Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2016/17 - Prova del

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1 Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (69AA) A.A. 06/7 - Prova del La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate. Problema Una lotteria consiste di un numero fissato n di biglietti, ciascuno del costo di e, e un montepremi di ne che viene assegnato ad un unico biglietto vincente, estratto a sorte tra gli n biglietti.. Una persona decide di acquistare k biglietti, con k {0,,..., n} fissato. Posto V il guadagno netto dopo l estrazione del biglietto, ossia V = ke se nessun biglietto è vincente, V = (n k)e altrimenti, calcolare valore atteso e varianza di V. Per quali k la varianza di V è massima? per quali è minima?. Due persone ( e ) decidono rispettivamente di acquistare k, k biglietti, con k, k {0,,..., n}, k + k n. Posti V, V i guadagni netti dopo l estrazione del biglietto, ossia V = k e se nessun biglietto della persona è vincente, V = (n k )e altrimenti, e similmente per V, calcolare la covarianza tra V e V. 3. Per fornire un modello della lotteria, si suppone che una persona che decide di partecipare alla lotteria acquisti un numero K aleatorio di biglietti, K {,,..., n} con legge P (K = k Ω) = c k, per ogni k {,..., n}, e c > 0 è un opportuna costante (ottenibile imponendo che la somma delle probabilità sia ). Aggiornando l informazione Ω con l evento la persona vince la lotteria, come cambia la legge di K? Calcolarne valore atteso e varianza. (Suggerimento: NON è necessario né richiesto di calcolare il valore di c) Una soluzione:. Si ha P ( vince Ω) = k n, quindi E [V Ω] = k n k (n k) k = 0, n n Var (V Ω) = E [ V Ω ] = k n (n k) + n k n k = k(n k), che è minima per k {0, n} mentre è massima per k = n/ se n è pari, altrimenti per k {(n + )/, (n )/}, se n è dispari.. Gli eventi A = vince la persona e A = vince la persona e A 3 = non vince né né sono un sistema di alternative, e inoltre sappiamo che P (A ) = k /n, P (A ) = k /n, P (A 3 ) = (n k k )/n. Perciò 3 Cov (V, V Ω) = E [V V Ω] = E [V V A i ] P (A i Ω) i= = (n k )k k n + (n k )k k n + k (n k k ) k n = k k. Pag.

2 3. Nel primo punto abbiamo visto che, per k {,..., n}, quindi la formula di Bayes implica P ( vince K = k) = k n, P (K = k vince ) = k n c k P (K = k Ω), dove P (k = k Ω) = n k= k n c k = c. Perciò abbiamo trovato per k {,..., n}, P (K = k vince ) = n, ossia K ha legge uniforme (discreta). Sappiamo allora che il valore atteso è E [K vince ] = n k n = n +, k= mentre la varianza è Var (K vince ) = (n )/. Problema Si consideri una catena di Markov (X n ) n 0 con insieme degli stati {,, 3, } e matrice di transizione rappresentata in figura. Supponiamo inoltre che la distribuzione iniziale della catena sia P (X 0 = Ω) = P (X 0 = Ω) = P (X 0 = 3 Ω) = /3. / / 3 /. Scrivere la matrice di transizione Q eventualmente specificando probabilità di transizione mancanti. Calcolare tutte le distribuzioni invarianti associate.. Calcolare P (X n = Ω), per ogni n {0,,, 3}, e P (X, X, X 3 Ω). 3. Supponendo di osservare che X {3, }, qual è la probabilità che sia X =? e supponendo di osservare che X {, 3, }? È più probabile sia X = o X?. Calcolare P (X, X, X 3 X {3, }). Pag.

3 Una soluzione:. Ordiniamo gli stati {,, 3, } e scriviamo la matrice di transizione 0 / 0 / 0 0 / / Q = / 0 0 / Per trovare gli autovettori di autovalore di Q τ, riduciamo a gradini Q τ I, 0 / 0 0 / 0 0 / 0 / / 0 0 / / / / / 0 0 / 0 0 / / 0 0 / / / 0 0 / / da cui l unica distribuzione invariante è (0, 0, 0, ).. Notiamo intanto che P (X 0 = Ω) = 0, perchè P (X 0 {,, 3} Ω) = 3 3 =. Per calcolare P (X n = Ω), n {,, 3}, ci basta considerare il vettore riga µ 0 = (/3, /3, /3, 0) e calcolare µ 0 Q n. Si trova quindi µ 0 Q = ( 6, 6, 6, ) µ 0 Q = ( 6, 6, 6, )Q = (,,, 3 ) µ 0 Q 3 = (,,, 3 )Q = (,,, 7 8 ). da cui P (X = Ω) =, P (X = Ω) = 3, P (X 3 = Ω) = 7 8. Per calcolare la seconda probabilità, possiamo ragionare in due modi: nel primo modo, usiamo il sistema di alternative X 0 = i, per i {,, 3}, per cui P (X, X, X 3 Ω) = 3 P (X, X, X 3 X 0 = i) 3. i= Consideriamo ad esempio il caso i = : sapendo che X 0 =, l unica possibilità per realizzare l evento {X, X, X 3 } è di seguire il cammino X =, X = 3, X 3 =, per cui usando la proprietà di Markov P (X, X, X 3 X 0 = ) = P (X =, X = 3, X 3 = X = ) = 3 = 8. Pag. 3

