, B con probabilità 1 4 e C con probabilità 1 4.

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1 Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Prof. L. Bertini - G. Nappo - F. Spizzichino Esonero del N.B. Scrivere le soluzioni degli esercizi su questi fogli giustificando brevemente i passaggi svolti. Non è necessario svolgere tutti i calcoli fino in fondo. Esercizio. In un elezione vi sono sette elettori e tre candidati A,B e C ed indichiamo con X A, X B e X C il numero di voti che vengono rispettivamente attribuiti ad A, B e C. Supponiamo che ciascun elettore voti, indipendentemente dagli altri, A con probabilità, B con probabilità e C con probabilità. i Calcolare α P X A, X B, X C e β P X A, X B, X C 5. ii Calcolare α P X C e β P X C 5. iii Calcolare α P X B, X C e β P X B, X C 5. iv Supponiamo di sapere che X B. Condizionatamente a tale evento, trovare la distribuzione di probabilità di X C, il valore atteso e la varianza. i SOLUZIONE Dalla definizione del meccanismo di elezione, la distribuzione congiunta di X A, X B, X C è una multinomiale. Più precisamente, si ha α 7!!!! Ovviamente deve essere e dunque si ha P X A + X B + X C 7, β 0. ii SOLUZIONE Dalla definizione del meccanismo di elezione segue anche che le distribuzione marginali di X A, X B, X C sono delle binomiali bin7,, bin7,, bin7,, rispettivamente. Quindi, in particolare, β P X C 5 α P X C iii SOLUZIONE In virtù della condizione P X A + X B + X C 7, si ha 5. α P X B, X C P X A, X B, X C α ; inoltre β P X B, X C 5 0. iv SOLUZIONE La distribuzione di probabilità condizionata di X C dato l evento X B deve essere bin,. Infatti, sapendo che B ha preso voti, C può prendere al massimo voti e al minimo 0. Inoltre possiamo scrivere, per k 0,,,, P X C k X B P X C k, X B P X A k, X B, X C k P X B P X B 7 k k k k 7!!! k!! 7! k k

2 e quindi, considerando che k + k, e che! k! k, P X C k X B k k k k k k k k. A tale risultato si può anche arrivare tramite un ragionamento diretto. Da quanto sopra [cioè dal fatto che, condizionatamente a {X B }, X C segue una distribuzione bin, ] segue immediatamente che il valore atteso e la varianza di tale distribuzione condizionata sono dati da EX C X B e V arx C X B 8 9.

3 Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Prof. L. Bertini - G. Nappo - F. Spizzichino Esonero del N.B. Scrivere le soluzioni degli esercizi su questi fogli giustificando brevemente i passaggi svolti. Non è necessario svolgere tutti i calcoli fino in fondo. Esercizio. Supponiamo che, per ciascuno dei numerosi clienti di una compagnia di assicurazione, vi sia uguale probabilità molto piccola di denunciare un sinistro nel corso del mese di luglio 00. Indichiamo con N il numero complessivo di denunce relative a tale periodo. Sulla base di sue informazioni e di precedenti dati statistici, la compagnia stima che il valore atteso di N sia uguale a 7, 5. i Esprimere un valore approssimato per P N 0 ii Esprimere un valore approssimato per P N < 6 iii Utilizzando la disuguaglianza di Čebišev, dare una limitazione inferiore a P N. PARTE FACOLTATIVA Si supponga inoltre che la compagnia abbia introdotto una soglia massima di rimborso di 9000 euro, ossia la compagnia rimborsa al massimo 9000 euro, anche se il danno causato da un sinistro supera tale soglia. Si assuma che la probabilità che il danno causato da ciascun sinistro sia maggiore o uguale alla soglia di 9000 euro sia p 0, 0, indipendentemente l uno dall altro. Sia Y l ammontare che la compagnia dovrà rimborsare, limitatamente ai sinistri denunciati nel mese di luglio e che comportano danni maggiori o uguali a 9000 euro. iv Calcolare EY. i SOLUZIONE Se conoscessimo il numero esatto n di clienti e la probabilità p della probabilità che un cliente denuci un sinistro nel mese di luglio 00 [trascurando l eventualità che un cliente ne denuci più di uno nello stesso mese] potremmo dire che la variabile aleatoria N segue una distribuzione binomiale di parametri n e p. Poiché sappiamo solo che il suo valore atteso è np λ 7, 5, n grande e p molto piccola, è ragionevole utilizzare l approssimazione di Poisson, cioè calcolare approssimativamente le probabilità P N k tramite λk e λ, con λ 7, 5 almeno per valori non troppo grandi di k. Quindi possiamo calcolare approssimativamente ii SOLUZIONE Ovviamente P N 0 e 7,5 P N < 6 P N 5 5 P N k, e quindi, per lo stesso motivo del punto i, possiamo approssimare la probabilità cercata con P N < 6 k0 5 7, 5 k e 7,5. iii SOLUZIONE Per ottenere, con la disuguaglianza di Čebišev, una limitazione inferiore a k0 P N P N 7, 5, 5 P N 7, 5 >, 5 basta ottenere, sempre con la disuguaglianza di Čebišev, una maggiorazione per l insieme complementare, ossia P N 7, 5 >, 5 P N EN >, 5 V arn np p, 5 np, 5, 5 7, 5, 5.

