ( ) ( 1 3 ( 1 5 n ) ( 1 n ) (18) 3 ) =

6 Esercizi tutorato 1/ Per quanto riguarda W possiamo sfruttare il fatto che, n 1, F W (n) = P (W n) = P (min(x, Y ) n) = 1 P (min(x, Y ) > n) = 1 P (X > n) P (Y > n) = = 1 (1 F X (n)) (1 F Y (n)) = 1 (1 1 )n (1 1 3 )n = Procedendo come prima abbiamo ora che Si noti che W G( 9 ) p W (n) = P (n 1 < W n) = F W (n) F W (n 1) = = n = n (a) Densità X Ge( 1 ) (b) Densità Y Ge( 1 ) (c) Densità Z 8 10 (d) Densità W Ge( 9 )