4 Allo stesso modo si vede che le altre probabilità sono /8 e quindi la probabilità richiesta è pure /8. Nel secondo modo, notiamo che l evento complementare Ω \ {X, X, X 3 } = {X = } {X = } {X 3 = } consiste dell unione di tre eventi che dal punto di vista della probabilità sono uno contenuto nell altro: infatti se la catena si trova al tempo in, necessariamente si trova anche al tempo in e pure al tempo 3. Precisamente si ha P ({X = } \ {X = } Ω) = P ({X = } \ {X 3 = } Ω) = 0. Questo ci permette di concludere che la probabilità dell unione è semplicemente la probabilità dell evento X 3 =, ossia P (X 3 = Ω) = 7/8 calcolata prima, e quindi la probabilità richiesta è /8. 3. Calcoliamo usando la formula di Bayes P (X = Ω {X {3, }}) = P (X {3, } Ω {X = })P (X = Ω) P (X {3, } Ω) = + 3 = 3 5 avendo usato i calcoli del punto precedente. Ripetendo lo stesso calcolo condizionando rispetto a X {, 3, }, si ha P (X = Ω {X {, 3, }}) = P (X {, 3, } Ω {X = })P (X = Ω) P (X {, 3, } Ω) = + 3 = 6. Si vede che è sempre più probabile che sia X =, visto che il numeratore di Bayes è / e il denominatore è <.. Ragionando come al punto (secondo modo), possiamo prima calcolare la probabilità del complementare, e siccome il ragionamento di prima vale ancora, perché gli eventi {X = }, {X = }, {X 3 = } sono contenuti l uno nell altro anche aggiungendo l informazione X {3, }. Basta quindi calcolare P (X 3 = X {3, }) = P (X 3 = X = 3)P (X = 3 X {3, }) + P (X 3 = X = )P (X = X {3, }) = P (X = 3 X {3, }) + P (X = X {3, }). Usando la formula di Bayes P (X = 3 X {3, }) = P (X {3, } X = 3)P (X = 3 Ω) P (X {3, }) Ω) = + 3 = 0 = 0 Pag.

5 e similmente (in realtà questo calcolo non servirebbe, visto che le due probabilità sommano a ) P (X = X {3, }) = P (X {3, } X = )P (X = Ω) P (X {3, }) Ω) Pertanto troviamo che = = 3 0 = 9 0. P (X 3 = X {3, }) = = 9 0, e quindi la probabilità richiesta vale /0. Problema 3 Due oggetti di masse rispettivamente e si trovano in un piano rispettivamente alle coordinate (X, Y ) e (X, Y ). Supponiamo che X, X, Y, Y siano variabili indipendenti, tutte con legge N (0, ), e definiamo le quantità aleatorie (coordinate del centro di massa del sistema) X = X + X, Y = Y + Y T xx = Y + Y, T xy = X Y X Y, T yy = X + X (componenti del tensore di inerzia ).. Calcolare il valore atteso e la varianza di X e Y. Queste due variabili hanno legge gaussiana?. Calcolare il valore atteso delle quantità T xx, T xy, T yy. La variabile T xx ha legge gaussiana? 3. Calcolare E [ T xx T yy (T xy ) ]. (Suggerimento: usare il fatto che l identità E [XY ] = E [X] E [Y ] per variabili indipendenti X, Y si estende anche a più di due variabili indipendenti, in particolare vale E [X X Y Y ] = E [X ] E [X ] E [Y ] E [Y ] = 0.) Una soluzione:. Le variabili X e Y sono ottenute tramite combinazioni lineari di variabili gaussiane indipendenti, quindi sappiamo che hanno legge gaussiana. Per calcolare il valore atteso e varianza, E [ X ] = E [X ] + E [X ] = = 0 Var ( X ) = Var (X ) + Var (X ) = + = 5, avendo usato che X e X sono variabili indipendenti. Gli stessi valori si ottengono per Y. Pag. 5

6 . Calcoliamo E [T xx ] = E [ X + X ] = E [ X ] + E [ X ] = 3, e allo stesso modo si trova E [T yy ] = 3. Inoltre E [T xy ] = E [ X Y X Y ] = E [X Y ] E [X Y ] = E [X ] E [Y ] E [X ] E [Y ] = 0 avendo usato l indipendenza tra le variabili. Infine, la variabile T xx, essendo somma di quantità non-negative (quadrati), è non-negativa, quindi non può avere legge gaussiana, altrimenti sarebbe P (T xx < 0) > 0, perché la densità gaussiana è positiva su tutto R. 3. Calcoliamo E [T xx T yy ] = E [ (X + X)(Y + Y ) ] = E [ XY + XY + XY + XY ] = E [ XY ] [ + E X Y ] [ + E X Y ] [ + E X Y ] = E [ X ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E Y + E X E Y + E X E Y + E X E Y = = 9 avendo usato E [ X Y ] [ ] [ ] = E X E Y per indipendenza di X da Y (e similmente gli altri termini). Poi E [ (T xy ) ] = E [ (X Y + X Y ) ] = E [ XY + X Y X Y + XY ] = E [ XY ] + E [X Y X Y ] + E [ XY ] = = 5 avendo usato il suggerimento. Troviamo infine E [ T xx T yy (T xy ) ] =. Pag. 6