4 Infatti allora si ottiene P N P N 7, 5, 5 P N 7, 5 >, 5 7, 5, 75 0, 87., 5, 5 NOTA di APPROFONDIMENTO Uno studente particolarmente attento avrebbe potuto ottenere una limitazione inferiore migliore: basta infatti osservare che, essendo N una variabile aleatoria a valori interi, per ogni δ 0, ], si ha P N P + δ N δ P N 7, 5, 5 δ P N 7, 5 >, 5 δ e quindi ripetendo il ragionamento con, 5 δ al posto di, 5 avrebbe ottenuto che, per ogni δ 0, ], P N P N 7, 5, 5 δ P N 7, 5 >, 5 δ Mandando δ a zero si ottiene allora P N 7, 5, 5 7, 5 0, 69. 0, 5 7, 5, 5 δ. Alla stessa conclusione si può arrivare direttamente anche osservando che vale anche la seguente disuguaglianza sempre di Čebišev: per ogni variabile aleatoria X con valore atteso µ e varianza finita si ha P X µ α V arx α qualunque sia α > 0. iv SOLUZIONE La variabile aleatoria Y si può scrivere come con la convenzione che 0 k a k 0 dove Y 9000 N Ai, A i {il danno dell i-simo sinistro denunciato nel mese di luglio è maggiore o uguale a 9000 euro}. n Il valore atteso di Y è allora N EY 9000 E Ai , 5 0, i Infatti N N {N E Ai P N n E Ai n} i n0 i P N n n 0, 0 0, 0 EN 0, 0 7, 5. n0 È importante sottolineare che nella formula precedente si è usato il fatto che N {N E Ai n} n 0, 0 i in quanto, condizionatamente a sapere che si è verificato {N n}, la variabile aleatoria N i A i ha una distribuzione binomiale di parametri n e p 0, 0. Alternativamente si poteva sfruttare il fatto che, se N ha distribuzione di Poisson di parametro λ e gli eventi A i sono indipendenti fra loro e da N, allora la variabile aleatoria N i A i ha distribuzione di Poisson di parametro λ p 7, 5 p.

5 Quest ultima affermazione deriva sempre dal fatto che, condizionatamente a sapere che si è verificato {N n}, la variabile aleatoria N i A i ha una distribuzione binomiale di paramentri n e p 0, 0, e allora P N Ai k P N n P N Ai k {N n} i n0 tenendo conto che P N i A i k {N n} 0 se k > n nk λ n n! e λ λ k p k e λ i n p k p n k k nk λ n k n! n! n k! λ pn k pk e λ ponendo h n k nella somma della serie, che diventa allora una serie esponenziale λ pk e λ e λ p λ pk e λ p. nk λ p n k n k!

6 Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Prof. L. Bertini - G. Nappo - F. Spizzichino Esonero del N.B. Scrivere le soluzioni degli esercizi su questi fogli giustificando brevemente i passaggi svolti. ATTENZIONE: è necessario svolgere tutti i calcoli fino in fondo. Esercizio. La distribuzione di una variabile aleatoria continua X ammette una funzione di densità di probabilità della forma 0 x, a < x, fx ax < x, 0 x >. i Dimostrare che a. ii Dimostrare che EX. iii Calcolare P 0 < X <. i SOLUZIONE La funzione fx è una densità di una variabile aleatoria continua se e solo se Nel nostro caso da cui a fx dx fx dx + a dx + 0 x, e quindi fx < x, 8 x < x, 0 x >. fx dx fx dx + ii SOLUZIONE Per le variabili aleatorie con densità si ha che EX x fx dx, fx dx + fx dx ax dx a + a x a + 9 purché esista finito x fx dx. a, [ In questo caso non è necessario fare questa verifica perché X è una variabile aleatoria limitata in quanto, ad esempio, P X ] EX x fx dx x dx + x 8 x dx x fx dx + x fx dx + x fx dx + x 6 7. x fx dx iii SOLUZIONE Essendo X una variabile aleatoria con densità si ha che P 0 < X < fx dx 0 x + 8 fx dx + fx dx dx + 8 x dx